川大概率论与数理统计复习资料要点总结

第一章
随机事件与概率
1．事件的关系
φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A
2．运算规则 （1）BA AB A B B
A =⋃=⋃
（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃
（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C
B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃
（4）
B A AB B A B A ⋃==⋃
3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0
≤≤A P （2）1)(=ΩP
（3）对互不相容的事件
n A A A ,,,21 ，有∑===n
k k n k k A P A P 1
1
)()( （n 可以取∞）
（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=
（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤
（7）)()()()
(AB P B P A P B A P -+=⋃
（8）)()()()()()()()
(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃
4．古典概型：基本事件有限且等可能 6．条件概率
（1）
定义：若0)
(>B P ，则)
()
()|(B P AB P B A P =
（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =
若n B B B ,,21为完备事件组，0)
(>i B P ，则有
（3） 全概率公式： ∑==n
i i i B A P B P A P 1
)|()()
(
（4） Bayes 公式： ∑==
n
i i
i
k k k
B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(
7．事件的独立性：
B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）
第二章 随机变量与概率分布
1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，
（2）∑i
i p =1
（3）对任意R D
⊂，∑∈=
∈D
x i i
i p
D X P :)(
2． 连续随机变量：具有概率密度函数
)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰
+∞
∞
dx x f x f ；
（2）⎰=≤≤b
a
dx x f b X a
P )()(；
（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3． 几个常用随机变量
4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质
（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；
（4）)()()(a F b F b X a
P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；
（5）对离散随机变量，∑≤=
x
x i i
i p
x F :)(；
（6）对连续随机变量，⎰∞
-=x dt t f x F )()
(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =
5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)
0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)(
)(σ
μ
-Φ=x x F ；
（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>
6． 随机变量的函数 )(X g Y
=
（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加； （2）
X
连续，
)
(x g 在
X
的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则
|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

第四章 随机变量的数字特征 1．期望
(1) 离散时 ∑=i
i i p x X E )
(，∑=i
i
i p x g X g E )())(( ；
(2) 连续时⎰+∞∞
-=dx x xf X E )()(，⎰+∞
∞
-=dx x f x g X g E )()())((；
(4)C C E =)(；
（5）)()(X CE CX E =； （6）)()()(Y E X E Y X E +=+（和差的期望等于期望的和差）
； （7）
Y X ,独立时，)()()(Y E X E XY E =
2．方差
(1) 离散时 ∑-=i
i i p X E x X D 2))(()
( ；
(2) 连续时⎰+∞
∞
--=dx x f X E x X D )())(()(2；
（1）方差222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=，标准差)()(X D X =σ；
（2）)()( ,0)
(X D C X D C D =+=；
（3）)()(2X D C CX D =；
（4）
Y X ,独立时，)()()(Y D X D Y X D +=+（和差的方差等于方差的和）
第五章 大数定律与中心极限定理 3．中心极限定理 （1）设随机变量
n X X X ,,,21 独立同分布2)( ,)(σμ==i i X D X E
第六章 样本及抽样分布 1．总体、样本
（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征：
样本均值
∑==n
i i
X n X 1
1 （μ=)(X E ，n
X D 2
)(σ=
）；
样本方差∑=--=n
i i X X n S 1
22
)(11（22
)(σ=S
E ）
偏差平方和
∑∑==-=-n
i i n
i i X
n X X X 1
2
2
1
2
)(
4．参数的区间估计（正态）。