2020年湖北省荆州市初二下期末复习检测数学试题含解析

2020年湖北省荆州市初二下期末复习检测数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，已知平行四边形ABCD ，P ，R 分别是BC ，CD 边上的点，E ，F 分别是PA ，PR 的中点，若点P 在BC 边上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（ ）
A ．EF BP =
B ．线段EF 的长度逐渐变小
C ．线段EF 的长度保持不变
D ．线段EF 的长度逐渐变大
2．一直尺与一个锐角为30角的三角板如图摆放，若1115∠=︒，则2∠的度数为（ ）
A ．75︒
B ．80︒
C ．85︒
D ．90︒
3．如图，动点P 从()0,3出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P 第2018次碰到矩形的边时，点P 的坐标为( )
A ．()1,4
B ．()5,0
C ．()7,4
D ．()8,3
4．如图，某工厂有甲，乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 与注水时间 之间的函数关系图象可能是如图，某工厂有甲，乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 与注水时间 之间的函数关系图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如果一组数据-3，x ，0，1，x ，6，9，5的平均数为5，则x 为( )
A ．22
B ．11
C ．8
D ．5
6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．3,4,5
B ．
C ．4,5,6
D ．1,1,2
7．某校男子足球队年龄分布条形图如图所示，该球队年龄的众数和中位数分别是
A ．8,8
B ．15,15
C ．15,16
D ．15,14
8．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝10，BD ＝24，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．52 B ．48 C ．40 D ．20
9．如图，矩形ABCD 中， E 是AD 的中点，将ABE ∆沿直线BE 折叠后得到GBE ∆，延长BG 交CD 于点F 若AB 6,BC 10==， 则FD 的长为( )
A ．3
B ．72
C ．256
D ．254
10．如图，若要用“HL ”证明Rt ABC Rt ABD ≅，则还需补充的条件是（ ）
A ．BAC BAD ∠=∠
B ．A
C A
D =或BC BD = C ．AC AD =且BC BD =
D ．∠=∠ABC ABD
二、填空题 11．如图，已知ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则=CD ___
12．直线32y x =-+关于y 轴对称的直线的解析式为______.
13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠AOD=120°， AB=2，则BC 的长为___________．
14．分解因式：225ax a -=____________
15．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打七折优惠，买练习本所花费的钱数y （元）与练习本的个数x （本）之间的函数关系如图所示，那么图中a 的值是_______．
16．如图，在MON ∠的两边上分别截取OA 、OB ，使OA OB =；分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ，连接AB 、OC .若2AB cm =，四边形OACB 的面积为28cm .则OC 的长为______cm .
17．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4,5BC AC ==，点D 在边BC 上，若以AD 、CD 为边，以AC 为对角线，作ADCE ，则对角线DE 的最小值为_______．
三、解答题
18．（1）已知31x =+，求21x x -+的值；
（2）解方程：()2235x x -+=.
19．（6分）如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90º，BD 是Rt ABC 的一条角一平分线，点O 、E 、F 分别在BD 、BC 、AC 上，且四边形OECF 是正方形，
（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长
20．（6分）如图，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规进行如下操作：
①以点A 为圆心，以AD 的长为半径画弧交BC 于点E ；
②连接AE ，DE ；
③作DF ⊥AE 于点F ．
根据操作解答下列问题：
（1）线段DF 与AB 的数量关系是 ．
（2）若∠ADF ＝60°，求∠CDE 的度数．
21．（6分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，线段AD 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点E 、F ，连接DE 、DF ．
(1)试判定四边形AEDF 的形状，并证明你的结论．
(2)若DE ＝13，EF ＝10，求AD 的长．
(3)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
23．（8分）两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，如图，请根据图中给出的数据信息，解答问题：（1）求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
（2）若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．
24．（10分）如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝105°，∠BOC 等于α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.
（1）求证：△COD 是等边三角形．
（2）求∠OAD 的度数．
（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
25．（10分）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F、M分别是AB、BC的中点，BN平分∠ABE 交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF
求证：（1）BN2MN；
（2）△MFN∽△BDC．
参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．C
【解析】
【分析】
因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF=1
2
AR，因此线段EF的长不变．
【详解】
如图，连接AR，
∵E、F分别是PA、PR的中点，
∴EF=1
2 AR，
∴EF的长不变，
故选：C．
【点睛】
考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．2．C
【解析】
【分析】
由直尺为矩形，有两组对边分别平行，则可求∠4的度数，再由三角形内角和定理可以求∠EAD，而∠2
与∠EAD为对顶角，则可以求∠2=∠EAD.
