专题01探索勾股定理重难点专练(解析版)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题
1．如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3: 4: 5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为,A B S S ，已知15A B S S -=，则纸片的面积是（）
A ．102
B ．104
C ．106
D ．108
【答案】D 【分析】设3AC FH x ==，则4BC GH x ==，5AB GF x ==，根据勾股定理即可求得CD 的长，利用x 表示出A S ，同理表示出B S ，根据15A B
S S -=，即可求得x 的值，进而求得三角形的面
积．【详解】解：设3AC FH x ==，则4BC GH x ==，5AB GF x ==．
设CD y =，则4BD x y =-，DE CD y ==，
在直角BDE ∆中，532BE x x x =-=，
根据勾股定理可得：2224(4)x y x y +=-，解得：32y x =，
22
22A 同理可得：22
3B S x =，
15A B S S -= ，∴
22321523x x -=，
解得：x =，∴纸片的面积是：21
3461082
x x x ⨯== ，故选：D ．．【点睛】
本题主要考查了翻折变换（折叠问题），三角形面积的计算，根据勾股定理求得CD 的长是解题的关键．
2．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧极能拼出许多有趣的图案，小聪将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割成七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知80cm AB =，则图中阴影部分的面积为（）2cm ．
A ．200
B ．2003
C ．50
D ．100
【答案】A
如图，设OF＝EF＝FG＝x cm，可得EH＝＝40cm，解方程即可解决问题．
【详解】
解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），
∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，由勾股定理得：EH＝，
∵AB＝80cm，
∴由题意得EH＝40cm，
∴40＝，
∴x＝
∴阴影部分的面积＝（2＝200（cm2）
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．下列四组数据，不是勾股数的是（）
A．3，4，5B．5，6，7C．6，8，10D．9，40，41【答案】B
根据勾股数的定义：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．【详解】
解：A 、因为32+42＝52，属于勾股数；
B 、因为52+62≠72，不属于勾股数；
C 、因为62+82＝102，属于勾股数；
D 、因为92+402＝412，属于勾股数；
故选：B ．【点睛】
本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数，一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
4．ABC 在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则AC 边上的高是（）
A ．13
5B ．145C ．16
5D ．17
5
【答案】D 【分析】
作BD AC ⊥于D ，根据勾股定理求出AC 的长，再利用三角形面积公式求ABC 中AC 边上的高即可．【详解】
∵小正方形的边长都为1，
∴5AC ==，∵11117451523342222
ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ，∴11175222
ABC S AC BD BD =⨯⨯=⨯⨯= ，解得：175BD =，故选：D ．【点睛】
本题主要考查了勾股定理在网格中的应用以及三角形的面积，根据题意得出ABC 的面积等于矩形的面积减去三个小三角形的面积是解题的关键．
5．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将边BC 沿CN 折叠，使点B 落在AB 上的点B ′处，再将边AC 沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点N 、M ，则线段A M '的长为（）
5555
【答案】B 【分析】
利用勾股定理求出AB =10，利用等积法求出CN ＝
245，从而得AN ＝325，再证明∠NMC ＝∠NCM ＝45°，进而即可得到答案．【详解】
解：∵90,8,6
ACB AC BC ∠=︒==
∴AB 10==，
∵S △ABC ＝12×AB ×CN ＝12×AC ×BC
∴CN ＝245，
∵AN 325=，∵折叠
∴AM ＝A'M ，∠BCN ＝∠B'CN ，∠ACM ＝∠A'CM ，
∵∠BCN +∠B'CN +∠ACM +∠A'CM =90°，
∴∠B'CN +∠A'CM ＝45°，
∴∠MCN ＝45°，且CN ⊥AB ，
∴∠NMC ＝∠NCM ＝45°，
∴MN ＝CN ＝245，∴A'M ＝AM ＝AN −MN ＝
325-245=85．故选B ．
本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
6．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这3个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和为（）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】D
