2020学年高中数学学期综合测评(一)(含解析)新人教A版选修2-2(2021-2022学年)

学期综合测评(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分１50分,考试时间１2０分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共６0分）
一、选择题(本大题共1２小题,每小题５分，共60分)
1．曲线ｙ＝错误!在点(－1,-1)处的切线方程为()
Ａ.y＝2x+1 B．y=2x-1
C.ｙ=－2ｘ－３ﻩＤ.y=-２ｘ－2
答案A
解析易知点（-1，-1)在曲线上，且y′＝错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

，∴切线斜率k=ｙ′｜x＝－1＝错误!=２。

由点斜式得切线方程为ｙ＋1=2（x＋1)，
即y=２ｘ+1.
2．若复数z满足z（2-ｉ)＝11＋7i（ｉ为虚数单位），则z为( )
A．３＋5i Ｂ．3－５i
C．-3+5iﻩD．-３－５i
答案A
解析由ｚ(2－i）＝１1+7i得,z=＼f(11＋7i,2－i)＝错误!＝错误!＝3+5ｉ.
３.定积分错误!未定义书签。

＼f(x2+1,ｘ）dｘ的值为()
Ａ.错误!未定义书签。

+ｌn 2 B.错误!未定义书签。

C.3+ln 2 ﻩD。

＼f(1，2)
答案A
解析错误!错误!d x=错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

d x＝错误!错误!d x＋错误!xｄx＝
ｌｎx=ｌn2-ｌn １＋错误!未定义书签。

×22－错误!未定义书签。

×12＝错误!+ln 2。

4．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是（）
答案A
解析观察图形可知,下一个呈现出来的图形是A选项中的图形．
５．已知函数ｙ=f(x)的导函数ｙ=ｆ′（x)的图象如图所示，则( )
A．函数f（x）有1个极大值点,1个极小值点
B．函数f(x)有２个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点，１个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点，３个极小值点
答案A
解析根据极值的定义及判断方法,检查f′(x）的零点左右的值的符号,如果左正右负,那么f （x)在这个点处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值;如果左右都是正,或者左右都是负,那么f(x）在这个点处不是极值.由此可见，x2是函数ｆ（x)的极大值点，ｘ３是极小值点,ｘ１,x4不是极值点．
６．曲线y=eｘ在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ）
A.＼f(9,４)e2
B.2ｅ2
C.e2
D.错误!未定义书签。

答案D
解析∵f′(x）=ｅx,∴曲线在点（2，e２)处的切线的斜率为ｋ＝f′（2)＝e2,切线方程为ｙ-e2=e2(ｘ-2），即ｅ2ｘ-ｙ－e2＝0，切线与ｘ轴和y轴的交点坐标分别为A（1，０),B(0,-ｅ2ﻬ),则切线与坐标轴围成的△ＯAB的面积为错误!未定义书签。

×1×e2=错误!.
7．给出下面类比推理的命题,其中类比结论正确的是（）
A.“若a，b∈Ｒ，则a2＋b2＝0⇒a=0且ｂ=0"类比推出“若z1,z２∈C，则z错误!未定义书签。

+ｚ错误!未定义书签。

=0⇒z1＝0且z２=0＂
B．“若a,b∈R,则ａ-b>０⇒a＞b”类比推出“若z1，z2∈C,则ｚ１－z2＞０⇒z１>z2＂
Ｃ.“若ｘ∈R，则|ｘ｜<1⇒－1<x＜1”类比推出“若z∈C,则|z|<1⇒－1<ｚ＜１”
D．“若ａ,b,c，d∈R，则复数a+bｉ=c＋d i⇒a=c,b＝ｄ”类比推出“若ａ,b,c,d∈Q,则a+错误!未定义书签。

b=c+错误!未定义书签。

d⇒a=c，b=d”
答案D
解析对A，若ｚ1，z2为虚数，由ｚ错误!未定义书签。

+z错误!未定义书签。

＝0不能推出z１=0且z2=0，如z1=1+i,ｚ２=1-ｉ,z错误!未定义书签。

+z错误!未定义书签。

＝0，但z1≠０,z2≠0．同理B，C也不正确,D正确．
8．若函数f(x)＝＼f（x，ｘ２＋ａ）（ａ＞０)在［1，＋∞]上的最大值为错误!未定义书签。

，则a的值为( )
A。

错误!未定义书签。

＋１Ｂ. 3 C.错误!D。

错误!-1
答案D
解析f′(x)=错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

,
当x＞错误!未定义书签。

时，f′(x)＜０，f（ｘ)单调递减,
当－错误!未定义书签。

<x＜错误!未定义书签。

时,f′(x）＞０，ｆ（x)单调递增,
当ｘ=错误!时,令f(ｘ)=错误!未定义书签。

=错误!，错误!未定义书签。

＝错误!＜1，不合题意.
∴f（x）mａx＝f（１)＝错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