【详解】
如图，
∵直尺为矩形，两组对边分别平行
∴∠1+∠4=180°
∴∠4=180°∠1=180°-115°=65°
∵∠EDA=∠4
∴在△EAD中，∠EAD=180°-∠E-∠EDA
∵∠E=30°
∴∠EAD=180°-∠E-∠EDA=180°-30°-65°=85°
∵∠2=∠EAD
∴∠2=85°
故选C．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质，遇到三角板的题型，要注意在题中有隐藏着已知的度数．
3．C
【解析】
【分析】
理解题意，由反射角与入射角的定义作出图形，观察出反弹6次为一个循环的规律，解答即可. 【详解】
如图，
经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2018÷6=336…2，
∴当点P第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹，
点P的坐标为（7，4）．
故选C．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，首先作图，然后观察出每6次反弹为一个循环，据此解答即可.
4．D
【解析】
【分析】
根据注水后水进入水池情况，结合特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】
解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，
当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，
此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．
当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．
在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．故选：D．【点睛】
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
5．B
【解析】
【分析】
根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【详解】
由平均数的计算公式得：1
8
(-3+x+0+1+x+6+9+5)=5
解得：x=11，
故选：B．
【点睛】
考查算术平均数的计算方法，利用方程求解，熟记计算公式是解决问题的前提，是比较基础的题目．6．A
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A. 3+4=5，能构成直角三角形，故符合题意；
B. 1+()≠3，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C. 4+5≠6，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D. 1+1≠2，不能构成直角三角形，故不符合题意。

故选：A.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于利用勾股定理进行计算.
7．B
【解析】
【分析】
根据条形图，观察可得15岁的人数最多，因此可得众数是15，将岁数从大到小排列，根据最中间的那个数就是中位数.
【详解】
首先根据条形图可得15岁的人数最多，
因此可得众数是15;
+++++=，
将岁数从大到小排列，根据条形图可知有人数：26832122
因此可得最中间的11和12个的平均值是中位数，11和12个人都是15岁，
故可得中位数是15.
【点睛】
本题主要考查众数和中位数的计算，是数据统计的基本知识，应当熟练掌握.
8．A
【解析】
【分析】
由勾股定理可得AB的长，继而得到菱形ABCD的周长.
【详解】
因为菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，所以OB=12，OA=5.在直角三角形ABO中，2213
AB OB
+=，所以菱形ABCD的周长=4AB=52，故答案为A.
【点睛】
本题考查勾股定理和菱形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和菱形的性质.
9．C
【解析】
【分析】
根据点E 是AD 的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG ，然后利用“HL”证明△EDF 和△EGF 全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF ；设FD=x ，表示出FC 、BF ，然后在Rt △BCF 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】
∵E 是AD 的中点，
∴AE=DE ，
∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE
∴AE=EG ，AB=BG ，
∴ED=EG ，
∵在矩形ABCD 中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
∵在Rt △EDF 和Rt △EGF 中，
ED EG EF EF
⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △EDF ≌Rt △EGF （HL ），
∴DF=FG ，
设DF=x ，则BF=6+x ，CF=6-x ，
在Rt △BCF 中，102+（6-x ）2=（6+x ）2，
解得x=256
． 故选C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG 是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
根据题意可知只要再有一条直角边对应相等即可通过“HL ”证明三角形全等.
【详解】
解：已知△ABC 与△ABD 均为直角三角形，AB=AB ，
若AC AD =或BC BD =，
则Rt ABC Rt ABD ≅（HL ）.
故选B.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的特殊判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
二、填空题
11．5
【解析】
【分析】
由DE 是AC 的垂直平分线可得AD=CD ，可得∠CAD=∠ACD ，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°由等角的余角相等可得：∠DCB=∠B ，可得CD=BD ，可知CD=BD=AD=
152AB = 【详解】
解：∵DE 是AC 的垂直平分线
∴AD=CD
∴∠CAD=∠ACD
∵10AB =，8AC =，6BC =
又∵2226+8=10
∴222AC BC AB +=
∴∠ACB=90°
∵∠ACD+∠DCB=90°, ∠CAB+∠B=90°
∴∠DCB=∠B
∴CD=BD
∴CD=BD=AD=
152
AB = 故答案为5
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线、勾股定理逆定理以及等腰三角形的性质，掌握勾股定理逆定理及利用等腰三角形求线段是解题的关键.