【分析】
根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：如图，设直角三角形的三条边分别是a，b，c，
根据勾股定理，得222
a b c，
+=
同理：正方形D 的面积+正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形G 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积1=，
推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是202212022⨯=．故选：D 【解答】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键．7．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为5的等腰梯形，底差等于6，面积为24，那么这个等腰梯形的纵横比等于（
）A ．5
4B ．56C ．2
3D ．3
5
【答案】C 【分析】
作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，根据BC-AD =6求出BE=CF =3，利用勾股定理求出高AE 的长，利用梯形面积公式求出AD 的长，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案．【详解】
解：如图，由题意得：AB=CD =5，BC-AD =6，
作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，
∴BE=CF =3，
∴4AE DF ===，∵梯形面积11()(6)42422
S AD BC AE AD AD =
+⋅=⨯++⨯=，∴3AD =，
22
∴这个等腰梯形的纵横比=
4263=，故选：C ．．【点睛】
此题考查勾股定理，梯形面积公式及中位线公式，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键．
8．如图，1OP =，过P 作
1PP OP ⊥且11PP =，得1OP =再过1P 作122PP OP ⊥且121P P =，
得2OP =；又过2P 作232PP OP ⊥且231P
P =，得32OP =…依此法继续作下去，则20202021OP P △的面积为（）
A B C D 【答案】B 【分析】
根据勾股定理分别列式计算，找出被开方数的变化规律，最后用三角形的面积公式求解．
123=12OP OP OP OP == ，
4OP ∴==，…，n OP
2020OP ∴202020211P P = ，2020OP 和20202021P P 相互垂直
20202021OP P ∴ 的面积为1122
S =⨯⨯=．故答案为：B ．【点睛】
本题考查了勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方)，三角形面积公式(1=2
S ⨯底⨯底边上的高)．根据题目观察出，被开方数比相应的序数大1是解题的关键．
9．如图，有一张长方形纸片ABCD ，8cm AB =，10cm BC =，点E 为CD 上一点，将纸片沿AE 折叠，BC 的对应边B C ''恰好经过点D ，则线段CE 的长为（）cm
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】A 【分析】由折叠的性质可得8cm AB AB '==，10cm BC B C ''==，CE C E '=，由勾股定理可求B D '的长，由勾股定理可求解．
解： 将纸片沿AE 折叠，BC 的对应边B C ''恰好经过点D ，
8AB AB cm '∴==，10BC B C cm ''==，CE C E '=，
6B D cm '∴=，
4C D B C B D cm ''''∴=-=，
222DE C D C E ''=+ ，
2216(8)DE DE ∴=+-，
5DE cm ∴=，
∴3cm
CE =故选：A ．【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键．
10．已知a 、b 为两正数，且12a b +=，则代数式
+）A ．12
B ．13
C ．14
D ．15【答案】B 【分析】
如图所示，构造Rt △BEA 和Rt △AFC 使得BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，然后根据勾
股定理构可得AB 和AC ，当A ，B ，C 三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可．【详解】
解：如图所示，构造Rt △BEA 和Rt △AFC 使得BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，
根据勾股定理可得：AB 和AC
所以：
AB AC BC +≥，
∴当A ，B ，C 三点共线时+AB AC 有最小值，即BC ，
在Rt △BDC 中13BC ===．
故选：B 【点睛】
本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键．
11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，图中阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若已知Rt ABC 的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（）
A ．4
S B ．143S S S +-C ．234S S S ++D ．123
S S S +-【答案】A 【分析】
表示相应的面积，确定面积与m ，n ，S 之间的关系，从而作出判断．【详解】
