2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)(16)

2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)(16)
一、选择题
1．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(]0,1
C ．41,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
U
2．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③(
)f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则
313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．10
B ．12
C ．31log 5+
D ．32log 5+
4
)63a -≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
92
C
．3
D ．
2
5．在ABC V 中，4
ABC π
∠=，AB =
3BC =，则sin BAC ∠=（ ）
A
B
C
D 6．20
,{0,0x y z x y x y x y y k
+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）
A ．0
B ．-1
C ．-2
D ．-3
7．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7
B ．5
C ．5-
D ．7-
8．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为
和
，第一排和最后一排
的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）
A ．
110
B ．
310
C ．
12
D ．
710
9．若不等式1221m x x
≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9
B ．
92
C ．5
D ．
52
10．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
11．已知{}n a 是等比数列，22a =，51
4
a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．(
)1614
n
--
B ．(
)1612
n
--
C ．
()32123n -- D ．()32143n -- 12．已知正项数列{}n a *12(1)
()2
n n n a a a n N +=
∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ．n a n =
B ．2
n a n =
C ．2
n n
a =
D ．2
2
n n a =
二、填空题
13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足
11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________
15．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令
1
1
4(1)n n n n n
b a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 16．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点
是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小
值为____．
17．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 18．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 19．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有
2343n n S n T n -=-，则93
5784
a a
b b b b +++的值为_______． 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b
c ,已知
24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.
三、解答题
21．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .
22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
. (1)求A ；
(2)若△ABC 的面积S ＝
34
c 2
，求sin C 的值． 23．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知
cos (2)cos a B c b A =-．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线22AM =ABC ∆的面积． 24．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤
1
3
； （Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥.
25．在等比数列{}n a 中,(
)*
10a n N >∈,且3
28a
a -=,又15,a a 的等比中项为16.
（1）求数列{}n a 的通项公式:
（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得
1231111n
k S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.
26．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4
cos 5
A =． （1）求2
sin
cos 22
B C
A ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
要确定不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出
0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】
不等式组0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
由0
22y x y =⎧⎨+=⎩
得()10
B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…
„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范
围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
U 故选：D 【点睛】
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，
()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；
对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

【详解】
因为313233310log log log log a a a a ++L =()312310log a a a a L =()5
3110log a a ,
又4756110a a a a a a ⋅=⋅=⋅，由475618a a a a ⋅+⋅=得1109a a ⋅=，所以
313233310log log log log a a a a ++L =53log 9=10，故选A 。

【点睛】
本题考查了对数运算及利用等比数列{}n a 的性质，利用等比数列的性质：当
,(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时，m n p q a a a a ⋅=⋅，
特别地2,(,,)m n k m n k N *
+=∈时，2m n k a a a ⋅=，套用性质得解，运算较大。

4．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：
369
22
a a -++≤
= 当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-
时，等号成立，
故选B. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】
试题分析：由余弦定理得2
29223cos
5,54
b b π
=+-⋅⋅⋅==.由正弦定理得
35
sin sin
4
BAC π=
∠310sin BAC ∠=. 考点：解三角形.
6．D
解析：D 【解析】
作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,
平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小．
由6{0
x y x y +=-=得A(3,3)， ∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{
20
y k x y ==+=,解得B(−6,3).
此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.
点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：
b z
y x a b =-
+
，通过求直线的截距z b
的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2
417
a a a =可得解.
【详解】
56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.
由等比数列性质可知
2274101478,1a a a a a a ==-==或22
7410147
1,8a a a a a a ====-
1107a a ∴+=-
故选D. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
8．B
解析：B 【解析】
试题分析： 如下图：
由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：
56
sin 45AB =o 103AB ∴=
那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3
sin 6010315AD AB ∴===o ，
即旗杆高度为15米，由
3
1550
10
÷=，知：升旗手升旗的速度应为
3
10
（米 /秒）.
