石楼县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

石楼县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=（）c，则M、N、P的大小关系为（）
A．M＞N＞P B．P＜M＜N C．N＞P＞M
2．执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（）
A．9 B．11 C．13 D．15
3．在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也非必要条件
4．定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（）A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
5．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）
A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1
6．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值等于（）
A ．12
B ．20
C ．
D ．
7． 定义运算：,,a a b
a b b a b
≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．⎡⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．,12⎤⎥⎣⎦
D ．1,2⎡-⎢⎣
⎦ 8． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A ．34种
B ．35种
C ．120种
D ．140种
9． 下列各组表示同一函数的是（ ）
A ．y=
与y=（
）2
B ．y=lgx 2与y=2lgx
C ．y=1+与y=1+
D ．y=x 2﹣1（x ∈R ）与y=x 2﹣1（x ∈N ）
10．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β
11．如果过点M （﹣2，0）的直线l 与椭圆有公共点，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知函数5()sin (0)2
f x x a x π
=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 14．设不等式组
表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2
的概率是 ．
15．若函数63e ()()32e
x x b
f x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________．
【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．
16．抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4，则点M的横坐标x=．17．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．
18．已知i是虚数单位，且满足i2=﹣1，a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
三、解答题
19．已知数列{a n}的首项为1，前n项和S n满足=+1（n≥2）．
（Ⅰ）求S n与数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=（n∈N*），求使不等式b1+b2+…+b n＞成立的最小正整数n．
20．已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R．
（1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；
（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．
21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．
22．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （）
=1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
23．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且
AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．
24．已知函数f（x）=的定义域为A，集合B是不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集．（Ⅰ）求A，B；
（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
石楼县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵0＜a ＜b ＜c ＜1，
∴1＜2a
＜2，
＜5﹣b ＜1，
＜（）c
＜1，
5﹣b =（）b
＞（
）c
＞（
）c
，
即M ＞N ＞P ，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
2． 【答案】C
【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5， 当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9， 当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13， 当a=13时，满足退出循环的条件， 故输出的结果为13， 故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
3． 【答案】A
【解析】解：∵sinB+sin （A ﹣B ）=sinC=sin （A+B ）， ∴sinB+sinAcosB ﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB ， ∴sinB=2cosAsinB ， ∵sinB ≠0，
∴cosA=，
∴A=，
∴sinA=，
当sinA=，
∴A=
或A=
，
故在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=
的充分非必要条件，
故选：A
4．【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，
∵函数f（x）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，
故选：D
5．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）
∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立
即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立
∵1﹣3x2≥0成立
∴a＞0
故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．6．【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．
故选：A．
7．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
8．【答案】A
【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种．
故选：A．
【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题
9．【答案】C
【解析】解：A．y=|x|，定义域为R，y=（）2
=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．
B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．
C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．
D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．
故选：C．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
10．【答案】B
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；
对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n相交，
且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，
故命题B正确．
对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C 不正确；
对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．
故选B．
【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．
11．【答案】D
【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），
联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，
∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，
∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，
整理，得k2，
解得﹣≤k≤．
∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．12．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】
1 2
考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．
【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．
14．【答案】．
【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外
区域D：表示正方形OABC，（如图）
其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．
因此在区域D内随机取一个点P，
则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，
且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分
∵S正方形OABC=22=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•22=4﹣π
∴所求概率为P==
故答案为：
【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．
15．【答案】2016
【解析】因为函数()f x 为奇函数且x ∈R ，则由(0)0f =，得00
63e 032e b
a -=，整理，得2016a
b =． 16．【答案】 3 ．
【解析】解：∵抛物线y 2
=4x=2px ，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=4=x+=4， ∴x=3， 故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
17．【答案】 ．
【解析】解：由题意可得，2a ，2b ，2c 成等差数列
∴2b=a+c
∴4b 2=a 2+2ac+c 2
①
∵b 2=a 2﹣c 2
②
①②联立可得，5c 2+2ac ﹣3a 2=0
∵
∴5e 2
+2e ﹣3=0
∵0＜e ＜1
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题
18．【答案】充分不必要
【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，
∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），
若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，
∴﹣2＜a＜2，
∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n≥2），
所以是首项为1，公差为1的等差数列，…
则=1+（n﹣1）1=n，…
从而S n=n2．…
当n=1时，a1=S1=1，
当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
因为a1=1也符合上式，
所以a n=2n﹣1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n===，…
所以b1+b2+…+b n=
==，…
由，解得n＞12．…
所以使不等式成立的最小正整数为13．…
【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想
20．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，f（x）=4x﹣22x+2，
f（x）﹣1=（2x）2﹣2•（2x）+1=（2x﹣1）2=0，
∴2x=1，解得：x=0；
（2）4x﹣a•（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立，
a•（2•2x﹣1）＜4x+1，
∵2x+1＞1，
∴a＞，
令2x=t∈（1，2），g（t）=，
则g′（t）===0，
t=t0，∴g（t）在（1，t0）递减，在（t0，2）递增，
而g（1）=2，g（2）=，
∴a≥2；
（3）若函数f（x）有零点，
则a=有交点，
由（2）令g（t）=0，解得：t=，
故a≥．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．21．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）
所以=（1，，﹣2），
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以=0，即﹣6+=0，解得t=，
所以PA=．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由
从而C的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
23．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，化为（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴函数f（x）=的
定义域A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；
由不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0化为（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，又a+1＞a，∴x＞a+1或x＜a，
∴不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；
（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B．
∴，解得﹣1≤a≤1．∴实数a的取值范围[﹣1，1]．。