广东省清远市华侨中学2025届高三下第一次测试数学试题含解析

广东省清远市华侨中学2025届高三下第一次测试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）
A ．1
B 2
C 3
D ．222．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=
A ．12
B 3
C ．12-
D ．3 3．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件解:
4．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为
32
，则c =（ ） A ．22B ．4 C ．5 D ．325．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( ) A ．22 B ．32 C ．102 D ．12
6．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A ．23
B ．163
C ．6
D ．与点O 的位置有关
7．复数z 满足()113z i i -=-，则复数z 等于（）
A ．1i -
B ．1i +
C ．2
D ．-2
8．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( ) A ．3172 B ．210 C ．132 D ．310
9．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）
A ．223
B ．63
C ．33
D ．13
10．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 11．函数()x f x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．622x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60- B ．12- C ．12 D ．60 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知△ABC 得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.
14．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1302F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，、2302F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212
tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____． 15．如图所示，点()1,2A ，B 均在抛物线24y x =上，等腰直角ABC 的斜边为BC ，点C 在x 轴的正半轴上，则点
B 的坐标是________.
16．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多______天.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且122 2.AB AD AA BD DC =====，
(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;
(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.
18．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示: 试销价格
x (元)
4 5 6 7 8 9 产品销量y
(件) 89 83 82 79 74 67
已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲453y x =+； 乙4105y x =-+；丙 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.
19．（12分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R π
θρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直
角坐标系，曲线C 的参数方程为3cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩
（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标. 20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*21n n S a n N
+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若11111n n n c a a +=++-，n T 为数列{}n c 的前n 项和.求证：123
n T n >-. 21．（12分）设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-.
（1）若62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1()|3|1f x a a ≥--
+恒成立.
22．（10cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin
2
A C b A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．
【详解】
正方体的面对角线长为
且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，
所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，
，故选B.
【点睛】
本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．
2、A
【解析】
由题意可得三角函数的定义可知：
22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47
α==+，则：
()()
sin 13sin cos13cos sin13
cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+== 本题选择A 选项.
3、C
【解析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥，可得选项.
【详解】 222222||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+===，
||||0a b =≠，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
4、D
【解析】
由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值. 【详解】
解：4sin 3cos c A C =，即4sin 3cos c A a C =
4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.
22sin cos 1C C += ，则34sin ,cos 55
C C ==. 1133sin 12252
ABC S ab C b
∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =. 222242cos 15215185
c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯
=，c ∴= 故选:D.
【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过
正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值.
5、C
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：由()112i z i -=-+，得()()()()121123111122i i i z i i i i -++-+=
==-+--+， ∴223110222z z ⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 故选C ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
6、B
【解析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.
【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，
正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，
顶点O 在平面11ADD A 上，高为2，
所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=
， 所以该几何体的体积为816833
-
=. 故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.
7、B
【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.
【详解】
复数z 满足()112z i -==， ∴()()()
2121111i z i i i i +===+--+， 故选B.
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．
8、C
【解析】
因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC
中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝
132
9、C
【解析】
利用建系，假设AB 长度，表示向量AC 与BD ，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥
平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB 平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD
所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥
所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz -
如图
设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D
所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =--- 所以13cos ,3
AC BD AC BD AC BD ⋅=
== 故选：C
【点睛】
本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.
10、C
【解析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
点P 不在直线l 、m 上， ∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立， 若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下： 若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
11、B
【解析】
根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.
【详解】
由题可知：0a <，
所以当0x <时，()0f x >，
又()'x f
x e a =+， 令()'0f
x >，则()ln x a >- 令()'
0f x <，则()ln x a <- 所以函数()f x 在()(),ln a -∞-单调递减
在()()
ln ,a -+∞单调递增，
故选：B
【点睛】
本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.
12、B
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数．
【详解】 622x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式通项为()663166222r
r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-. 故选：B.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
【解析】
试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，
所对的角为最大角，设为，则根据
余弦定理得
，故答案为
.
考点：余弦定理及等比数列的定义. 1435
【解析】
根据正弦定理得
121
212
2PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程得到1221515
33
PF PF ==
，计算得到答案. 【详解】
∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 25sin ∠PF 1F 2251212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，① 又∵121
2
tan PF F ∠=
，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）12
3214122
-=-
=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得22
12PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②
①②联解，得1221515PF PF =
=
1215
PF PF -= ∴双曲线的1523a =
，结合23c =，得离心率235
25
c e a ==
. 故答案为：355
. 【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 15、(3,23 【解析】
设出,B C 两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得B 的坐标. 【详解】
设()()(),,,0,,,0B a b C c a b c >，由于B 在抛物线上，所以24b a =.由于三角形ABC 是等腰直角三角形，AC BA ⊥，所以22111AC BA b
k k c a
-⋅=
⋅=---.由AB AC =
=()()2
2226412442b b b ⎛⎫-+-=+ ⎪+⎝
⎭，可得()()()2222416264162b b b ⎡⎤⎡⎤-⨯++=⨯++⎣⎦⎣⎦，所以2
48b -=，解得b =
3a =.所以(
3,B .
