广东省广州市荔湾区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 含解析

广东省广州市荔湾区2018-2019学年高一上学期期末
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.的值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式把要求的式子化为，即，从而得到答案．
【详解】，
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用诱导公式化简求值，熟记诱导公式，准确计算是关键，属于基础题．
2.三个数，，的大小顺序是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果．
【详解】，，；
．
故选：A．
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题.
3.设集合2，，若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．
【详解】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．
若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，
可得1-4+m=0，解得m=3，
即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}．
故选：D．
【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．Array
4.在中，，则的值为
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换和特殊角的三角函数的值求出结果．
【详解】在中，，
则，
，
，
,
故选：C．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换和特殊角三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是
( )
【答案】A 【解析】
试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A ．
考点：函数图像的特征． 6.函数的
图象沿x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能
的值为
A.
B.
C. 0
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数的图象变换可得新函数解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
【详解】令，
则
，
为偶函数，
，
，
，
当
时，
．
故的一个可能的值为． 故选：B ．
【点睛】本题考查函数
的图象变换，考查三角函数的奇偶性，熟记变换原则，准
确计算是关键，属于中档题．
7.已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，
则的长度为
A. B. C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
AD为的中线，从而有，代入，根据长度进行数量积的运算便可得出的长度．
【详解】根据条件：；
．
故选：A．
【点睛】本题考查模长公式，向量加法、减法及数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，根据公式计算是关键，是基础题.
8.已知函数f(x)=若f（f（0））=4a，则实数a等于【】
A. B. C. 2 D. 9
【答案】C
【解析】
，选C.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
9.若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：函数分别是上的奇函数、偶函数，由
得，解方程组得
，代入计算比较大小可得
考点：函数奇偶性及函数求解析式
10.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
是奇函数，故；又是增函数，，即
则有，解得，故选D.
【点睛】
解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
11.已知函数，则的零点所在区间为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据函数的零点判定定理可求．
【详解】连续函数在上单调递增，
，，
的零点所在的区间为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数零点存在定理的应用，熟记定理是关键，属于基础试题．
12.函数在区间上的最大值为2，则实数a的值为
A. 1或
B.
C.
D. 1或
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，令
，故，
当时，在单调递减
所以，此时，符合要求；
当时，在单调递增，在单调递减
故，解得舍去
当时，在单调递增
所以，解得，符合要求；
综上可知或，故选A.
考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.计算______．
【答案】11
【分析】
进行分数指数幂和对数式的运算即可．
【详解】原式．
故答案为：11．
【点睛】本题考查对数式和分数指数幂的运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题.
14.设，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算先求出的坐标，再利用向量的数量积公式求出的值．
【详解】因为，，，
所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量的数量积公式，熟记坐标运算法则，准确计算是关键，属于基础题．
15.函数的一段图象如图所示则的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数的解析式．
【详解】由函数的图象的顶点的纵坐标可得，再由函数的周期性可得，．再由五点法作图可得，．
故函数的解析式为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．
16.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（），则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为
，则，，解得．
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
（2）借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数”向“形”的转化．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知函数，．
1求的值；
2若，，求
【答案】(Ⅰ)=1；(Ⅱ)=
【解析】
试题分析：（1）将代入可得：，在利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可；（2）因为，根据两角和的余弦公式需求出和，，
，则，根据二倍角公式求出代入即可．
试题解析：（1）因为，
所以；
（2）因为，，则。

所以，。

考点：1.
诱导公式；2.二倍角公式；3.两角和的余弦．
18.已知向量，不共线，，．
若，求k的值，并判断，是否同向；
若，与夹角为，当k为何值时，．
【答案】（1）k=-1,反向；（2）k=1
【解析】
【分析】
由题得由此能求出，，与反向．由，得
，由数量积运算求出．
【详解】，，，
，即
又向量，不共线，，
解得，，即，
故与反向．
，与夹角为，
，
又故，
即解得．
故时，．
【点睛】本题考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，熟记共线定理，准确计算是关键，是基础题．
19.已知函数．
求函数的单调递增区间；
若，求函数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：解：(1)
所以的单调递增区间为
考点：三角函数的性质
点评：解决的关键是能利用三角恒等变换，以及函数的性质准确的求解，属于基础题。

20.小王在某景区内销售该景区纪念册，纪念册每本进价为5元，每销售一本纪念册需向该景区管理部门交费2元，预计这种纪念册以每本20元的价格销售时，小王一年可销售2000本，经过市场调研发现，每本纪念册的销售价格在每本20元的基础上每减少一元则增加销售400本，而每增加一元则减少销售100本，现设每本纪念册的销售价格为x元．
写出小王一年内销售这种纪念册所获得的利润元与每本纪念册的销售价格元的函数关系式，并写出这个函数的定义域；
当每本纪念册销售价格x 为多少元时，小王一年内利润元最大，并求出这个最大值．
【答案】（1）见解析；（2）32400
【解析】
【分析】
当时
，，
当时，
，由此能求出小王一年内销售这种纪念册所获得
的利润元与每本纪念册的销售价格
元
的函数关系式，并能求出此函数的定义域．由，能求出当时，小王获得的利润最大为元．
【详解】由题每本书的成本为7元
设每本纪念册的销售价格为x元．
当时，
当时，，
小王一年内销售这种纪念册所获得的利润元与每本纪念册的销售价格元的函数关系式为：
．
此函数的定义域为．
．
，
当，则当时，元
当，则当时，元
所以当时，小王获得的利润最大为元
【点睛】本题考查函数的应用，考查分段函数最值，考查函数性质、配方法、函数最值等基础知识，
考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
21.设二次函数
在区间
上的最大值、最小值分别是M 、m
，集合
．
若，且，求M 和m 的
值；
若
，且
，记，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），
；（Ⅱ）.
【解析】 （1）由……………………………1分
又
…………………3分
…………4分
……………………………5分
……………………………6分
（2）
x=1
∴，即……………………………8分
∴f（x ）=ax 2
+（1-2a ）x+a, x∈[-2,2] 其对称轴方程为
x=
又a≥1，故1-……………………………9分
∴M=f（-2）="9a-2 " …………………………10分 m=
……………………………11分 g （a ）=M+m=9a--1 ……………………………14分
=
………16分
22.已知函数
常数
．
证明在上是减函数，在上是增函数；
当时，求的单调区间；
对于中的函数和函数，若对任意，总存在，使得
成立，求实数a的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
利用定义证明即可；把看成整体，研究对勾函数的单调性以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；对于任意的，总存在，使得可转化成的值域为的值域的子集，建立关系式，解之即可．
【详解】证明：：设，，且，
，
，
，，
当时，即，
当时，即，
当时，，即，此时函数为减函数，
当时，，即，此时函数为增函数，
故在上是减函数，在上是增函数；
当时，，
，
设，则，
，
由可知在上是减函数，在上是增函数；
，，
即，，
即在上是减函数，在上是增函数；
由于为减函数，故，
又由（2）得
由题意，的值域为的值域的子集，
从而有，
解得．
【点睛】本题主要考查定义法证明函数单调性，利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，是中档题。