12．32y x =+
【解析】
【分析】
设函数解析式为：y=kx+b ，根据关于y 轴对称的两直线k 值互为相反数，b 值相同可得出答案．
【详解】
∵y=kx+b 和y=-3x+1关于y 轴对称，
∴可得：k=3，b=1．
∴函数解析式为y=3x+1．
故答案为：y=3x+1．
【点睛】
本题考查一次函数图象与几何变换，掌握直线关于y轴对称点的特点是关键．
13．
【解析】
【分析】
由条件可求得AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt ABC中，由勾股定理可求得BC的长. 【详解】
AOD
∠=︒，
120
∴60
∠=︒，
AOB
四边形ABCD为矩形
∴AO OC OB
==，
∴AOB为等边三角形，
∴2
AO OC OB AB
====，
∴4
AC=，
在Rt ABC中，由勾股定理可求得BC=
故答案为：
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键.
14．a(x+5)(x-5)
【解析】
【分析】
先公因式a，然后再利用平方差公式进行分解即可.
【详解】
()()()
22
-=-=+-
ax a a x a x x
252555.
故答案为a(x+5)(x-5).
15．1.
【解析】
【分析】
根据题意求出当x≥10时的函数解析式，当y=27时代入相应的函数解析式，可以求得相应的自变量a的值，本题得以解决．
【详解】
解：由题意得每本练习本的原价为：20÷10=2（元），
当x≥10时，函数的解析式为y=0.7×2（x-10）+20=1.4x+6，
当y=27时，1.4x+6=27，解得x=1，
∴a=1．
故答案为：1.
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式，根据关系式可以解答问题． 16．1
【解析】
【分析】
根据作法判定出四边形OACB 是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】
解：根据作图，AC=BC=OA ，
∵OA=OB ，
∴OA=OB=BC=AC ，
∴四边形OACB 是菱形，
∵AB=2cm ，四边形OACB 的面积为1cm 2， ∴12AB •OC=12
×2×OC=1， 解得OC=1cm ．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形OACB 是菱形是解题的关键．
17．1
【解析】
【分析】
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD ⊥BC 时，DE 线段取最小值，由三角形中位线定理求出OD ，即可得出DE 的最小值．
【详解】
解：∵90B ∠=︒，45BC AC ==，，
根据勾股定理得3AB =，
∵四边形ADCE 是平行四边形，
2.5OD OE OA OC ∴===，，
∴当OD 取最小值时，线段DE 最短，即OD BC 时最短，
OD ∴是ABC ∆的中位线，
1 1.52
OD AB ∴==， 23DE OD ∴==，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及垂线段最短，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
18．（1）4；（2）11x =，22x =.
【解析】
【分析】
（1）1x =+代入21x x -+即可进行求解；
（2）根据因式分解法即可求解一元二次方程.
【详解】
（1）1x =+代入21x x -+得：
))
2
21111x x -+=-+
411=++
4=+
（2）解：22965x x x -++=，
()()120x x --=，
11x =，22x =.
【点睛】
此题主要考查代数式求值与解一元二次方程，解题的关键是熟知整式的运算及方程的解法.
19．（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”；（2）利用全等得到线段AM ＝BE ，AM ＝AF ，利用正方形OECF ，得到四边都相等，从而利用OE 与BE 、AF 及AB 的关系求出OE 的长
【详解】
解：（1）过点O作OM⊥AB于点M
∵正方形OECF
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F ∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E ∴OM＝OE＝OF
∵OM⊥AB于M，OE⊥BC于E
∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°
∵
OM OF AO AO
=
⎧
⎨
=
⎩
∴Rt△AMO≌Rt△AFO
∴∠MA0＝∠FAO
∴点O在∠BAC的平分线上
(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12
∴AB＝13
∴BE＝BM，AM＝AF
又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE
∴BM＋AM＝AB
即BE＋AF＝13
12－OE＋5－OE＝13
解得OE＝2
【点睛】
本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，掌握HL定理的判定方法及全等三角形的性质是本题的解题关键.
20．（1）DF＝AB；（2）15°
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的性质定理证明DF＝DC即可解决问题；
（2）只要证明∠EDCC＝∠EDF即可；【详解】
解：（1）结论：DF＝AB．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，
∵DF⊥AE，DC⊥BC，
∴DF＝DC＝AB．
故答案为DF＝AB．
（2）∵DE＝DE，DF＝DC，
∴Rt△DEF≌△DEC，
∴∠EDF＝∠EDC，
∵∠ADF＝60°，∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∴∠CDE＝1
2
∠CDF＝15°．
【点睛】
本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（1）四边形AEDF是菱形，证明见解析；（2）24；（3）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；
【解析】
【分析】
（1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，
根据EF⊥AD得出菱形AEDF；（2）由（1）知菱形AEDF对角线互相垂直平分，故AO=1
2
AD=4，根据勾股
定理得EO=3，从而得到EF=6；（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形．
(1)四边形AEDF是菱形，∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∵
12
AO AO
AOE AOF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；
(2)∵EF垂直平分AD，AD=8，∴∠AOE=90°，AO=4，
在RT△AOE中，∵AE=5，
∴
，
由(1)知，EF=2EO=6；
(3)当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和正方形的判定，解题的关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
22．（1）30°；（2）1．
【解析】
【分析】
(1)由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°,利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D.根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，可得∠ABD的度数，即可求得∠DBC的
(2)由△CBD 的周长为20,可得AC+BC=20,根据AB=2AE=12，即可得出答案.