故选B．
考点：解三角形在实际问题中的应用．9．B
解析：B
【解析】
【分析】
设f（x）
12
21
x x
=+
-
，根据形式将其化为f（x）
()
1
1
52
2
21
x x
x x
-
=++
-
．利用基本不等
式求最值，可得当且仅当x
1
3
=时
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+
-
的最小值为2，得到f（x）的最小值为f
（1
3
）
9
2
=，再由题中不等式恒成立可知m≤（
12
21
x x
+
-
）min，由此可得实数m的最大
值．【详解】
解：设f（x）
1
122
2
211
x x x x
=+=+
--
（0＜x＜1）
而1
2
2
1
x x
+=
-
[x+（1﹣x）]（
1
2
2
1
x x
+
-
）
()
1
1
52
2
21
x x
x x
-
=++
-
∵x∈（0，1），得x＞0且1﹣x＞0
∴
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+≥
-
=2，
当且仅当
()
1
12
21
1
x x
x x
-
==
-
，即x
1
3
=时
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+
-
的最小值为2
∴f（x）
12
21
x x
=+
-
的最小值为f（
1
3
）
9
2
=
而不等式m
12
21
x x
≤+
-
当x∈（0，1）时恒成立，即m≤（
12
21
x x
+
-
）min
因此，可得实数m的最大值为9 2
故选：B．
【点睛】
本题给出关于x的不等式恒成立，求参数m的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函
数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】 先求出3
1()2
n n a -=，再求出25
11()
2
n n n a a -+=，即得解.
【详解】 由题得
35211,82
a q q a ==∴=. 所以2
23211
2()()22
n n n n a a q
---==⨯=，
所以3
22511
11
()
()()222
n n n n n a a ---+=⋅=. 所以
111
4
n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]
4114
n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】
本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．B
解析：B 【解析】
【分析】
()()
11
22
n n n n
+-
=-
的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.
【详解】
(1)(1)
,(2)
22
n n n n
n n
+-
=-=≥
1
=
，所以
2
,(1),
n
n n a n
=≥=，选B.
【点睛】
给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2
n n n
a S S n
-
=-≥转化为
n
a的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式1
1
,1
{
,2
n
n n
S n
a
S S n
-
=
=
-≥
时，一定要注意分1,2
n n
=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
二、填空题
13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要
【解析】
【分析】
根据正弦定理将()()()
2sin sin sin
b A B
c b C
+-=-转化为
()()()
a b a b c b c
+-=-，即222
b c a bc
+-=，由余弦定理得
2221
cos
22
b c a
A
bc
+-
==，再用基本不等式法求得4
bc≤，根据面积公式
1
sin
2
ABC
S bc A
∆
=求解.
【详解】
根据正弦定理()()()
2sin sin sin
b A B
c b C
+-=-可转化为
()()()
a b a b c b c
+-=-，化简得222
b c a bc
+-=
由余弦定理得
2221
cos
22
b c a
A
bc
+-
==
sin==
A
因为2222
+=+≥
b c a bc bc
所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=
所以1sin 4244
∆==≤=ABC S bc A
则ABC ∆
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n ∈N*满足Sn+
解析：91
【解析】
【分析】
由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【详解】
∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），
∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，
∴a n+1﹣a n ＝2．
∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2．
则10S ＝1+9×29822
⨯+
⨯=91． 故答案为91
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的 解析：200201
【解析】
【分析】
首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】
解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．
则：()2111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-， 所以：111411(1)(1)2
121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭
， 所以：100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12001201201=-=， 故答案为：
200201
【点睛】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
16．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以
AB BF CA AE =,所以3AC AB x =,所以211322ABC S AB AC AB x
∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632
x x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.
17．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-
（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两
解析：[－2，+∞）
【解析】
【分析】
根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原
式可变形为a≥-（|x|+ 1x
），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案.
【详解】
根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式
可化为a|x|≥-（x 2
+1），即a≥-（|x|+ 1x ）, 又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1x
）≤-2； 要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；
综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）；
故答案为[-2，+∞）．
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．
18．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得
解析：30
【解析】
【详解】
总费用为600900464()4240x x x x +
⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x
=，即30x =时等号成立．故答案为30. 点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
19．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得
【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：1941
【解析】
【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得原式1111
S T =
，代值计算可得． 【详解】
∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴939393657846666
222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341
⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为
1941
. 【点睛】 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则
解析：5【解析】
由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=,
得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2
S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-,
即有41612ab S =-, 由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号,
当a =2,b=1,S 取得最小值23
, 易得2sin 3C =(C 为锐角),
则cos 3
C =,
则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题
21．（1）32n a n =+；（2）6226n n T n =⨯+-
【解析】
【分析】
（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质：
m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求解.