设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，
∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，
∴S =1mn 2
，AB
∴AE =EC =m 2，BF =CF =2
n ，AD =BD ，
在直角三角形AED 中，ED ==2
n ，
∴DC =EC -ED =m 2-2
n =()2m n -，
∴4S =11111AE ED=2222222
m n mn S ∙=⨯=，故4S 的值可以确定，
∴A 选项符合题意；
设AC ，BD 的交点为G ，则3S +ADG S =112222()22
S CD AE m n =∙=⨯-⨯△ADC =24
()1m mn -，1S +ADG S =22224
1S AD m n +==△ADB ，∴143S S S +-=224m n ++12S -24()1m mn -=2
+4
n S ，与n 有关系，故代数式的值不能确定，
∴B 选项不符合题意；
∵3S +ADG S =24()1m mn -，1S +ADG S =22
4
m n +，∴13S S -=21+42
n S ，∴234S S S ++=212BF +12S +1S -21-42n S =24n +12S +1S -21-42
n S =1S ，无法确定，∴C 选项不符合题意；
∵123S S S +-=21+42n S +24n =21+22
n S ，与n 有关，∴D 选项不符合题意；
故选A ．【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补，灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键．
12．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上的中点，连接CD ，将BCD △沿着CD 翻折，得到ECD ，CE 与AB 交于点F ，连接AE ．若6,42AB CD AE ===,，则点C 到AB 的距离为（）
A ．7
2B ．C ．3D ．【答案】C 【分析】
连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ⊥AB 于H ，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB 是直角三角形，且G 点是BE 的中点，从而CG ⊥BE ，由勾股定理可求得BE 的长，则根据△ABC 的面积相等一方面可表示为
12
AB CH ，另一方面其面积为△BCD 与△ACD 面积的和，从而可求得CH 的长．【详解】
连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ⊥AB 于H ，如图所示
由折叠的性质，得：BD =ED ，CB =CE
∴CG 是线段BE 的垂直平分线
∴BG =12BE
∵D 点是AB 的中点
∴BD =AD ，BCD ACD
S S ∴AD =ED
∴∠DAE =∠DEA
∴∠DEB =∠DBE
∵∠DAE +∠BEA +∠DBE =180°
即∠DAE +∠DEA +∠DEB +∠DBE =180°
∴2∠DEA +2∠DEB =180°
∴∠DEA +∠DEB =90°
即∠AEB =90°
在Rt △AEB 中，由勾股定理得：BE =
∴BG =∵BCD ACD ABC
S S S += ∴11222
CD BG AB CH ⨯=
∴224863
CD BG CH AB ⨯⨯==
故选：C ．【点睛】
本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线
七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）
A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁
C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲
【答案】A
【分析】
设最小的直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，分别表示出七块七巧板各边的长度，计算每个图形中重合的线段和，和越大，周长越小．
【详解】
解：设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理，
可以得出其余的边长分别为2，
分别求出各图中重合的线段的长度和，和越大，则周长越小；
甲图中重叠的线段和为：；
乙图中重叠的线段和为：；
丙图中重叠的线段和为
丁图中重叠的线段和为：；
+>+>+>+
∵6755
∴乙＞丙＞甲＞丁
本题考查了勾股定理，不规则图形的周长，解题关键是明确总周长一定，重叠的线段和越大，则周长越小．二、填空题
14．如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，P 是直线MN 上的一个动点，记PA PB +的最小值为a ，||PA PB -的最大值为b ，则22a b -=_______．
【答案】160【分析】
作点A 关于直线L 的对称点A ′，连接A ′B 交直线L 于点P ，过点A ′作直线A ′E ⊥BD 的延长线于点E ，再根据勾股定理求出A ′B 的长就是PA +PB 的最小值；延长AB 交MN 于点P ′，此时P ′A -P ′B =AB ，由三角形三边关系可知AB ＞|PA -PB |，故当点P 运动到P ′点时|PA -PB |最大，作BE ⊥AM ，由勾股定理即可求出AB 的长就是|PA -PB |的最大值．进一步代入求得答案即可．【详解】解：如图，
作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，
则点P即为所求点．
过点A′作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值．∵AC=8cm，BD=5cm，CD=4cm，
