流体力学第七章_理想流体平面运动
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一、速度环量
速度环量Г：速度V沿封闭曲线L的线积分。
L
ds α V
Γ LV ds LV cosds L (udx vdy wdz) L d
按照惯例，曲线积分的方向规定为逆时针方向为 正，顺时针方向为负。
12
二、旋涡（涡旋）强度
旋涡中某点涡量的大小是流体微 团绕该点旋转的平均角速度的2倍， 方向与微团的瞬时转动轴线重合。
园盘绕流 尾流场中 的旋涡
3
机翼绕流（LES）
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动 比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流 在理论研究方面较成熟。
对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体 运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是 绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。
流线方程： dx dy 或 vdx udy 0
uv
连续性方程： u v 0或 u ＝－ v （充分必要条件）
x y
x y
均可构造标量函数 x, y,
使
u , v
y
x
则 vdx udy dx dy d 0
17
斯托克斯定理说明：速度环量是否为零可以判断流动是 否有旋。如果任意一条封闭曲线上的速度环量都为零，则此 区域的旋涡强度为零，即旋转角速度为零，是无旋流动。但 是，如果有一条封闭曲线上的速度环量不为零，则此区域的 旋涡强度不为零，是有旋流动。
讨论：包围某区域的速度环量为零，则此区域是否一定是 无旋流动？
Г= 0 不一定是无旋运动，如图。
对强制线涡，包含涡的 2 crd 2c 0
任意封闭曲线 L 有：
0r
但对不包含涡的 封闭曲线 L 有：
crd crd 0
L1 r
L2 r
18
例题 龙卷风
r≤r0的风眼强迫漩涡流动的速度分布： v r, vr 0
流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此 流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。 在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两 种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流 体微团旋转角速度 r 0 的流动，无旋流动是指r 0 的流动。
2
粘性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的 旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后 形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下， 流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流 物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一 点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大 量存在着的湍流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。
第七章 理想流体平面运动
讨论理想不可压流体的二元运动：平面势流 和漩涡运动问题
意义：①研究理想流体二元运动规律；
②历史上发挥过重要作用，（如机翼绕流、 升力等问题）； ③基本解与运动叠加原理对研究粘性流体运 动有指导作用。
1
7.1 问题的提出
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可 以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一 般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变 形运动三部分。
v z
y
1 2
u z
w x
8
旋转角速度：流体微团单位时间内绕与平面垂直的轴 所转过的角度。
流体微团转过的角度为
90 45
2
2
z
1 lim 2 t 0
t
1 (v 2 x
u ) y
同理可得
x
1 2
( w y
v ) z
y
1 2
( u z
w) x
旋转角速度大小 x2 y2 z2
9
二.有旋流动与无旋流动
当流体微团具有绕自身轴作旋转运动时，则该点的运 动是有旋的，否则称无旋运动。无旋运动必定存在势 函数，故称（有）势流。
y
