2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑术语单元质量测评新人教A版选修1

第一章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若α，β∈R ，则“α＝β”是“tan α＝tan β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
答案 D
解析 当α＝β＝π
2时，tan α，tan β不存在；
又α＝π4，β＝5π
4
时，tan α＝tan β，
所以“α＝β ”是“tan α＝tan β ”的既不充分又不必要条件． 2．下列叙述中正确的是( )
A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2
＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2
－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2
>cb 2
”的充要条件是“a >c ”
C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2
≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2
≥0” D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β 答案 D
解析 对于A ，当a <0时，若b 2
－4ac ≤0，则ax 2
＋bx ＋c ≤0，故“b 2
－4ac ≤0”不是“ax
2
＋bx ＋c ≥0”的充分条件，A 错误；对于B ，若ab 2
>cb 2
，则(a －c )b 2
>0，即a >c ，若a >c ，当b ＝0时，ab 2
>cb 2
不成立，故“ab 2
>cb 2
”是“a >c ”的充分不必要条件，B 错误；对于C ，命题“对任意x ∈R ，有x 2
≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2
<0”，故C 错误；对于D ，由线面垂直的性质可知α∥β，故D 正确．故选D.
3．命题“若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆否命题是( )
A ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数
B ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数
C ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数
D ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数 答案 B
解析 写原命题的逆否命题时，不仅要交换条件和结论，而且要同时否定．故选B. 4．命题p ：a 2
＋b 2
＜0(a ，b ∈R )；命题q ：(a －2)2
＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，下列结论正
确的是( )
A ．“p ∨q ”为真
B ．“p ∧q ”为真
C ．“綈p ”为假
D ．“綈q ”为真
答案 A
解析 显然p 假q 真，故“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真，“綈q ”为假．
5．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2
≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
y ≥x －1，y ≥1－x ，
y ≤1，
则p
是q 的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件．故选A.
6．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，
q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A ．(綈p )∨(綈q )
B ．p ∨(綈q )
C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨q 答案 A
解析 綈p 表示甲没有降落在指定范围，綈q 表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.
7．不等式2x 2
－5x －3≥0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x <－1
2
D ．x ≤－1
2
或x ≥3
答案 B
解析 2x 2
－5x －3≥0⇔(x －3)(2x ＋1)≥0⇔x ≤－12或x ≥3，所以⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≤－12或x ≥3
{x |x <0或x >2}，所以“x <0或x >2”是2x 2
－5x －3≥0成立的必要不充分条件． 8．函数f (x )＝(a ＋1)tan 2
x ＋3sin x ＋a 2
－3a －4为奇函数的充要条件是( ) A ．a ＝4
B ．a ＝－1
C ．a ＝4或a ＝－1
D ．a ∈R
答案 B
解析 函数f (x )的定义域为
A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π
2＋k π，k ∈Z
， 该定义域关于原点对称．
∵f (x )为奇函数且0∈A ，∴f (0)＝0，即a 2
－3a －4＝0， ∴a ＝4或a ＝－1.
当a ＝－1时，易证f (x )＝3sin x (x ∈A )是奇函数； 当a ＝4时，f (x )＝5tan 2
x ＋3sin x (x ∈A )， 这时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝5－322，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝5＋322，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≠－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4.
∴f (x )＝5tan 2
x ＋3sin x (x ∈A )不是奇函数，不符合题意，∴a ＝4应舍去．故选B. 9．下列命题中是真命题的为( ) A ．∀x ∈R ，sin 2x
2＋cos 2
x
2＝0
B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x
C ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2
≥x －14
D ．∃x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使得sin x 0>x 0
答案 C
解析 对于A 选项，∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故A 为假命题；对于B 选项，当x ＝π6时，
sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项，x 2
－x ＋14＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122≥0恒成立，
故C 为真命题；对于D 选项，在单位圆中，可知∀x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有sin x ≤x ，故D 为假命题．故
选C.
10．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，
p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是( )
A ．0<a <1或a >2
B ．0<a <1或a ≥2
C ．1<a ≤2
D ．1≤a ≤2
答案 C
解析 若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1. 若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.
依题意，得p 假q 真，或p 真q 假，
即⎩⎪⎨⎪⎧
0<a ≤1，a >2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，
0<a ≤2，
∴1<a ≤2.
11．命题“∃x ∈R ，(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4≥0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2,2] C ．(－2,2) D ．(－∞，2)
答案 B
解析 若命题“∃x ∈R ，(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4≥0”是假命题，则命题“∀x ∈R ，(a
－2)x 2
＋2(a －2)x －4<0”是真命题，故a －2＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2<0，
4(a －2)2
＋16(a －2)<0，
解得a ∈(－2,2]，故选B.
12．已知△ABC 的边长为a ，b ，c ，定义它的等腰判别式为D ＝max{a －b ，b －c ，c －a }＋min{a －b ，b －c ，c －a }，则“D ＝0”是“△ABC 为等腰三角形”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 (1)充分性：
若△ABC 不为等腰三角形，不妨设a <b <c ， 则max{a －b ，b －c ，c －a }＝c －a ， min{a －b ，b －c ，c －a }＝a －b 或b －c ， 所以D ＝c －b 或b －a ，故D ≠0. 所以若D ＝0，则△ABC 为等腰三角形． (2)必要性：
若△ABC 为等腰三角形，不妨设a ＝b ，
D ＝max{0，b －c ，c －b }＋min{0，b －c ，c －b }
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
b －
c ＋c －b ＝0(b >c )，
c －b ＋b －c ＝0(b <c )，
所以“D ＝0”是“△ABC 为等腰三角形”的充要条件．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________． 答案 对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等
解析 “对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
14．已知命题“若{a n }是常数列，则{a n }是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是________．
答案 2
解析 由题意可知，原命题是真命题，其逆命题是假命题，所以其否命题是假命题，其逆否命题是真命题，所以在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题有2个．
15．给出以下命题： ①∀x ∈R ，|x |>x ；
②∃α∈R ，sin3α＝3sin α； ③∀x ∈R ，x >sin x ；
④∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
.
