浙江省萧山九中2014届高三数学上学期12月第三次质量检测试题 理 新人教A版

萧山九中2013学年第一学期高三第三次质量检测（12月）
理科数学试题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．若复数121i
z i
-=+
+，其中i 是虚数单位，则复平面上，复数z 所对应的点在( ) A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2．平面向量a 与b 的夹角为60，且a (2,0)=，b 1=，则2=a +b ( )
B.
C. 4
D. 12
3．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．设函数()2x
f x =，则下列结论正确的是( )
A. (1)(2)(f f f -<<
B. ((1)(2)f f f <-<
C. (2)((1)f f f <<-
D. (1)(
f f -<5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-则必定有( ) A. 70S >,且80S <
B. 70S <,且80S >
C. 70S >,且80S >
D. 70S <,且80S < 6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( ) A. 5 B. 6
C. 7
D. 8
7．设α是第三象限角，且tan 2α=，则sin()cos()
23sin()
2
π
απαπ
α-+=+( )
B. 5
-
C.
5
D. 5
-
8．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为1
3
,则实数a 的值为( )
A. 13或
23
B.
23或3
4
C.
14或13
D.
14或34
9．设12,F F 分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左,右焦点,以12F F 为直径的圆与
双曲线C 在第二象限的交点为P ,若双曲线C 的离心率为5，则21cos PF F ∠等于( ) A. 3
5
B.
3
4
C.
4
5
D. 56
10．若函数11,(,2)()1(2),[2,)2
x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7 ( )
二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分. 请将答案填在答题卷的横线上. 11．在等比数列{}n a 中，若251,8,a a ==-则8a = ． 12．若sin cos 1x x +=，则
221sin 2cos sin x
x x
-=- ．
13．若正数,x y 满足230x y +-=，则
2x y
xy
+的最小值为 ． 14．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若222
12
a b c +=
,则直线0ax by c -+=被圆2x 29y +=所截得的弦长为 ．
15．设z =kx +y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y −
2≥0，x −2y +4≥0，2x −
y −4≤0．若z 的最大值为12，则实数k = ． 16．设Q 为圆C:2268210x y x y ++++=上任意一点,抛物线28y x =的准线为l .若抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m PQ +的最小值为 ．
17．如图,在扇形OAB 中,60AOB ︒
∠=,C 为弧AB 上的一个动点.
-→
xOA y OB -→
-→
=+，则3x y +的取值范围是 ．
三、解答题：本大题有5小题,共72分. 解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。

18．(本题满分14分)设2()6cos 2(f x x x x =∈R ).
(Ⅰ)求()f x 的最大值及最小正周期；
(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,锐角A 满足()3f A =-12
B π
=
，求
222
a b c ab
++的值.
19．(本题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(1,sin )A λ，n =
(sin ,1cos )A A +，且m //n
(Ⅰ)若2λ=，求角A 的大小；
(Ⅱ)若sin sin B C A +=，求实数λ的取值范围.
20．(本题满分14分)设在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111,2,0n a b b ==>(n ∈N *
),
且122,,b a b 成等差数列，223,,2a b a +成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； (Ⅱ)设n n b c a =,数列{}n c 的前n 项和为n S ,若
2142n n n S n
b t S n
++<++恒成立，
求实数t 的取值范围.
(第17题)
21．(本题满分15分)
设函数2
()(2)ln ,f x x a x a x =-++(其中0a >) (Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的极小值；
(Ⅱ)当4a =时,给出直线1:520l x y m ++=和2:30,l x y n -+=其中,m n 为常数，判
断直线1l 或2l 中，是否存在函数()f x 的图象的切线，若存在，求出相应的m 或n 的值，若不存在，说明理由．
22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，右焦点到直线1:3l x + 40y =的
距离为
35
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若直线2:(0)l y kx m km =+≠ 与椭圆C 交于A 、B 两点，且线段AB 中点恰好在直
线1l 上，求△OAB 的面积S 的最大值.(其中O 为坐标原点).
参考答案及评分标准
一．选择题：本大题共10小题， 每小题5分， 共50分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填写在答题卷的横线上．
11．64 12. ±1 13．3 14．
15．2 16 2 17．[1，3]
三、解答题：本大题有5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）
（Ⅰ）f (x )＝x ＋
π
)＋3，
故f (x )的最大值为3；最小正周期T ＝π． 6分
（Ⅱ）由f (A )＝3－得cos(2A ＋π
6
)＋3＝3－
故cos(2A ＋π6)＝－1，又由0＜A ＜π2，得π6＜2A ＋π6＜π＋π6， 故2A ＋π6＝π，解得A ＝5π12
．又B ＝π12，∴C ＝π
2．
∴ 222
a b c ab
++=8． 14分
19．（本题满分14分）
（Ⅰ）由m //n ，得2sin 2
A ―1―cos A ＝0，即cos A ＝1
2
或cos A ＝－1（舍去）， 所以A ＝
π
3
． -----------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由正弦定理得b ＋c
，由m //n ，得λsin 2
A ―1―cos A ＝0，
即cos A ＝1
λλ
-或cos A ＝－1（舍去
），
----------------------------------------------10分
又cos A ＝22222()222b c a b c a bc bc bc +-+--=
2
221113()2
a a
b
c bc =-≥-=+， 综上，λ需要满足11
13λλ
-≤<，得λ≥32 ．
--------------------------14分 20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）．由题意，
得⎩⎨⎧++=+=+)
23)(1()2(22)1(22
d d q q d ，解得d ＝q ＝3．∴23-=n a n ，132-⋅=n n b ． 6分
（Ⅱ）23223-⋅=-⋅=n
n n b c ．
∴n n c c c S +++= 21n n
2)333(221-+++= 3231
--=+n n ．
∴133
333241122+=--=++++n n n n n n S n S ．∴t n n +⨯<+3213恒成立，即max )13(+->n t ． 故2->t ． 14分
21．（本小题满分15分）
（Ⅰ）当1a =时，x
x x x x x f )
12)(1(132)(--=
+-=' 当210<
<x 时，0)(>'x f ；当12
1
<<x 时，0)(<'x f ；当1x >时，0)(>'x f ． 所以当1=x 时，)(x f 取极小值2-． ………………7分
（Ⅱ）当4a =时，642)(-+='x x x f ，0>x ，62464
2)(-≥-+='∴x
x x f ，
故l 1中，不存函数图象的切线． 由3642=-+
x
x 得21
=x 与4=x ，
当21=
x 时，求得2ln 44
17--=n 当4=x 时，求得204ln 4-=n ． 15分
22、（本小题满分15分）。