∴A′C=8cm，BE=8+5=13cm，A′E=CD=4cm，
∴A′B=
即PA+PB的最小值是a
如图，
延长AB交MN于点P′，
∵P′A-P′B=AB，AB＞|PA-PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA-PB|最大，
∵BD=5，CD=4，AC=8，
∴AB =5．
∴|PA -PB |=5为最大，
即b =5，
∴a 2-b 2=185-25=160，
故答案为：160．【点睛】
本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．
15．在ABC 中，1520AB AC BC ==,,边上的高线为12，则ABC ∆的面积为________．
【答案】150或42【分析】
分两种情况：①B Ð为锐角；②B Ð为钝角；利用勾股定理求出BD 、CD ，即可求出BC 的长．【详解】
解：分两种情况：①当B Ð为锐角时，如图1所示，
在Rt △ABD 中，
9BD =
==，在Rt ADC 中，
16CD ===，
25BC BD CD ∴=+=，
ABC ∆∴的面积为1
25121502⨯⨯=；
②当B Ð为钝角时，如图2所示，
在Rt △ABD 中，
1697BC CD BD =-=-=，
所以ABC ∆的面积为1
712422
⨯⨯=；
故答案为：150或42．【点睛】
本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．
16．在ABC 中，5AB =，AC =，BC 边上的高为3，则边BC 的长为__________．
【答案】2或10【分析】
分两种情况考虑：当△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD +DC 求出BC 的长即可；当△ABC 为钝角三角形，同理由CD -BD 求出BC 的长即可．【详解】解：分两种情况考虑：如图，
此时△ABC为锐角三角形，
==，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD4
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD6，
此时BC=BD+DC=4+6=10；
如图，
此时△ABC为钝角三角形，
==；
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD4
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD6，
=-=，
此时BC=CD-BD642
综上，BC的长为2或10．
故答案为：2或10．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
17．如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段CE的长等于_________，线段BF的长等于_________．
【答案】24585【分析】
先依据勾股定理求得AB 的长，然后在△ABC 中，利用面积法可求得CE 的长，然后依据勾股定理定理可求得AE 的长，证明△ECF 为等腰直角三角形可求得EF 的长，依据FB =AB -AF 求得FB 的长即可．【详解】
解：由翻折的性质可知CE ⊥AD ，
在Rt △ABC 中，AB ，
∵S △ABC =12AC •BC =1
2AB •CE ，
∴CE =6824105⨯=，在△AEC 中，依据勾股定理得：AE =
185，由翻折的性质可知∠ECD =12∠ACD ，∠DCF =12∠DCB ，CE ⊥AD ，
∴∠ECF =45°，
∵CE ⊥AD ，
∴CE =EF =
245，∴FB =AB -AE -EF =10-185-245=85
，故答案为：245，85．
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CE 的长，然后再利用勾股定理和等腰三角形的性质求得AE 和EF 的长是解答问题的关键．
18．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC ，BC ，AB 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，S 3，若S 3＝9π，则S 1+S 2等于_____．
【答案】9π．【分析】
根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S 1+S 2的值，从而可以解答本题．【详解】
解：∵∠ACB ＝90°，
∴AC 2+BC 2＝AB 2，
∵S 1＝π（2AC ）2×12，S 2＝π（2BC ）2×12，S 3＝π（2
AB ）2×12，∴S 1+S 2＝π（
2AC ）2×12+π（2BC ）2×12＝π（2AB ）2×12＝S 3，∵S 3＝9π，
∴S 1+S 2＝9π，
故答案为：9π．【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
作A E BC '⊥，垂足为E ，若8AB =，5CE =，则BC 的长为__
．
【答案】【分析】
过C 作CF AB ⊥，F 为垂足，通过已知条件可以求得()AFC CEA AAS D @D ¢
，AF CE =，从而求得3BF =，再根据直角三角形的性质，即可求解．【详解】
解：过C 作CF AB ⊥，F
为垂足，
ACE ABC A ∠=∠+∠Q ，
又30ABC =︒∠ ，
30ACE A \Ð=°+Ð，
又30ACE A CE ��孝Q ，
A A CE \�孝，
在AFC ∆与CEA D ¢中，
'90''AFC A EC A A CE AC CA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFC CEA AAS \D @D ¢
，