，a＝错误!未定义书签。

-1，故选D.
9．已知结论:“在正三角形ＡBC中,D为BＣ边的中点，Ｇ为△ＡＢC的重心,则错误!未定义书签。

＝２"，若把该结论推广到空间则有结论:在棱长都相等的四面体A-BCD中,若△ＢCＤ的中心为Ｍ，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等,则错误!等于( ）
A．１ B．2 Ｃ．3 D.4
答案C
解析面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，错误!=2,类比错误!未定义书签。

＝3，故选C.
１０.下面为函数y=x sｉn x＋ｃosｘ的递增区间的是（)
Ａ。

错误! B.(π,2π)
C。

错误!ﻩD．(2π，3π）
答案C
解析y′＝ｘｃosｘ,当x∈错误!时，ｃosｘ>0,ｙ′＞0,∴ｆ(x)在错误!上是增函数．
ﻬ１1．已知定义在R上的奇函数f(x）,设其导数为f′（x),当x∈（－∞，0］时,恒有xf′(ｘ)<ｆ(-x),令F（ｘ)＝xｆ(x),则满足Ｆ(3）>F（2x-1）的实数ｘ的取值范围为（）A．（-１，2) Ｂ。

错误!
C.错误!
D.(-2,1)
答案Ａ
解析∵x∈(－∞,0]时，ｆ(ｘ）是奇函数,且xｆ′(x)＜f（－x）=－f（x）,∴xf′（x）＋f （x)<0,又F′(x)＝xｆ′(x）+f（x）,∴F(x）在(－∞,０]上是减函数，又F(x）＝xf(x)是偶函数,故F(x）在[0，＋∞)上是增函数,所以F(３)>F(2x－１）=F（|２x－１|),∴｜２ｘ-1|＜3,∴－1＜
ｘ<2，故x的取值范围是(-１,2）．
１2.已知函数f(x)＝x3+ａx2+ｂx+c,且0〈f(-１）=f(－2）＝f(－3）≤３,则( )
A.c≤３Ｂ．3〈c≤6
C.6〈ｃ≤9
D.c>9
答案Ｃ
解析由题意,不妨设g（x)＝x３+ax２+bx＋c－m,m∈(0,３］,则ｇ（x)的三个零点分别为ｘ1=-３,x2＝-2,x3=-１，因此有(x＋1）(x+2)（ｘ＋3）=ｘ３+ａx2＋bx+c－ｍ,则c-m=６，因此c＝m+６∈（６,9].
第Ⅱ卷(非选择题，共９０分)
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共２0分）
13.已知函数ｆ（x)＝x3-错误!未定义书签。

x2+bx+ｃ的图象上至少存在一点使曲线ｆ(x）在该点处的切线与直线ｙ＝1平行，则b的取值范围是＿_______.
答案错误!
解析由题意知，存在x使ｆ′（x)=3x2－x+b=0，故Δ＝１－１２b≥0,得b≤错误!.
1４．已知a是实数,错误!未定义书签。

是纯虚数,则ａ等于________．
答案１
解析错误!未定义书签。

＝错误!=错误!
＝错误!，
∴错误!即a=1。

１5.∫错误!|ｓｉｎx|d x=＿__＿__＿＿。

答案4
解析∫错误!｜siｎｘ|d x=∫错误!sｉnｘdｘ+∫错误!未定义书签。

(－ｓｉｎx)ｄx
=－ｃos x 错误!错误!错误!
=1+1+1+1=４。

16．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥"形的产品,其中第1堆只有一层,就一个球;第２、3、4、…堆最底层(第一层）分别按下图①②③所示方式固定摆放,其余堆类推，从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球,以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则ｆ（3）＝__＿＿____，f (n )=___＿＿＿__（用含n 的式子表示).
答案 10 错误!未定义书签。

解析 设第n 堆第一层乒乓球数为g （n ),则g （1)＝1,g （2)＝1+2,ｇ（３)=1+2+3,…,
则ｇ(ｎ)＝1+2＋3＋…＋n =错误!=错误!。