(2)由（1）可得数列n b 的通项公式，然后利用分组求和即可求解.
【详解】
（1）等差数列{}n a 中，111038,37n n a a a a a a +>+=+=，
110110
16037a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩ 解得110
532a a =⎧⎨=⎩ 3253101
d -∴==-， ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.
（2）由（1）知，12322b a ==⨯+，24342b a ==⨯+，…2322n n n b a ==⋅+，
()()()12322342322n n n S b b b ∴=+++=⨯++⨯+++⋅+L L
()
1
22324223212n n n n +-=⨯++++=⨯+-L 13262n n +=⨯-+
6226n n =⨯+-.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高.
22．（1）
56π；（2
）14 【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=56π.(2)先根据△ABC 的面积S
2得到b
＝c ，
再利用余弦定理得到a c ，再利用正弦定理求出sin C 的值．
【详解】
(1)因为asin B ＝－bsin
)3A π+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3A π+（，
即sin A ＝－12sin A －2cos A ，化简得tan A ＝－3
， 因为A∈(0，π)，所以A ＝
56π.
(2)因为A ＝56π，所以sin A ＝12，由S ＝4
c 2＝12bcsin A ＝14bc ，得b c ，
所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a c ，由正弦定理得sin C ＝
sin c A a =. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
23．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）S =
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案. （Ⅱ）1()2
AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，平方，代入公式利用余弦定理得到答案. 【详解】
（Ⅰ）因为()acos 2cos B c b A =-，
由正弦定理得()sin cos cos 2sin sin A B A C B =-，
即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，所以()sin 2sinccos A B A +=， 因为()sin sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =
， 又因为(0,)A π∈，所以3
A π
=． （Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2
AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ， 即2221(2)4
AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2232c b bc ++=，①
又根据余弦定理，有2222222cos 416a b c bc A b c bc =+-=+-==，②
联立①②，得8bc =．
所以ABC ∆的面积1S bcsinA 232
=
=． 【点睛】 本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
24．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：
222a b c ab bc ca ++≥++，
由题设得，
即2222221a b c ab bc ca +++++=，
所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b
+≥，22b c b c +≥，2
2c a c a +≥， 所以222
()2()a b c a b c a b c b c a
+++++≥++， 即222
a b c a b c b c a
++≥++， 所以222
1a b c b c a
++≥. 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】
本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
25．（1）12n n a +=（2）3.
【解析】
试题分析：
（1）由题意可得316a =，又328a a -=，故28a =，由此可得等比数列的公比2q =，因此可得12n n a +=．（2）由（1）得12n n b +=，所以()34
n n n S +=，从而()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，求和可得123111141111141122113231233239
n S S S S n n n L ⎛⎫⎛⎫++++=⨯++---<⨯++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，
所以可得229
k ≥
，故存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 试题解析： （1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
∵15a a ，的等比中项为16．
∴316a =，
又328a a -=，
28a ∴=， ∴32
2a q a ==， ∴2182
2n n n a -+=⨯==． （2）由（1）得141log 22
n n n b ++==， ∴数列{}n b 为等差数列，且11b =． ∴()113224
n n n n n S +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==， ∴()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， ∴123111141111111131425363n S S S S n n ⎛⎫++++=⨯-+-+-++- ⎪+⎝⎭
L L 4111111323123n n n ⎛⎫=⨯++--- ⎪+++⎝⎭ 4112213239⎛⎫<
⨯++= ⎪⎝⎭， ∴229
k ≥， ∴存在满足题意得k ，且k 的最小值为3．
点睛：用裂项法求和的原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余部分具有对称性．
26．（Ⅰ）
5950
（Ⅱ）a
【解析】
【分析】
【详解】 222221131sin cos 2cos 12sin cos 12sin cos 2sin 222222
B C A A A A A A A ++=+-=++-=+-⋅ 3sin 5A =
,4cos 5A ∴= 2231314959sin cos 2cos 2sin 2222225 5 250B C A A A ++=+-=+⨯-⨯= （2）133sin ,2,sin 25
bc A b A ===。