∴3BF AB AF =-=，
在Rt BFC △中，30FBC ∠=︒，设FC x =，则2BC x
=由勾股定理可得222
BC FC BF =+即222
(2)3x x =+
解得x =
BC =
故答案为【点睛】
此题主要考查了三角形全等的证明方法和直角三角形的有关性质，利用已知条件合理构造直角三角形是解决本题的关键．
20．如图，在Rt ABC 中，AC BC =，点D 为AB 中点．90GDH ∠=︒，GDH ∠绕点D 旋转，DG ，DH 分别与边AC ，BC 交于E ，F 两点．下列结论：①AE BF AC +=；②222AE BF EF +=；③1
2
ABC CEDF S =四边形△；④DEF 始终为等腰直角三角形．其中正确答案的序号有__________．
【答案】①②③④【分析】
连接CD 根据等腰直角三角形的性质就可以得出ADE CDF ∆≅∆，就可以得出AE CF =，进而得出CE BF =，就有AE BF AC +=，由勾股定理就即可求出结论．【详解】
12
AD CD BD AB ∴===．45A B ACD BCD ∠=∠=∠=∠=︒，90ADC BDC ∠=∠=︒．90ADE EDC ∴∠+∠=︒，
90EDC FDC GDH ∠+∠=∠=︒ ，
ADE CDF \Ð=Ð．
在ADE ∆和CDF ∆中，
A DC
B AD CD ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADE CDF ASA ∴∆≅∆，
AE CF ∴=，DE DF =，ADE CDF S S ∆∆=．
AC BC = ，
AC AE BC CF ∴-=-，
CE BF ∴=．
AC AE CE =+ ，
AC AE BF ∴=+．①
222AC BC AB +=
，
AC ∴=
，2AE BF AB ∴+=
．
DEF ∴∆始终为等腰直角三角形．④
222CE CF EF += ，
222AE BF EF ∴+=．②
EDC CDF CEDF S S S ∆∆=+ 四边形，
12EDC ADE ABC CEDF S S S S ∆∆∆∴=+=
四边形．③∴正确的有①②③④．故答案为：①②③④．【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明ADE CDF ∆≅∆是关键．
21．如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D ，E 是网格线交点，
则BAC DAE ∠-∠的度数为_______．
【答案】45°【分析】
如图，连接CG 、AG ，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG =90°，从而知△CAG 是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC -∠DAE =∠ACG ，即可得解．【详解】
解：如图，连接CG 、AG ，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC 2=AG 2=12+22=5，CG 2=12+32=10，
∴AC 2+AG 2=CG 2，
∴∠CAG =90°，
∴△CAG 是等腰直角三角形，
∴∠ACG =45°，
∵CF ∥AB ，
∴∠ACF =∠BAC ，
在△CFG 和△ADE 中，
∵90CF AD CFG ADE FG DE ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝，
∴△CFG ≌△ADE （SAS ），
∴∠FCG =∠DAE ，
∴∠BAC -∠DAE =∠ACF -∠FCG =∠ACG =45°，
故答案为：45°．【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图，在ABC 中，4AB =，135BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点，若 1.5AD =，则AC 的长度为______
．
【答案】1+【分析】
延长AD 到E ，使得AD =DE ，证明△ADB ≌△EDC ，得4CE AB ==，过点E 作EH AC ⊥于H ，分别求出CH 和AH 的长即可得到结论．【详解】
解：延长AD 到E ，使得AD =DE
，如图，
∵D 为边BC 的中点，
∴BD=CD
在△ADB 和△EDC 中，
AD DE ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△EDC
∴,4
B DCE CE AB ∠=∠==∴//AB CE
∴180BAC ACE ︒
∠+∠=∴18013545ACE ︒︒︒
∠=-=过点E 作EH AC ⊥于
H
∴CH EH ==
在Rt AHE ∆中，23AE AD ==，HE =
∴1
AH ==
∴1
AC AH HC =+=
故答案为：1．【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
23．如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，连接AC ，BD 交于点E ，
90CBD ∠=︒，
若点E 为AC 的中点，CD =ABCD 的面积为______．
【答案】6【分析】
过点A 作AF BD ⊥，可证得CBE AFE ≌△△，得到线段BC 和BD 的数量关系，即可求出BC 和BD 的长度，然后根据三角形面积公式即可求得．【详解】
过点A 作AF BD ⊥，如图所示，
在CBE △和AFE △中，
CBE AFE BEC AEF EC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()CBE AFE AAS ≌△△，
∴BC AF =，
又∵2BD AF =，
∴2BD BC =，
∴在Rt BCD 中，
222BC BD CD +=，
(
)2
222BC BC +=，解得：BC
