新华师版初中数学九年级上册精品教案23.3.3 相似三角形的性质

3.相似三角形的性质
1．理解相似三角形的性质；(重点)
2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)
一、情境导入 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？
二、合作探究
探究点一： 相似三角形的性质
【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积
如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE 相交
于F 点．
(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比； (2)若S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .
解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解． 解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝1
2，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12
； (2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为1
2，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝
24cm 2.
方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比
若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( )
A ．1∶2 B.2∶2 C ．1∶4 D.2∶1
解析：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.
方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算
如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，△ABC 和
△BDE 的面积分别为18和8，DE ＝3，求AC 边上的高．
解析：求AC 边上的高，先将高线作出，由△ABC 的面积为18，求出AC 的长，即可求出AC 边上的高． 解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F .∵AD ⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD AB ＝BE
CB ，且∠ABC ＝∠DBE ，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )
2＝818.又∵DE ＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝1
2
AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8. 方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．
【类型四】 利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题
如图所示，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D .
(1)若AP ∶PB ＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △APN ；
(2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AE
AD
的值．
解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN 与四边形PBCN 的面积比可得△APN 与△ABC 的面积比，进而可得其对应边的比．
解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APN
S △ABC
＝
(AP
AB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；
(2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以AP
AB ＝
AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝1
3＝3
3
. 方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题
如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C
不重合)，Q 点在BC 上．
(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的1
3时，求CP 的长；
(2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．
解析：(1)由于PQ ∥AB ，故△PQC ∽△ABC ，当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的1
3时，
△CPQ 与△CAB 的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可用CP 表示出PQ 和CQ 的长，进而可表示出AP 、BQ 的长．根据△CPQ 和四边形P ABQ 的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP 的长．
解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝1
3S 四边形P ABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，
∵
14＝12，∴CP ＝1
2
CA ＝2； (2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝5
4CP ，
∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋3
4CP ＝3CP ，C 四边形P ABQ ＝P A ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )
＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴7
2CP ＝
12，∴CP ＝24
7
.
方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．
三、板书设计
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；
3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.。