(word完整版)14年高考真题——理科数学(江苏卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏）卷
数学（理科）
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上）
1．已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B =I 。

2．已知复数()2
52z i =+（i 为虚数单位），则z 的实部为 。

3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 。

4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 。

5．已知函数cos y x =与()()sin 20y x ϕϕπ=+≤<，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 。

6．设抽测的树木的底部周长均在区间[]80,130，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm 。

7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，
8642a a a =+，则6a 的值是 。

8．设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且
4921=S S ，则2
1V V
的值是 。

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆()()2
2
214x y -++=截得的弦长为 。

10．已知函数()2
1f x x mx =+-，若对于任意[],1x m m ∈+，都有()0f x <成立，则
实数m 的取值范围是 。

11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2
b
y ax x
=+
（,a b 为常数）过点()2,5P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则
b a +的值是 。

12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，
5=AD ，3CP PD =u u u r u u u r ，2AP PB ⋅=u u u r u u u r ，则AB AD ⋅u u u r u u u r
的值
是 。

开始
0←n 1+←n n
202>n
输出n 结束 （第3题）
N
Y D
C
B
A
（第12题）
P
13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2
1
|2|2
f x x x =-+。

若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 。

14．若ABC ∆的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 。

二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）已知,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，sin α=。

⑴求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；⑵求5cos 26πα⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值。

16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，,,D E F 分别为棱AB AC PC ,,的中点。

已知AC PA ⊥，
6PA =，8BC =，5DF =。

求证：⑴直线//PA 平面DEF ；⑵平面⊥BDE 平面ABC 。

17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy
中，21,F F 分别是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦
点，顶点B 的坐标为()0,b ，连结2BF 并延长交椭圆于点
A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1。

⑴若点C 的坐标为()43,1，且22=BF ，求椭圆的方
程；⑵若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值。

18．（本小题满分16分）如图，为了保护河上
古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区。

规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆。

且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m 。

经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），
3
4
tan =
∠BCO 。

⑴求新桥BC 的长；⑵当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 19．（本小题满分16分）已知函数()x
x
f x e e -=+，其中e 是自然对数的底数。

⑴证明：
（第16题）
P
D
C
E
F
B
A
()f x 是R 上的偶函数；⑵若关于x 的不等式()1x mf x e m -≤+-在()0,+∞上恒成立，求实
数m 的取值范围；⑶已知正数a 满足：存在[)01,x ∈+∞，使得()()
3
0003f x a x x <-+成立，
试比较1
a e -与1
e a
-的大小，并证明你的结论。

20．（本小题满分16分）设{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称{}n a 是“H 数列”。

⑴ 若数列{}n a 的前n 项和为()
2n n S n N +=∈，证明：{}n a 是“H 数列”；⑵设{}n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d 。

若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；⑶证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()
n n n a b c n N +=+∈成立。

2014年普通高校招生全国统考数学试卷（江苏卷）解答
一．1．{}1,3-；2．21；3．5；4．1；5．6π；6．24；7．4；8．32；9．；
10．()；11．3-；12．22；13．()0,12；14．)
4。

15．解：⑴由题cos α=，故sin 4πααα⎛⎫
+== ⎪⎝⎭； ⑵由⑴得4sin 22sin cos 5ααα==-
，23
cos 22cos 15
αα=-=，故
51cos 22sin 262πααα⎛⎫
-=+= ⎪⎝⎭。

16．解：⑴因,D E 分别为,PC AC 的中点，故//PA DE 。

又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，故//PA 平面DEF ；
⑵由⑴知//PA DE ，又PA AC ⊥，故PE AC ⊥。

因F 为AB 的中点，故32
PA
DE =
=，42
BC
EF =
=。

又5DF =，故222DE EF DF +=，从而DE EF ⊥。

因EF AC ≠ΦI ，故DE ⊥平面ABC 。

又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC 。

17．解：⑴因41,33C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故221619a b +=。

因22221BF b c a =+=，故2
22a =
=，
从而2
1b =。

故所求椭圆方程为：2
212
x y +=；
⑵设()
1,0F c -，()2,0F c ，因()0,B b ，故2:b
BF y x b c
=-+。

代入椭圆方程并整理得222112
0x x a c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得0x =或2222a c x a c =+。