所以f （3)=g （1）+g （2)+g (3)
＝１＋(1＋2)＋（1+2+3)＝10。

f (n )＝ｇ（1)+
g （2)＋g （３)＋…+g (n )
＝＼f （1,２)（12＋１）+错误!未定义书签。

(２2+2)＋…＋错误!未定义书签。

(n 2+n )
=错误![(1２+２2＋…＋n ２)＋(1+2+3＋…+n ）］
＝错误!未定义书签。

错误!
=错误!未定义书签。

三、解答题（本大题共6小题,共7０分)
1７．(本小题满分10分）（１)计算错误!2+错误!未定义书签。

;
（２)复数ｚ＝ｘ+y i （x ,ｙ∈R ）满足z +2i 错误!=3+i,求复数z 。

解 （1)原式＝错误!＋错误!=ｉ+错误!=i+错误!未定义书签。

＝错误!＋错误!未定义书签。

i 。

(2)（x +y ｉ)＋２ｉ（ｘ－y i ）=3＋i,
即(x ＋２y ）+(2x ＋y )ｉ=3＋i ，
即错误!解得错误!未定义书签。

∴z ＝-＼ｆ(1，3)+错误!未定义书签。

i 。

18.（本小题满分１2分)设ａ,b ，c 均为大于1的正数,且ab ＝1０,求证:log ａc ＋l ｏg ｂc ≥4ｌg c ．
ﻬ证明 证法一:∵a ｂ=１0，
∴lg a +ｌg b =lg （a ｂ）＝１,
则ｌo ｇａc +l ｏg b c =ｌg c lg a
+错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

=错误!。

∵a >1，b >1,
∴lｇa>0，ｌg b>０,
则lg ａ·ｌg b≤错误!2＝错误!未定义书签。

，错误!≥4,
又ｃ＞1，lgｃ>０。

∴错误!未定义书签。

≥４lｇｃ，
即lｏg a c＋lｏgｂc≥4lｇｃ.
证法二：要证ｌoｇa c+log b c≥4lg c,
只需证错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

≥４lg c。

又因为c＞1,所以lg c＞0,
故只需证错误!+错误!未定义书签。

≥４,
即证错误!未定义书签。

≥４.
又因为ab＝1０,
所以lg a＋ｌg b=ｌg(ab)＝1,
故只需证错误!未定义书签。

≥4。

又因为lｇa>０，lg ｂ＞0,
所以0<lｇa·lｇb≤错误!2=错误!２=错误!未定义书签。

,
则错误!≥４成立.
所以原不等式成立，
即log a c＋log b c≥4ｌg c。

19.(本小题满分12分）已知函数ｆ(ｘ）=x-ａｌn x(a∈R)．
（1）当a＝2时,求曲线y=f（x)在点Ａ(1，ｆ(1）)处的切线方程;
(2）求函数f（x)的极值．
解函数f(x）的定义域为(０,+∞),ｆ′(x）＝1-错误!未定义书签。

（１)当ａ=2时，f(ｘ）＝x-2ln x，f′(x)＝1－错误!（x＞0）．
所以f（1）=1,f′（1）=-1。

所以曲线ｙ=ｆ(ｘ）在点A(1,f（１))处的切线方程为y－１=－(x-1)，即x＋y－2＝0。

（2)由f ′（x )＝1-＼f(a,x ）＝错误!未定义书签。

(ｘ＞0）知,
①当a ≤0时,f ′(x )＞0，函数ｆ(x )为（0，＋∞)上的增函数,函数f （x )无极值．
②当a >0时，由f ′（ｘ)=０,得x =a 。

当ｘ∈(０,a ）时，f ′(x ）＜0;当x ∈（a ,＋∞)时，f ′(x ）>0，
从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a ）=ａ－a ln a ,无极大值.
综上可得，当a ≤0时,函数f （ｘ）无极值；当ａ＞0时，函数ｆ（ｘ）在ｘ=a 处取得极小值ａ-a ln a ,无极大值.
20.(本小题满分12分)某厂生产产品x 件的总成本c （x )=1２00＋错误!x 3
(万元）,已知产品单价P （万元)与产品件数x 满足:P ２=k x
,生产10０件这样的产品单价为５0万元． (１）设产量为x 件时,总利润为L （x ）(万元)，求Ｌ（ｘ）的解析式;
（2）产量x 定为多少件时总利润L （x )（万元）最大?并求最大值(精确到1万元).
解 （１）由题意有502=错误!未定义书签。