【详解】
解：（1）解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，
∴∠ABC ＝∠C ＝70°，
∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，
∴AD ＝BD ，
∴∠ABD ＝∠A ＝40°，
∴∠DBC ＝∠ABC ﹣∠ABD ＝30°．
（2）∵MN 垂直平分AB ，
∴DA ＝DB ，AB ＝2AE ＝12，
∵BC+BD+DC ＝20，
∴AD+DC+BC ＝20，
∴AC+BC ＝20，
∴△ABC 的周长为：AB+AC+BC ＝12+20＝1．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键..
23．（1）y=1.5 x+4.5； （2）22.1
【解析】
【分析】
（1）使用待定系数法列出方程组求解即可．
（2）把x=12代入（1）中的函数关系式，就可求解．
【详解】
（1）设函数关系式为y=kx+b ，根据题意得
410.5715k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝
解得
1.5
4.5 k
b
⎧
⎨
⎩
＝＝
∴y与x之间的函数关系式为y=1.1x+4.1．
（2）当x=12时，y=1.1×12+4.1=22.1．
∴桌面上12个整齐叠放的饭碗的高度是22.1cm．
【点睛】
本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．
24．（1）证明见解析；（2）45°；（3）105°，127.5°或150°.
【解析】
分析：（1）由旋转的性质得到△BCO≌△ACD，再由全等三角形对应边相等得到OC＝CD，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质、三角形内角和定理以及旋转的性质即可得出结论．
（3）若△AOD 是等腰三角形，分三种情况讨论即可．
详解：（1）∵△BOC 旋转60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，
∴OC＝CD，且∠OCD＝60°，则△OCD 是等边三角形；
（2）∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAO＋∠OAC＝60°，∠ABO＋∠OBC＝60°．
∵∠AOB＝105°，∴∠BAO＋∠ABO＝75°，∴∠OAC＋∠OBC＝120°﹣105°＝45°．
∵△BOC 旋转60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，
∴∠DAC＝∠OBC ，∴∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝45°．
（3）若△AOD 是等腰三角形．∵由（1）知△OCD 是等边三角形，∴∠COD＝60°．
由（2）知∠OAD＝45°，分三种情况讨论：
①当OA＝OD 时，∠AOD＝90°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣90°＝105°；
②当OA＝AD 时，∠AOD＝67.5°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣67.5°＝127.5°；
③当AD＝OD 时，∠AOD＝45°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣45°＝150°．
综上所述：当α＝105°，127.5°或150°时，△AOD 是等腰三角形．
点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．解题的关键是要分类讨论．
25．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得
90EAB EBA ∠+∠=︒，根据三角形外角的性质，可得45MNB ∠=︒，进而可知BMN ∆是等腰直角三角
形，即得BN =．
（2）根据三角形中位线的性质，可得MF 与AC 的关系，根据等量代换，可得MF 与BD 的关系，根据等腰直角三角形，可得BM 与NM 的关系，根据等量代换，可得NM 与BC 的关系，根据同角的余角相等，可得CBD ∠与NMF ∠的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．
【详解】
（1）证明：∵AB AC =，点M 是BC 的中点
∴AM BC ⊥，AM 平分BAC ∠
∵BN 平分ABE ∠
∴EBN ABN ∠=∠
∵AC BD ⊥
∴90AEB =︒∠
∴90EAB EBA ∠+∠=︒ ∴()1452MNB NAB ABN BAE ABE ∠=∠+∠=
∠+∠=︒ ∴BMN ∆是等腰直角三角形
∴BN =
（2）证明：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，
∴//FM AC ，12FM AC =
∵AC BD = ∴12FM BD =，即12
FM BD = ∵BMN ∆是等腰直角三角形 ∴12NM BM BC ==，即12NM BC = ∴FM NM BD BC
= ∵AM BC ⊥
∴90NMF FMB ∠+∠=︒
∵//FM AC
∴ACB FMB ∠=∠
∵90CEB ∠=︒
∴90ACB CBD ∠+∠=︒
∴90CBD FMB ∠+∠=︒
∴NMF CBD ∠=∠
∴MFN BDC ∆∆∽
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的内角外角中位线相关性质，综合性较强，难度较大．。