对y积分： x 4ydy f x xy 2y 2 f x
对x求导：
y f x v y 4x
x
故
f x df 4x 积分 f x 2x2 c
dx
于是
x, y xy 2y2 2x2 c
x
y
x, y 称为流函数。且等流函数线就是流线。
26
‹#›
‹#›
（2）流线与等势线正交
0
x x y y
是等势线簇[ （x，y） 常 数]和流线簇[ （x，y） 常 数]互相正交的条件，若在 同一流场中绘出相应的一 系列流线和等势线，则它 们必然构成正交网格，称 为流网，如图所示。
旋涡强度就是面积A上涡量的通量， 简称为涡通量。
I 2nA
I 2ndA
A
A
n
ωn
ΔA ω
13
三、斯托克斯定理
任意面积A上的漩涡强度I，等于该面积的边界L上的速 度环量Г，即：
或
d
v x
u y
dxdy 2 dA I 2ndA V ds Γ
ada
ab和b′a′是同一曲线的两侧，但积分方向相反，故沿ab和b′a′的
速度环量之和恒等于0，所以有
V ds V ds V ds
bcb
ada
ada
多联通区域的斯托克斯定理： V ds V ds 2ndA
bcb
ada
A
21
30
‹#›
例：已知 u x 4y,v y 4x
求：是否存在 x, y, x, y 若存在，解出它们。
解：
r V
v x
u y
v k
4
4
v k
0
故存在 x, y, 为有势流动
另外，设存在 x, y 则： u x 4y
流网
29
例7-2：有一不可压流体平面流动的速度分布为 u-4x，v=-4y。 ①该平面流动是否存在流函数和速度势函数；②若存在，试 求出其表达式；③若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为 1.4×105Pa，流体的密度1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压 强是多少？
【解】 （1）由不可压流体平面流动的连续性方程
u v (4x) (4 y) 0
x y x
y
该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。
由于是平面流动
x y 0
z
1 2
v x
u y
1 2
4
x
y
4x
y
0
该流动无旋，存在速度势函数。
4
平面流动
任一时刻，流场中各点的流体速度都平行于某一固定平 面的流动，并且流场中的物理量（速度、压强、密度等） 在流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定运动的 函数仅与两个坐标和时间有关。
以一条曲线为底，以高度为1的
y
垂线作母线的柱面，如果通过该
曲线的流量等于通过上述柱面的
流量，把这样的流动称为平面流 v
无旋运动示意如下：
有旋运动示意如下：
10
无旋流动的充要条件 x y z 0
r
1
r V
0
2
或
r vv i jk
r V
0
（旋度=0）
x y z
u vw
或
w v , u w , v u
y z z x x y
11
7.3 速度环量与旋涡强度
等φ线与之相交，亦为双曲线。
33
例：已知 x2 y2 x 求：u、v及ψ。
解： u 2x 1
r≥r0的眼外自由漩涡流动的速度分布：
v
C r
, vr
0
根据速度环量与旋转速度之间的关系的斯托克斯公式判
断流动是否有旋。
解：在r＝r0处眼内外速度相等，得
y
C r02
当r0>r2>r1时，为强迫漩涡流动区域， ABCDA封闭曲线的速度环量是：
r0
C
r2
D
AB BC CD DA
根据全微分理论势函数的全微分可写成于是得0v???rzwyvxuddd??tzyx?zzyyxxdddd?????????????zwyvxu????????????71即速度矢量是函数的梯度vuivjwkijkxyy????????????????????????rvvvvvv74速度势与流函数22?速度势函数位函数速度势的性质?无论是不可压缩还是可压缩也不论是定常流动还是非定常流动无旋必定有势有势则无旋
7
角变形速度：单位时间内在坐标平面内的两条微元边 的夹角的减小量的一半。
u yt
y
u t
y y
v x
xt
v
t
x x
z
1 lim
2 t 0
t
1 2
v x
u y
同理可得
x
1
2
w y
动。
o
x
即认为流体流动只在与xoy平行
的平面内进行，在与z轴平行的
直线上的所有物理量都相等。
z
5
‹#›
线变形速度：单位时间内某方向的微元长度在此方 向的相对变化量。
x
lim
t ,x0
x
u x
xt
xt
x
u x
同理可得
y
v y
z
w z
解：设ada′是区域A′的边界线。作一条割线， 其两侧记为ab和a′ b′ 。封闭曲线abcb′ a′ da所 围的区域是无旋流动区，其速度环量为0
V ds 0
abcbada
此曲线积分可分段计算： 0
abcbada
ab
bcb
ba
2
2
2
2
将uA、uB、uC 、uD和vA、vB、vC、vD各值代入上式，略去 高阶小量，再将沿z轴的角速度分量表达式代入，得