，解得k ＝２5×104
,
∴Ｐ＝ 错误!未定义书签。

=错误!。

∴总利润L (ｘ)=x ·错误!-１20０－错误!=-错误!未定义书签。

+5０0错误!未定义书签。

-1200（x 〉0)．
(2）由(1)得L ′（x )=－错误!未定义书签。

ｘ2＋错误!，令L ′（x ）＝0⇒错误!=错误!x 2， 令t ＝错误!未定义书签。

，得错误!＝错误!t ４⇒t 5＝12５×2５＝55，∴t =５,于是x ＝t 2=25, 则ｘ=25,所以当产量定为25时,总利润最大.
这时L （２５)≈-4１6。

７+25０0－１200≈８８３。

答：产量x 定为25件时总利润L （x )最大,约为883万元．
21.(本小题满分１2分)设数列{a n }满足a n +1=a 错误!－n ａｎ＋1，n ＝１，2,3，…。

(1)当a 1=２时，求a 2,a ３,a 4,并由此猜想出a n 的一个通项公式;
(2)当a 1≥3时,证明对所有的ｎ≥1，有ａn ≥ｎ+2．
解 （1）由a 1=2，得a ２=ａ错误!未定义书签。

-ａ1+1=３,
由a ２＝3，得a 3＝ａ错误!－２ａ２＋１=4，
由a ３=4,得ａ4=a 错误!未定义书签。

－3a ３＋1＝5,
由此猜想a n 的一个通项公式：ａｎ=n +１(n ≥1).
（2)证明：
①当n ＝1时，a １≥３=1+２,不等式成立.
②假设当ｎ＝k （k ≥1)时不等式成立,即a k ≥ｋ+2,
ﻬ那么,ａk ＋1＝a k (a k －ｋ）＋1≥(ｋ＋2)（ｋ+２－k ）+1≥k +3。

即n ＝ｋ+1时,a k +1≥（k +1)+２。

由①②可知,对n ≥1，都有a n ≥ｎ＋2．
２２．(本小题满分12分)已知函数ｆ(x ）＝ln x -错误!未定义书签。

.
(1)当a >０时，判断f (x )在定义域上的单调性;
(2)若f (x )〈ｌn x ＋x 在（1,＋∞)上恒成立，求ａ的取值范围；
(3)若ｆ（x )在［1，e]上的最小值为错误!,求a 的值.
解（1）函数f(x)＝ln x－错误!未定义书签。

的定义域为(0,+∞).
f′(ｘ)＝错误!＋错误!未定义书签。

＝错误!,
当a>０时，由于x∈(０，+∞),可得f′(x)>0,故f(x）为定义域（0，＋∞)上的增函数.
(2)由f（x)<lｎx＋x得-错误!未定义书签。

<x，
即ａ>－x２,
∴a〉－ｘ2在(１,＋∞）上恒成立.
∵ｘ＞1，∴－x2<-1，∴a≥-1，即所求ａ的取值范围是[－１,+∞）．
（3)解ｆ′（x)=0,得ｘ=-a。

①当－a≥e,即ａ≤－ｅ时,x+a≤x－e≤0，
得ｆ′(x)≤０,此时函数f(x)在［1,e］上是减函数．
∴f（x)min＝ｆ（e）＝ln ｅ-错误!=错误!,解得a=－错误!e，与a≤-ｅ矛盾，舍去.
②当-a≤1,即a≥-1时,x+ａ≥ｘ-１≥0。

得f′(x)≥0,此时函数f（x)在［1,ｅ]上是增函数，
∴ｆ（x)ｍin＝f（1）=ln 1-a
１
＝错误!，解得a＝-错误!未定义书签。

，与a≥-1矛盾,舍去.
③当1〈-a〈e，即ａ∈(-e，-1）时，此时函数ｆ(x)在（1，－a）内单调递减,在（－a,e）内单调递增.
∴当x=-ａ时，函数f(x)在[１,ｅ］上取得极小值,也就是最小值为ｆ（-ａ)=ｌn (-ａ)-
a －ａ
＝错误!未定义书签。

,解得a＝-e,满足-错误!未定义书签。

∈（-ｅ，－1),∴a=－错误!未定义书签。

.
综上所述,所求a的值为－错误!未定义书签。

.
ﻬ
ﻬ。