故答案为：(3, 【点睛】
本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 16、72 【解析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案. 【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中， 游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天， 所以在全年）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多73
3607220
-⨯=天. 故答案为：72. 【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (Ⅰ
) 证明见解析；(Ⅱ)6
【解析】
(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案. 【详解】
(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB
平面ABCD ，故1AA AB ⊥.
2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.
1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .
(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .
设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则1110
0n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，
取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故26
sin cos ,6
26
n AB n AB n AB
θ⋅==
=
=
⋅.
【点睛】
本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 18、（1）乙同学正确；（2）9
20
. 【解析】
（1）根据变量,x y 且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点()
,x y ，判断出乙正确.
（2）由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得所求概率. 【详解】
（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，
6.5,79x y ==，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：4105y x =-+
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
由上表可知，“理想数据”的个数为3.
用列举法可知，从6个不同数据里抽出3个不同数据的方法有20种.
从符合条件的3个不同数据中抽出2个，还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有339⨯=种. 故所求概率为920
P = 【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题. 19、(0,0) 【解析】
将直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合x 的取值范围进行取舍即可. 【详解】
因为直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈，
所以直线l 的普通方程为y =，
又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos 2x y α
α
=⎧⎨=+⎩（α为参数），
所以曲线C 的直角坐标方程为[]()2
12,22
y x x =
∈-，
联立方程212y y x ⎧=⎪
⎨=⎪
⎩
,解得00x y =⎧⎨=⎩
或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 因为22x -≤≤
，所以6
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩舍去，
故P 点的直角坐标为(0,0). 【点睛】
本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
20、（1）13n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）证明见解析
【解析】
（1）利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.
（2）先将n c 缩小即11
1233n n n c +⎛⎫>-- ⎪⎝⎭
，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立. 【详解】
（1）∵(
)*
21n n S a n N
+=∈，令1n =，得1
13
a
=. 又()11212n n S a n --+=≥，两式相减，得
11
3
n n a a -=. ∴13n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. （2）∵
1
11111133n n
n c +=
+
⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
1113311231313131
n n n n n n +++=+=-++-+- 11
123131n n +⎛⎫=-- ⎪+-⎝⎭
.
又∵11313n n <+，1111313n n ++>-，∴11
1233n n n c +⎛⎫>-- ⎪⎝⎭
.
∴223111111
12333333n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫>--
+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111
22333
n n n +=+
->-. ∴1
23
n T n >-. 【点睛】
本小题主要考查已知n S 求n a ，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21、（1）()(),04,-∞+∞（2）证明见解析
【解析】
（1）将不等式62f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集. （2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---
+，即证1
|1|12a a
-++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立. 【详解】 （1）∵62f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为314
3
a a a -+->⎧⎨≥⎩，∴4a >
当13a <<时，不等式化为(3)(1)4
13
a a a -+->⎧⎨
<<⎩，此时a 无解
当1a ≤时，不等式化为(3)(1)4
1a a a -+->⎧⎨≤⎩
，∴0a <
综上，原不等式的解集为()
(),04,-∞+∞
（2）要证x R ∀∈，1
()|3|1f x a a
≥--
+恒成立 即证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立
∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---
+，即证1
|1|12a a
-++≥
又11|1|111a a a a -+
+≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1
|1|12a a
-++≥成立，∴原题得证 【点睛】
本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.
22 【解析】
无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sin sin()A B C =+，展开后，可求得B 角，再由余弦定理
2222cos b a c ac B =+-求得ac ，从而易求得三角形面积．
【详解】
在横线上填写cos )sin b C a c B -=”.
cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，
得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.
所以sin B B =.
又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），
所以tan B =又0B π<<，得23
B π
=
.
由余弦定理及b =
得222
22cos
3
a c ac π=+-， 即2
12()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.
所以1sin 2ABC S ac B =
△142=⨯=在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得
2sin sin 2sin cos A C B C ++=.
又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1
cos 2
B =-.又(0,)B π∈， 所以23
B π=
由余弦定理及b =
得222
22cos
3
a c ac π=+- 即2
12()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.
所以11sin 4222
ABC
S
ac B =
=⨯⨯=
在横线上填写“sin sin
2
A C
b A +=”
解：由正弦定理，得sin sin sin 2
B
B A A π-=.
由0A π<<，得sin A θ≠，
所以sin 2
B B =
由二倍角公式，得2sin
cos 222
B B B =.
由022B π<
<，得cos 02B ≠，所以sin 2B =. 所以
23
B π=，即23B π=.
由余弦定理及b =
得2
2
2
22cos
3
a c ac π
=+-.
即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.
所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=【点睛】
本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦定理进行边角转换，求三角形面积时，
①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．。