dΓ
v x
u y
dxdy
2zdA
dI
称为微元面积上的斯托克斯定理。
将上式对面积A积分，得
Γ 2 z dA
即为平面面积A上的斯托克斯定理。对空间任一曲面，可将 曲面分割成许多微元曲面，分别推导微元曲面上的斯托克斯 定理，再得到空间曲面上的斯托克斯定理。
A
z
dI
斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理。它将 涡量的研究从面积分转变为线积分，使计算方便。
通常求 Г比求 I 要容易。
14
‹#›
‹#›
沿封闭曲线逆时针方向ABCDA的速度环量
d uA uB dx vB vC dy uC uD dx vD vA dy
24
任意曲线的速度环量等于曲线两端点上速度势 函数之差，与形状无关。
根据速度环量定义，沿任意曲线AB的线积分
B
AB V ds
A
B
udx vdy wdz
A
B
d
A
B A
对无旋流动，求环量问题变为求速度势函数之 差的问题。
25
二.流函数
对平面不可压流动，不论是否有旋、是否有粘性
‹#›
‹#›
不可压缩流体的有势流动，速度势函数满足拉 普拉斯方程，速度势函数为调和函数。
不可压流体连续性方程：
u v w 0 x y z
则有
2 2 2
x2 y2 z2 0
或
2 0
该式称为“拉普拉斯方程”，满足拉普拉斯方程 的函数称为调和函数，速度势函数是调和函数。
v 2
r2
v1 r1
(r22
r2
1
)
2 A
可见，在强迫漩涡流动区域是有旋流动。
r1
A Bx
19
当r2>r1>r0时，为自由漩涡流动区域，ABCDA封闭曲线的速度 环量是：
AB BC CD DA
y
r
2 0
r2
r2
r
2 0
r1
r1
0
可见，眼外部分为无漩流动。
r2
C
r1
D
另外：当r=0时，自由漩涡速度变为 无穷大，这时沿圆周的 速度环量为：
r0
A Bx
2 Crd 2C 0r
可见，在圆心处是一个孤立的涡点，称为奇点。
20
例：对平面流动问题，设面积A′外的区域是无旋流动区，则包 围A′的任一条封闭线上的速度环量等于区域A′边界的速度环量。
32
令：x 0, y 0 处 0 则c=0, 于是
x, y xy 2 y2 2x2
用完全类似的方法，可求得：
x, y x2 4xy y2
2
2
作图： tg2 1
4
坐标旋转，消去x,y项之后
等ψ线，ψ>0 时为以实轴x/对称 的双曲线； ψ<0 时为以实轴y/ 对称的双曲线。
速度环量Г：速度V沿封闭曲线L的线积分。
L
ds α V
Γ LV ds LV cosds L (udx vdy wdz) L d
按照惯例，曲线积分的方向规定为逆时针方向为 正，顺时针方向为负。
12
二、旋涡（涡旋）强度
旋涡中某点涡量的大小是流体微 团绕该点旋转的平均角速度的2倍， 方向与微团的瞬时转动轴线重合。
园盘绕流 尾流场中 的旋涡
3
机翼绕流（LES）
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动 比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流 在理论研究方面较成熟。
对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体 运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是 绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。
流线方程： dx dy 或 vdx udy 0
uv
连续性方程： u v 0或 u ＝－ v （充分必要条件）
x y
x y
均可构造标量函数 x, y,
使
u , v
y
x
则 vdx udy dx dy d 0
17
斯托克斯定理说明：速度环量是否为零可以判断流动是 否有旋。如果任意一条封闭曲线上的速度环量都为零，则此 区域的旋涡强度为零，即旋转角速度为零，是无旋流动。但 是，如果有一条封闭曲线上的速度环量不为零，则此区域的 旋涡强度不为零，是有旋流动。
讨论：包围某区域的速度环量为零，则此区域是否一定是 无旋流动？
Г= 0 不一定是无旋运动，如图。
对强制线涡，包含涡的 2 crd 2c 0
任意封闭曲线 L 有：
0r
但对不包含涡的 封闭曲线 L 有：
crd crd 0
L1 r
L2 r
18
例题 龙卷风
r≤r0的风眼强迫漩涡流动的速度分布： v r, vr 0
流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此 流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。 在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两 种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流 体微团旋转角速度 r 0 的流动，无旋流动是指r 0 的流动。
