北京市燕山地区2018—2019学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷参考答案及评分标准

燕山地区2018—2019学年度第一学期八年级期末考试
数 学 试 卷 2019年1月
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．．
． 1．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是
A ．
B ．
C ．
D ．
2．为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动．西河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城．已知每粒稻谷重约0.000 035千克，将0.000 035用科学记数法表示应为
A ．6
35
10-⨯ B ．6
3.510-⨯ C ．5
3.510-⨯ D ．4
0.3510-⨯
3x 的取值范围是
A ．7x ≠
B ．7x <
C ．7x >
D ．7x ≥ 4．下列运算正确的是
A
2± B ．2
4＝
C 4
D ．24(＝－
5．如图，Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠E ＝55°，则∠A 的度数为
A ．25°
B ．35°
C ．45
° D ．55°
6．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，交BC 于
点
D ，
D
E
⊥
A
B
于
点
E
，
若CD DE 的长为
F
C D
B
E
A ．2
B ．3 C
D
．
7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ∥AB ，交AC 于点E ，则下列结论不正确．．．的是
A ．∠CAD ＝∠BAD
B ．BD ＝CD
C ．AE ＝E
D D ．D
E ＝DB
8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，
长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为
A ．2a ＋b
B ．4a ＋b
C ．a ＋2b
D ．a ＋3b 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式
4
x x
-的值为0，则x 的值是 ． 10．计算
22
11
a a a -
--的结果是 ． 11
．计算2)-的结果是 ． 12．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝5，∠B ＝60°，则△ABC 的周长
是 ．
13．如图，线段AB 与CD 相交于点O ，且OA ＝OD ，连接
AC ，BD ，
要说明△AOC ≌△DOB ，还需添加的一个条件是 ．（只需填一个条件即可） 14．写出一个能用平方差公式分解因式的多项式： ．
15．已知2
+23x x =，则代数式()()()2
2122x x x x +-+-+的值为 ．
7题图
E
D C B
A
a
b
a b
a b
8题图
E
D
C
B
A
6题图
O
A C
D B
八年级数学试卷第1页（共8页）
16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统
数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末
折抵地，去本六尺，问折者高几何？”
译文：“有一根竹子，原高二丈(1丈＝10尺)，现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少
尺？”
如图，我们用点A ，B ，C 分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断
处离地面的高度BC ＝x 尺，则可列方程为 ．
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7
分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17
．计算：÷
18．分解因式：2
24ma mb -．
19．解方程：2113(1)
x x
x x =-++．
20．如图，AB ＝AC ，点D ，E 分别是线段AB ，AC 的中点，连接BE ，CD ．
求证：∠B ＝∠C ．
八年级数学试卷第3页（共8页）
A
B
D C
E
21．下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC ．
求作：△ABC 的边BC 上的高AD ．
作法：① 以点A 为圆心，适当长为半径画弧，
交直线BC 于点M ，N ； ② 分别以点M ，N 为圆心，以大于
1
2
MN 的长为半径画弧，两弧相交于点P ； ③ 作直线AP 交BC 于点D ，则线段AD 即为所求△ABC 的边BC 上的高． 根据小芸设计的尺规作图过程，
(1) 使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) (2) 完成下面的证明：
证明：∵AM ＝ ，MP ＝ ，
∴AP 是线段MN 的垂直平分线．（ . ）（填推理的依据） ∴AD ⊥BC 于D ，即线段AD 为△ABC 的边BC 上的高．
22．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2，CD ＝3，AD ＝5．
(1) 求证：AC ⊥CD ； (2) 求四边形ABCD 的面积．
A
B C
A
B C
D
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O (0，0)，A (－1，2)，B (2，1)．
(1) 在图中画出△AOB 关于y 轴对称的△A 1OB 1，并直接写出点A 1和点B 1的坐标； (不写画法，保留画图痕迹)
(2) 在x 轴上存在点P ，使得P A +PB 的值最小，则点P 的坐标为 ， P A +PB 的最小值为 ．
24．先化简，再求值：22216(1)22m m m m
--÷--，其中m ＝2019．
25．下面是两位同学的一段对话：
聪聪：周末我们去国家博物馆参观“伟大的变革——庆祝改革开放40周年大型展览”吧．
明明：好啊，我家离国家博物馆约30km ，我坐地铁先走，地铁的平均行驶速度是公交车的1.5倍呢．
聪聪：嗯，我周末住奶奶家，离国家博物馆只有5km ，坐公交车，你出发40分钟后我再出发就
能和你同时到达．
根据对话内容，请你求出公交车和地铁的平均行驶速度．
八年级数学试卷第
5页（共8页）
26．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式2
2
(41)(47)9x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设2
4x x y -=
原式＝(1)(7)9y y +++ (第一步)
＝2
816y y ++ (第二步) ＝2
(4)y + (第三步) ＝2
2
(44)x x -+ (第四步)
请根据上述材料回答下列问题：
(1) 小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A ．提取公因式法
B ．平方差公式法
C ．完全平方公式法
(2) 老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结
果： ；
(3) 请你用换元法对多项式2
2
(2)(22)1x x x x ++++进行因式分解．