(负值舍去)，BD
=AF
∴四边形ABCD
的面积11=622ABD CBD S S +=
⨯=△△．故答案为：6．【点睛】
此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
24．
我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做
3
BC=，若直线l为Rt ABC
的“等周线”，请直接写出ABC
的所有“等周径”长为______________．
【答案】
5或
【分析】
分直线过顶点A、B、C三种情况，分别画出图形求解即可．
【详解】
解：分三种情况讨论：
①当“等周线”经过点C时，直线1交AB于点E，
设BE=x，则AE=5-x，
作CH⊥AB于H，
由题意：3+x=4+5-x，
解得：x=3，
∵
12
5
BC AC
CH
AB
⋅
==，
∴
9
5 BH==，
∴
96
3
55 EH=-=，
在Rt△ECH中，CE=
∴“等周径”
由题意得：4+3-x=5+x，
解得：x=1，
∴EC=2，
在Rt△ACE中，AE==，
∴“等周径”长为
③当∴“等周径”经过点B时，直线l交AC于点E，
设AE=x，则CE=4-x，
由题意：3+4-x=5+x，
解得：x=1，
∴CE=3，
在Rt△BCE中，BE==
∴“等周径”长为
本题考查了勾股定理的应用和分类讨论思想，关键是分三种情况进行讨论．
25．把两个同样大小含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若4AB =，则CD =____．
【答案】【分析】
作AF BC ⊥于F ，根据等腰直角三角形的性质求出AF ，BF ，CF ，在Rt ABC ∆中根据勾股定理求出BC ，得到AD ，在Rt ADF ∆中，根据勾股定理求出DF ，即可得CD ．【详解】
过点A 作AF BC ⊥于点F ，
在Rt ABC ∆中，45B ∠=︒，
∴4AB AC ==，
∴BC =，BF CF AF ===，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD BC ==
DF ==
∴CD FD FC =-=，
故答案为：【点睛】
本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
26．如图，矩形ABCD 中，3AD =，2AB =．点E 是AB 的中点，点F 是BC 边上的任意一点（不与B 、C 重合），EBF △沿EF 翻折，点B 落在B '处，当DB '的长度最小时，BF 的长度为______．
【答案】13+【分析】
先确定当D ，B '，E 共线时，DB '的值最小，再根据勾股定理解题．【详解】
如图，连接DE ，
∴1DB '≥，
∴当D ，B '，E 共线时，DB '的值最小，
不妨设此时点B '落在DE 上的点B ''处，
设BF F B x ''''==，
∵22222F D CD F C B D B F '''''''=+=+，
∴())2222231x x +-=-+，解得13
x =．
故答案为：13
．【点睛】
本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方)．解题的关键是确定当D ，B '，E 共线时，DB '的值最小．27．如图，矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，E ，F ，Q 分别是AD 和BC 、DC 的中点，P 是EF 上的点，则PD PQ +的最小值为________．
【答案】5
【分析】
取AB 的中点为'Q ，连接'DQ 交EF 于点P'，则PD PQ +的最小值转为两点之间的距离最短，利用勾股定理求解．
【详解】
小值，如下图：
由图可知，'''P Q P Q =，
''''PD PQ DP P Q DQ ∴+=+=，
在'Rt DQQ 中，
13,'42
DQ AB QQ AD ====，
'5DQ ∴==，由两点之间的距离最短即，
PD PQ +的最小值为5，
故答案是：5．【点睛】
本题考查了动点问题，涉及到勾股定理的使用，解题的关键是把PD PQ +转换为两点之间的距离最短来求解，运用转换的思想．
28．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点．将△CEB 沿直线CE 折叠到△CEF ，使点B 与点F 重合．当CF ⊥AB 时，线段EB 的长为_____．
【分析】
设CF 与AB 交于点H ，利用勾股定理求出AB ，利用面积法求出CH ，求出HF 和BH ，设BE =EF =x ，在△EHF 中利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】
解：设CF 与AB 交于点H ，
∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4，
∴AB =5，
∴S △ABC =1122
AC BC AB CH ⨯⨯=⨯⨯，
即345CH ⨯=⨯，∴CH =125，由折叠可知：CF =CB =4，
∴HF =CF -CH =85，
在△BCH 中，BH 165
=，设BE =EF =x ，则EH =165
-x ，在△EHF 中，222EH FH EF +=，∴22
216855x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：x =2，
∴EB =2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
29．在平面直角坐标系中，己知y轴上一点B，A为x轴上的一动点，连接AB，
的最小值是________．
以AB为边作等边ABC
如图所示，连接OC，则BC OC
【答案】3
【分析】
作等边△BOD，构造出△BAO≌△BCD，从而得到∠BDC＝∠AOB＝90°，找到点C的运动轨迹为直线CD，延长BD交y轴于点B′，利用已知条件可证明直线CD就是线段BB′的中垂线，从而BC+OC=B'C+OC，而O、C、B'三点共线时，B'C+OC的值最小，最小值为OB'的长．