2
粘性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的 旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后 形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下， 流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流 物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一 点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大 量存在着的湍流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。
第七章 理想流体平面运动
讨论理想不可压流体的二元运动：平面势流 和漩涡运动问题
意义：①研究理想流体二元运动规律；
②历史上发挥过重要作用，（如机翼绕流、 升力等问题）； ③基本解与运动叠加原理对研究粘性流体运 动有指导作用。
1
7.1 问题的提出
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可 以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一 般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变 形运动三部分。
v z
y
1 2
u z
w x
8
旋转角速度：流体微团单位时间内绕与平面垂直的轴 所转过的角度。
流体微团转过的角度为
90 45
2
2
z
1 lim 2 t 0
t
1 (v 2 x
u ) y
同理可得
x
1 2
( w y
v ) z
y
1 2
( u z
w) x
旋转角速度大小 x2 y2 z2
9
二.有旋流动与无旋流动
当流体微团具有绕自身轴作旋转运动时，则该点的运 动是有旋的，否则称无旋运动。无旋运动必定存在势 函数，故称（有）势流。
y
对y积分： x 4ydy f x xy 2y 2 f x
对x求导：
y f x v y 4x
x
故
f x df 4x 积分 f x 2x2 c
dx
于是
x, y xy 2y2 2x2 c
x
y
x, y 称为流函数。且等流函数线就是流线。
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‹#›
‹#›
（2）流线与等势线正交
0
x x y y
是等势线簇[ （x，y） 常 数]和流线簇[ （x，y） 常 数]互相正交的条件，若在 同一流场中绘出相应的一 系列流线和等势线，则它 们必然构成正交网格，称 为流网，如图所示。
旋涡强度就是面积A上涡量的通量， 简称为涡通量。
I 2nA
I 2ndA
A
A
n
ωn
ΔA ω
13
三、斯托克斯定理
任意面积A上的漩涡强度I，等于该面积的边界L上的速 度环量Г，即：
或
d
v x
u y
dxdy 2 dA I 2ndA V ds Γ
ada
ab和b′a′是同一曲线的两侧，但积分方向相反，故沿ab和b′a′的
速度环量之和恒等于0，所以有
V ds V ds V ds
bcb
ada
ada
多联通区域的斯托克斯定理： V ds V ds 2ndA
bcb
ada
A
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30
‹#›
例：已知 u x 4y,v y 4x
求：是否存在 x, y, x, y 若存在，解出它们。
解：
r V
v x
u y
v k
4
4
v k
0
故存在 x, y, 为有势流动
另外，设存在 x, y 则： u x 4y
流网
29
例7-2：有一不可压流体平面流动的速度分布为 u-4x，v=-4y。 ①该平面流动是否存在流函数和速度势函数；②若存在，试 求出其表达式；③若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为 1.4×105Pa，流体的密度1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压 强是多少？
【解】 （1）由不可压流体平面流动的连续性方程
u v (4x) (4 y) 0
x y x
y
该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。
由于是平面流动
x y 0
z
1 2
v x
u y
1 2
4
x
y
4x
y
0
该流动无旋，存在速度势函数。
4
平面流动
任一时刻，流场中各点的流体速度都平行于某一固定平 面的流动，并且流场中的物理量（速度、压强、密度等） 在流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定运动的 函数仅与两个坐标和时间有关。