其中正确命题的序号有________． 答案 ②
解析 x ≥0时，|x |＝x ，①错误，当α＝0时，sin3α＝3sin α，②正确；当x ＝－π
2
时，
x <sin x ，③错误；根据指数函数的图象可以判断，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13
x ，④错误．故
正确命题的序号只有②.
16．下列四个命题：
①命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ＝0，则ab ≠0”； ②若命题p ：∃x ∈R ，x 2
＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1≥0； ③若命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ④命题“若0<a <1，则log a (a ＋1)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ”是真命题．
其中正确命题的序号是________．(把所有正确的命题序号都填上) 答案 ②③
解析 ①若原命题是“若p 则q ”的形式，则它的否命题是“若綈p 则綈q ”的形式，所以“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”，所以①错误；
②命题p 是特称命题，它的否定形式是 綈p ：∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1≥0，所以②正确；
③因为“綈p ”是真命题，所以p 是假命题，而“p 或q ”是真命题，所以q 必是真命题，所以③正确；
④当0<a <1时，则1a >1，所以1<a ＋1<1＋1a
，所以log a (a ＋1)>log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1a ，所以④错误．
故正确的命题有②③.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)四条边相等的四边形是正方形；
(3)方程x2＋7x－8＝0的解是x＝－8或x＝1.
解(1)“若p，则q”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，是真命题．
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题．
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等，是真命题．
逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等，是真命题．
(2)“若p，则q”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形，是假命题．
逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等，是真命题．
否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形，是真命题．
逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等，是假命题．
(3)“若p，则q”的形式：若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1.逆命题：若x＝－8或x ＝1，则x2＋7x－8＝0，是真命题．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1，是真命题．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0，是真命题．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：正数的对数都是正数；
(2)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0；
(3)p：所有的菱形都是平行四边形；
(4)p：有的三角形是等边三角形；
(5)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(6)p：有一个素数含三个正因数．
解(1)綈p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．
(2)綈p：任意x∈R，x2－x＋1>0.真命题．
(3)綈p：存在一个菱形，它不是平行四边形．假命题．
(4)綈p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．
(5)綈p：存在x0∈Z，使x20的个位数字等于3.假命题．
(6)綈p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.
(1)若“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围； (2)“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围． 解 (1)A ＝{x |－2≤x ≤5}，
B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ≠∅.
∵“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，
∴B ⊆A ，B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，
2m －1≤5，
解得2≤m ≤3.
(2)q 为真，则A ∩B ≠∅，∵B ≠∅，∴m ≥2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2≤m ＋1≤5，
m ≥2，
∴2≤m ≤4.
20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x |x －a |＋b ，求证：f (x )为奇函数的充要条件是
a 2＋
b 2＝0.
证明 充分性：因为a 2
＋b 2
＝0，所以a ＝b ＝0， 所以f (x )＝x |x |.
因为f (－x )＝－x |－x |＝－x |x |，－f (x )＝－x |x |， 所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 必要性：若f (x )为奇函数，则对一切x ∈R ，
f (－x )＝－f (x )恒成立．
即－x |－x －a |＋b ＝－x |x －a |－b 恒成立．
令x ＝0，则b ＝－b ，所以b ＝0，令x ＝a ，则－a |－2a |＝0， 所以a ＝0.即a 2
＋b 2
＝0.
21．(本小题满分12分)p ：实数x 满足x 2
－4ax ＋3a 2
<0，其中a >0，q ：实数x 满足
⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2
－4ax ＋3a 2
<0，得(x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a .
当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0，
x 2
＋2x －8>0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
－2≤x ≤3，
x >2或x <－4，
得2<x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是(2,3]． 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，
所以实数x 的取值范围是2<x <3. (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q ，且綈q 推不出綈p . 即q 是p 的充分不必要条件，
则⎩⎪⎨⎪⎧
3a >3，a ≤2，
解得1<a ≤2，
所以实数a 的取值范围是(1,2]．
22．(本小题满分12分)已知命题p ：f (x )＝|x ＋a |在[0，＋∞)上是增函数；命题q ：点
O (0,0)与点P (1,1)在直线y ＝a (x ＋1)的两侧．若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范
围．
解 ∵f (x )＝|x ＋a |在[－a ，＋∞)上是增函数，若p 为真，应有[0，＋∞)⊆[－a ，＋∞)，∴－a ≤0，即a ≥0.
若q 为真，应有a (2a －1)<0，解得0<a <12.
由p ∧q 为假，p ∨q 为真可知，p 与q 一真一假．
当p 真q 假时，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ≥0，a ≤0或a ≥1
2，
解得a ＝0或a ≥1
2
.
当p 假q 真时，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a <0，0<a <1
2，此时a 无解．
综上所述，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪
⎪⎪
a ＝0或a ≥
1
2.。