因22222222,a c a b A b a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且,A C 关
于x 轴对称，故2222
2222,a c a b C b a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭。

因此122
2
33F C a b bc k a c c -=+，而1AB CF ⊥，故22
23
13a b bc b a c c c -⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭
，结合222
b a
c =-可得2215c a =，从而5e =。

18．解：⑴如图，以,OC OA 为,x y 轴建立直角坐标系，则()0,60A ，()170,0C 。

由题意
43BC k =-，故()4
:1703
BC y x =--。

又
134AB BC k k =-
=，故3
:604
AB y x =+。

由()41703
3604
y x y x ⎧=--⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩得80120x y =⎧⎨=⎩，故()80,120B ，知()
()2
2||80170120150BC m =-+=；
⑵设OM t =，则()()0,060M t t ≤≤，由⑴知:436800BC x y +-=，圆M 的半径为
|3680|680355t t r --==。

由题(
)806080r t r t -≥⎧⎪
⎨--≥⎪⎩，故1035t ≤≤。

因此当10t =时，r 取得最大值130m ，此时圆的面积最大。

19．解：⑴()f x 的定义域为R ，且()()x
x f x e
e f x --=+=，故()f x 为偶函数；
⑵由()1x
mf x e
m -≤+-得()11x
m f x e --≤-⎡⎤⎣⎦
，因()2x x f x e e -=+≥，故()10f x ->，从而()2111111x x x x x x x
e e e m
f x e e e e
------≤==-+-+-。

令10x
t e =-<，则()2
111
1213t t t y t t
-+==+-≤--=-，当1t =-时取等。

故103y -≤<，知13m ≤-；
⑶由题知()()
33f x a x x <-+即3
30x
x
ax ax e e
--++<在[)1,+∞有解，令
()33x x h x ax ax e e -=-++，则()()231x x h x a x e e -'=-+-。

显然()10h '=，当1x >时()0h x '>，故函数()h x 在[)1,+∞单增，()()min 1h x h =。

于是()0h x <在[)1,+∞有解，等
价于()1120h a e e =-++
<，
得()1
112
a e e ->+>。

考察()()()()1ln 11g x e x x x =---≥，()1
1e g x x
-'=
-，当1x e =-时()0g x '=，当11x e <<-时()0g x '>，当1x e >-时()0g x '<。

因此()g x 在[]1,1e -单增，在()1,e -+∞上单减。

又()()10g g e ==，故当()11
2
e e x e -+<<时()0g x >，即()1ln 1e x x ->-，11e x x e -->；当x e >时()0g x <，即()1ln 1e x x -<-，11e x x e --<。

因此当()1
12
e e a e -+<<时，11a e e a --<；当a e =时，
11a e e a --=；当a e >时，11a e e a -->。

20．解：⑴12a =，2n ≥时，1
1
122
2
n
n n n n n a S S ---=-=-=，故()()
12122n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以对任意的n N +
∈，2n
n S =是数列{}n a 中的第1n +项，因此数列{}n a 是“H 数列”；
⑵由题()11n a n d =+-，()12
n n n S n d -=+，数列{}n a 是“H 数列”，则存在k N +
∈，使()()1112n n d n k d -+=+-，解得()1112n n n k d --=++。

由于
()12
n n N +-∈，k N +∈，故
1
n Z d
-∈对一切正整数n 都成立，因此1d =-； ⑶若n d bn =（b 为常数），则数列{}n d 的前n 项和()
12
n n n S b -=
是数列{}n d 的第()
12
n n -项，因此{}n d 是“H 数列”。

对任意的等差数列{}n a ，()11n a a n d =+-（d 是公差），设1n b na =，()()11n c d a n =--，则n n n a b c =+，而数列{}n b 和{}n c 都是“H 数列”。