以一条曲线为底，以高度为1的
y
垂线作母线的柱面，如果通过该
曲线的流量等于通过上述柱面的
流量，把这样的流动称为平面流 v
无旋运动示意如下：
有旋运动示意如下：
10
无旋流动的充要条件 x y z 0
r
1
r V
0
2
或
r vv i jk
r V
0
（旋度=0）
x y z
u vw
或
w v , u w , v u
y z z x x y
11
7.3 速度环量与旋涡强度
等φ线与之相交，亦为双曲线。
33
例：已知 x2 y2 x 求：u、v及ψ。
解： u 2x 1
r≥r0的眼外自由漩涡流动的速度分布：
v
C r
, vr
0
根据速度环量与旋转速度之间的关系的斯托克斯公式判
断流动是否有旋。
解：在r＝r0处眼内外速度相等，得
y
C r02
当r0>r2>r1时，为强迫漩涡流动区域， ABCDA封闭曲线的速度环量是：
r0
C
r2
D
AB BC CD DA
根据全微分理论势函数的全微分可写成于是得0v???rzwyvxuddd??tzyx?zzyyxxdddd?????????????zwyvxu????????????71即速度矢量是函数的梯度vuivjwkijkxyy????????????????????????rvvvvvv74速度势与流函数22?速度势函数位函数速度势的性质?无论是不可压缩还是可压缩也不论是定常流动还是非定常流动无旋必定有势有势则无旋
7
角变形速度：单位时间内在坐标平面内的两条微元边 的夹角的减小量的一半。
u yt
y
u t
y y
v x
xt
v
t
x x
z
1 lim
2 t 0
t
1 2
v x
u y
同理可得
x
1
2
w y
动。
o
x
即认为流体流动只在与xoy平行
的平面内进行，在与z轴平行的
直线上的所有物理量都相等。
z
5
‹#›
线变形速度：单位时间内某方向的微元长度在此方 向的相对变化量。
x
lim
t ,x0
x
u x
xt
xt
x
u x
同理可得
y
v y
z
w z
解：设ada′是区域A′的边界线。作一条割线， 其两侧记为ab和a′ b′ 。封闭曲线abcb′ a′ da所 围的区域是无旋流动区，其速度环量为0
V ds 0
abcbada
此曲线积分可分段计算： 0
abcbada
ab
bcb
ba
2
2
2
2
将uA、uB、uC 、uD和vA、vB、vC、vD各值代入上式，略去 高阶小量，再将沿z轴的角速度分量表达式代入，得
dΓ
v x
u y
dxdy
2zdA
dI
称为微元面积上的斯托克斯定理。
将上式对面积A积分，得
Γ 2 z dA
即为平面面积A上的斯托克斯定理。对空间任一曲面，可将 曲面分割成许多微元曲面，分别推导微元曲面上的斯托克斯 定理，再得到空间曲面上的斯托克斯定理。
A
z
dI
斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理。它将 涡量的研究从面积分转变为线积分，使计算方便。
通常求 Г比求 I 要容易。
14
‹#›
‹#›
沿封闭曲线逆时针方向ABCDA的速度环量
d uA uB dx vB vC dy uC uD dx vD vA dy
24
任意曲线的速度环量等于曲线两端点上速度势 函数之差，与形状无关。
根据速度环量定义，沿任意曲线AB的线积分
B
AB V ds
A
B
udx vdy wdz
A
B
d
A
B A
对无旋流动，求环量问题变为求速度势函数之 差的问题。
25
二.流函数
对平面不可压流动，不论是否有旋、是否有粘性
‹#›
‹#›
不可压缩流体的有势流动，速度势函数满足拉 普拉斯方程，速度势函数为调和函数。
不可压流体连续性方程：
u v w 0 x y z
则有
2 2 2
x2 y2 z2 0
或
2 0
该式称为“拉普拉斯方程”，满足拉普拉斯方程 的函数称为调和函数，速度势函数是调和函数。
v 2
r2
v1 r1
(r22
r2
1
)
2 A
可见，在强迫漩涡流动区域是有旋流动。
r1
A Bx
19
当r2>r1>r0时，为自由漩涡流动区域，ABCDA封闭曲线的速度 环量是：
AB BC CD DA
y
r
2 0
r2
r2
r
2 0
r1
r1
0
可见，眼外部分为无漩流动。
r2
C
r1
D
另外：当r=0时，自由漩涡速度变为 无穷大，这时沿圆周的 速度环量为：
r0
A Bx
2 Crd 2C 0r
可见，在圆心处是一个孤立的涡点，称为奇点。
20
例：对平面流动问题，设面积A′外的区域是无旋流动区，则包 围A′的任一条封闭线上的速度环量等于区域A′边界的速度环量。
32
令：x 0, y 0 处 0 则c=0, 于是
x, y xy 2 y2 2x2
用完全类似的方法，可求得：
x, y x2 4xy y2
2
2
作图： tg2 1
4
坐标旋转，消去x,y项之后
等ψ线，ψ>0 时为以实轴x/对称 的双曲线； ψ<0 时为以实轴y/ 对称的双曲线。