【详解】
解：如图所示，在第二象限以OB为边长作等边△BOD，连接OD，并作直线BD，延
∵等边△ABC 、等边△BOD
∴AB ＝BC ，BO ＝BD ，∠CBA ＝∠OBD ＝60°
∴∠OBA ＝∠CBD
在△BAO 和△BCD 中
BO BD BA BC OBA DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BAO ≌△BCD （SAS ）
∴∠AOB ＝∠BDC ＝90°
∴CD ⊥BD
∴点C 随着点B 的运动形成的图形是直线CD
∵∠BOB '＝90°，∠OBD ＝60°
∴∠BB 'O ＝30°
∴OB ＝1
2BB '
∴BD ＝OB ＝12BB '
∴点D 是BB '
的中点
∴CD 是BB '的中垂线
∴BC ＝B ′C
∴BC +OC ＝B 'C +OC
又∵点C 在直线CD 上运动，所以点O 、C 、B '三点共线时，B 'C +OC 的值最小，最小值为OB '的长．
在R △BOB '中，∠BOB '＝90°，∠OBD ＝60°，OB BB
，OB ′
3=，
∴BC +OC 的最小值为3．
故答案为3．【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点C 的运动轨迹是关键．
30．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4BC AC ==，M 为AB 中点，D 是射线BC 上的一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AE ，连接ED 、ME ，点D 在运动过程中ME 的最小值为_______．
【答案】2【分析】
连接EB ，过点M 作MG EB ⊥于点G ，过点A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于点K ，则AKB △是等腰直角三角形．推出ADK ABE ≅△△，根据全等三角形的性质得到
【详解】
解：连接EB ，过点M 作MG EB ⊥于点G ，过点A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于点K ，则AKB △是等腰直角三角形．
在ADK △与ABE △中，
AK AB KAD BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴()ADK ABE ASA ≅ ，
∴45ABE K ∠=∠=︒，
∴BMG △是等腰直角三角形，
∵4BC =，
∴AB =∵M 为AB 中点，
∴MB =∴2MG =，
∵90G ∠=︒，
∴ME MG ≥，
∴当ME MG =时，ME 的值最小，
∴2ME BE ==.
故答案为：2
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，证明线段最短有一定的难度．但通过构造全等三角形，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质就变得容易．
31．已知，有一个井泵如图1所示，它的一个纵向截面如图2，当活塞EF向上移动时，底面BC上的阀门打开，EF上的阀门关闭，外部液体被吸入活塞下方的空间内，活塞EF上方的液体被上推；当活塞EF向下移动时，BC上的阀门关闭，EF上的阀门打开，液体从活塞EF下方空间被压入活塞内EF上方空间．在图2中，点J在直径AD上，水泵底面直径BC＝10cm，活塞直径EF∥BC，G为EF中点．手柄IH支撑杆ID长cm，弧JI是直径为的半圆，连轴JG的长为25cm，（点C，D，F，I四点
共线，J，I，H三点共线，水泵材质厚度忽略不计），则DF＝_____cm，当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中井泵的最大出水量是_____cm3．
【答案】
GM=DF，在直角△IJD中由勾股定理可计算出JD，从而可得MJ，然后在直角△GMJ 中，由勾股定理可求得GM，进而求得DF的长；当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中，点J上升的最大高度为JD=ID+IJ，从而EF的最大上升高度也为JD，此时最大出水量为一个圆柱的体积，圆柱的高为JD的长，底面直径为10cm，所以可求得其体积．
【详解】
（1）如图，连接AD，过点G作GM⊥AD于点M，则M为AD的中点，且四边形MGFD
为矩形，所以有DF=MG，MD=GF=15
2
EF=cm
∵ID⊥AD，ID=cm，IJ=
∴由勾股定理得：6
JD===(cm)
∴MJ=JD−MD=6-5=1(cm)
在Rt△GMJ中，由勾股定理得：GM===(cm)
∴DF=cm
当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中，点J上升的最大高度为JD=ID+IJ=
=(cm)，相应地EF也随之上升的最大高度为cm，此时井
泵的最大出水量是一个底面直径为10cm高为的圆柱的体积．
2V π=⨯⨯= ⎪⎝⎭
(cm 3)
故答案为：；【点睛】
本题主要考查了解直角三角形在实际中的应用，第二问的关键是明白点J 上升的最大垂直高度为图3中JD 的长度，即为EF 上升的最大高度，从而可求出此时的最大出水量，且这个出水量是底面直径为10cm ，高为JD 的圆柱的体积．
32．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°．点E 是BC 上的一点，D 为AC 中点，连接ED ，将△CED 沿ED 翻折，得到△EDC ′，连接AC ′，BC ′．若DC ′⊥AB ，AC ′＝2，则△ABC 的面积为_____．
【答案】
4+【分析】
设AB 与C′D 交于O 点，根据等腰直角三角形以及折叠找到三角形AOC ′的三边关系利用勾股定理计算即可.