27．已知BC ＝5，AB ＝1，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，动点P 在线段BC 上(不与点B ，C 重合)，过点
P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连接AD ．
A
D
M P
M
D
C
A
(1) 如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．
(2) 如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．
①依题意补全图2；
②请直接写出线段AC′的长度．
28．一般情况下，
13
1
b
a b ab
+=+不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝1，b＝2．
我们称使得
13
1
b
a b ab
+=+成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为(a，b)．
(1) 判断数对(－2，1)，(3，3)是否是“相伴数对”；
(2) 若(k，－1)是“相伴数对”，求k的值；
(3) 若(4，m)是“相伴数对”，求代数式
2
432(41)
3(4)
m m m
m m
⎡⎤
---
⎣⎦
-
的值．
八年级数学试卷第7页（共8页）
燕山地区2018—2019学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷参考答案及评分标准 2019.01
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．4 10．2 11．－1
12．15
13．答案不唯一，如：OC ＝
OB ，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C
14．答案不唯一，如：21x - 15．8
16．2
226(20)
x x +=-
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，
每小题7分）
17
．解：原式＝
………………………………1分
………………………………3分 ＝2- ………………………………5分
18．解：2
24ma
mb -＝22(4)m a b - ………………………………3分
＝(2)(2)m a b a b -+． ………………………………5分
19．解：去分母得，33(1)2x x x =+-， ………………………………1分
去括号得，3332x x x =+-， ………………………………2分 移项合并同类项得，23x =， ………………………………3分 系数化1得，3
2
x =， ………………………………4分 检验：3
2
x =
是原方程的解． ………………………………5分 20．证明：∵点D ，E 分别是线段AB ，AC 的中点，
∴AD ＝
12AB ，AE ＝1
2
AC ， ∵AB ＝AC ，
∴AD ＝AE ． ………………………………1分
在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨
⎪⎩
，
，＝，
∴△ABE ≌△ACD ， ………………………………4分 ∴∠B ＝∠C ． ………………………………5分
21．解：(1) 补全的图形如图所示； ………………………………2分
(2) AN ，NP ，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
………………………………5分
22．(1) 证明：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2，
∴AC ＝2AB ＝4． ………………………………1分 在△ACD 中，AC ＝4，CD ＝3，AD ＝5， ∵2
2
2
435+=，即2
2
2
AC CD AD +=， ∴∠ACD ＝90°，
∴AC ⊥CD ； ………………………………2分 (2) 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，
23．解：(1) 画出△A 1OB 1如图所示；
………………………………2分
A 1(1，2)，点
1 ………………………………4分 (2) 点P 的坐标P (1，0)，
P A +PB 的最小值为 ………………………………6分
A
B C
D
24．解：原式＝22(4)(4)
(
)22(2)
m m m m m m m --+-÷--- ………………………………3分 ＝4(2)2(4)(4)
m m m m m m ----+g ＝
4
m
m +． ………………………………5分 当m ＝2019时，原式＝201920194+＝2019
2023
． ………………………………6分
25．解：设公交车平均行驶速度为x km/h ，则地铁的平均行驶速度为1.5x km/h ，
………………………………1分
根据题意，得
30540
1.560
x x -=
， ………………………………2分 解这个方程，得 x ＝22.5． ………………………………3分 经检验：x ＝24是所列方程的解，且符合题意． ………………………………4分
1.5x ＝1.5×2
2.5＝3
3.75km/h ． ………………………………5分 答：公交车和地铁的平均行驶速度分别为22.5 km/h 和33.75km/h ． ………………6分 26．解：(1) C ； ………………………………1分
(2) 4
(2)x -； ………………………………3分 (3) 设2
2x x y += ………………………………4分
原式＝(2)1y y ++
＝2
21y y ++
＝2
(1)y + ………………………………5分 ＝2
2
(21)x x ++
＝4(1)x +． ………………………………6分
27．(1) △ADP 是等腰直角三角形． ………………………………1分
证明：∵BC ＝5，BP ＝4，
∴PC ＝1， ∵AB ＝1，
∴PC ＝AB ． ………………………………2分 ∵AB ⊥BC ，CM ⊥BC ，DP ⊥AP ， ∴∠B ＝∠C ＝90°，
∠APB ＋∠DPC ＝90°，∠PDC ＋∠DPC ＝90°，
P M D
C B A
燕山八年级数学试卷参考答案与评分标准 第 11 页 共 11 页 ∴∠APB ＝∠PDC ， ………………………………3分
在△ABP 和△PCD 中，B C APB PDC AB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
，， ∴△ABP ≌△PCD ， ………………………………4分 ∴AP ＝PD ，
∵∠APD ＝90°， ∴△ADP
………………………………5分
(2) ①依题意补全图2；………………………………6分 ② AC ………………………………7分
28．解：(1) ∵11312121
+≠+--⨯，∴(－2，1)不是“相伴数对”； ∵31313333
+=+⨯，∴(3，3)是“相伴数对”． ………………………………2分 (2) ∵ (k ，－1)是“相伴数对”，
∴11311k k
-+=+--， ………………………………3分 解得k ＝1． ………………………………4分
(3) ∵(4，m )是“相伴数对”，
∴13144m m m
+=+， ∴241m m -=-， ………………………………5分
∴2432(41)3(4)m m m m m ⎡⎤---⎣⎦-＝224(382)3(4)
m m m m m --+- ＝2231223(4)
m m m m -+-- ＝223(4)23(4)
m m m m ---- ………………………………6分 ＝3(1)23(1)-⨯--⨯-＝－13
． ………………………………7分 说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．。