【详解】
∴DB=DC=DA ，∠BAD =45°
∵将△CED 沿ED 翻折，得到△EDC ′，
∴DC=DC′
设DB=DC=DA=DC′=x
∵DC ′⊥AB
∴△AOD 是等腰直角三角形
∴22
OA OD x ===
∴C C O O D x x D ==''-在Rt △AOC ′中，
222
C OA O AC +=''∵AC ′＝2
∴222())2x +=
解得24x =+
∴2142
ABC S BD AC x =⋅==+V 故答案为
4+【点睛】
本题综合考察勾股定理与等腰直角三角形，解题过程中与二次根式有关的运算也是解题的关键.
33．如图，在Rt ABC 的纸片中，∠C ＝90°，AC ＝7，AB ＝25．点D 在边BC 上，以
AD 为折痕将 ADB 折叠得到ADB ' ，AB '与边BC 交于点E ．
若DEB '△为直角三角形，则BD 的长是_____．
【答案】17或754【分析】
由勾股定理可以求出BC 的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当DEB ∆'为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD 的长．【详解】
解：在Rt ABC ∆中，24BC =，
（1）当90EDB ∠'=︒时，如图1，过点B ′作B F AC '⊥，交AC 的延长线于点F ，
由折叠得：25AB AB ='=，BD B D CF ='=，
设BD x =，则B D CF x '==，24B F CD x '==-，
在Rt AFB ∆'中，由勾股定理得：
222(7)(24)25x x ++-=，
即：2170x x -=，解得：10x =（舍去），217x =，
因此，17BD =．
由折叠得：25AB AB ='=，则25718B C '=-=，
设BD x =，则B D x '=，24CD x =-，
在Rt △B CD ¢中，由勾股定理得：222(24)18x x -+=，解得：754
x =，因此754
BD =．故答案为：17或754．【点睛】
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
34．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，ACB △的角平分线AD ，BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ∠=︒；
②DH =；③APH ADE S S =△△；④DH 平分CDE ∠；其中正确的结论是
___________．（填正确结论的序号）
【答案】①②③【分析】
（ASA ）与△APH ≌△FPD （ASA ），结合90,HPD ∠=︒可判断②，由△ABP ≌△FBP ，△APH ≌△FPD ，可得S △APB =S △FPB ，S △APH =S △FPD ，再证明HD ∥EP ，可判断③，若DH 平分∠CDE ，推导DE ∥AB ，这个显然与条件矛盾，可判断④；【详解】
解：在△ABC 中，
∵∠ACB =90°，∴90BAC ABC ∠+∠=︒，
又∵AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ，
∴∠BAD +∠ABE =
190452窗=，∴∠APB =135°，故①正确．
∴∠BPD =45°，
又∵PF ⊥AD ，
∴∠FPB =90°+45°=135°，
∴∠APB =∠FPB ，
又∵∠ABP =∠FBP ，BP =BP ，
∴△ABP ≌△FBP （ASA ），
∴∠BAP =∠BFP ，AB =FB ，PA =PF ，
,
BAD CAD ∠=∠ ,
PAH PFD ∴∠=∠在△APH 和△FPD 中，
90APH FPD PA PF PAH PFD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，。