2020届二轮(理科数学) 小题专练12 专题卷(全国通用)

小题专练·作业 (十二)
一、选择题
1．(2019·衡水中学第七次调研·4)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，若AD →
＝λAB →＋μAC →，则λ
μ＝( )
A.1
2 B.1
3 C ．2 D.23
答案 B
解析 本题考查平面向量基本定理．因为AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝
1
4AB →＋34AC →，所以λ＝14，μ＝34，所以λμ＝1
3
.故选B.
2．(2019·广东四校期末联考·9)已知P 是边长为2的等边三角形ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)的值( ) A ．有最大值8 B ．是定值6
C ．有最小值2
D ．与P 点的位置有关 答案 B
解析 本题可利用平面向量的坐标运算求解．以BC 的中点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xDy ，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P 点的坐标为(x ，0)，其中－1≤x ≤1，则有AB →＝(－1，－3)，AC →＝(1，－3)，AP →＝(x ，－3)，AB →＋AC →＝(0，－23)，则AP →·(AB →＋AC →
)＝6.故选B.
3．(2019·山东青岛调研)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m)．若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 C
解析 ∵a ＝(－1，1)，b ＝(3，m)，∴a ＋b ＝(2，m ＋1)． ∵a ∥(a ＋b )，∴－(m ＋1)－2＝0，解得m ＝－3.故选C.
4．(2019·长春质量监测)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，若(2a －b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
答案 C
解析 由题意知2a ·b －b 2＝0，即2|a |·|b |cos 〈a ，b 〉－|b |2＝0，得cos 〈a ，b 〉＝12，所以向
量a 与b 的夹角为60°.故选C.
5．(2019·吉林调研测试)已知等边三角形ABC 的边长为2，则|AB →＋2BC →|＝( ) A ．2 3 B ．27 C ．3 2 D ．3 3
答案 A
解析 由题意得|AB →＋2BC →
|＝（|AB →|＋2|BC →
|）2＝
22＋4×22＋4AB →·BC
→
＝
4＋16＋4×2×2cos120°＝2 3.故选A.
6．(2019·江西抚州调研测试)在小正方形边长为1的正方形网格中，向量a ，b 的大小与方向如图，则向量a ，b 所成角的余弦值是( )
A.2
2 B.68585
C.155
D.61313
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，易得a ＝(1，2)，b ＝(4，1)，则cos 〈a ，b 〉＝
a ·b
|a ||b |＝
65×17
＝685
85.故选B.
7．(2019·湖北部分重点中学联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝π
3，
c ＝4，a ＝26，则C ＝( ) A.3π5
B.π4
C.π4或3π5
D.π3或2π5
答案 B
解析 由正弦定理a sinA ＝c sinC ，得sinC ＝22.又a>c ，所以A>C ，所以C ＝π
4.故选B.
8．(2019·广东珠海二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c －2acosB ＝b ，则角A 的大小为( ) A.π
6 B.π4 C.π3 D.π2
答案 C
解析 在△ABC 中，∵2c －2acosB ＝b ，∴由正弦定理可得2sinC －2sinAcosB ＝sinB.即2sin(A ＋B)－2sinAcosB ＝sinB ，∴2sinAcosB ＋2cosAsinB －2sinAcosB ＝sinB ，可得2cosAsinB ＝sinB.∵B 为△ABC 的内角，∴sinB≠0，∴cosA ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
3.故选C.
9．在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点D ，AD ＝2BD ，则cos ∠BAC ＝( ) A.1
4 B.24 C.34
D.64 答案 A
解析 在△ABD 中，AD sinB ＝BD sin ∠BAD ，∴sin ∠BAD ＝BD AD ·sinB ＝22×32＝6
4，∴cos ∠BAC
＝1－2sin 2∠BAD ＝1－2×(
64)2＝1
4
.故选A. 10．(2019·广西南宁、玉林、贵港等市摸底)在△ABC 中， A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，C ＝π
3，sinB ＝2sinA ，则△ABC 的周长是( )
A ．3 3
B ．2＋ 3
C ．3＋ 3
D ．4＋ 3
答案 C
解析 在△ABC 中，sinB ＝2sinA ，∴由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2.又c ＝3，∴a ＝1，b ＝2，∴△ABC 的周长是a ＋b ＋c ＝1＋2＋3＝3＋ 3.故选C.
11．在△ABC 中，三边上的高的大小依次为113，15，1
11
，则△ABC 为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不存在这样的三角形
答案 C
解析 设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，S △ABC ＝12a·113＝12b·111＝12c·15，所以a 13＝b 11＝c
5.设a
＝13k ，b ＝11k ，c ＝5k(k>0)．因为11k ＋5k>13k ，所以能构成三角形，取大角A ，则cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（11k ）2＋（5k ）2－（13k ）2
2×11k×5k <0，所以A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角
形．故选C.
12．(2019·保定摸底)已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷C ，D 分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B 处再次观察帐篷C ，D ，此时C ，D 分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C ，D 之间的距离为( ) A ．1015米 B ．106米 C ．515米 D ．56米
答案 C
解析 由题意可得∠DAB ＝60°，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∠DBA ＝30°，在△ABD 中，∠DAB ＝60°，∠DBA ＝30°，AB ＝30，所以∠ADB ＝90°，sin ∠DAB ＝sin60°＝BD
BA
，解得BD ＝15 3.在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝60°，
AB sin60°＝BC
sin45°
，解得BC ＝10 6.在△BCD 中，∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝45°，则由余弦定理得cos ∠CBD ＝cos45°＝BC 2＋BD 2－CD 22BC·BD ，即22＝（106）2＋（153）2－CD 22×106×153，得CD ＝515.故选C.
二、填空题
13．(2019·湖北调研考试)《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14[c 2a 2
－（c 2＋a 2－b 22）2].已知△ABC 满足(sinA －sinB)(sinA ＋sinB)＝sinAsinC －sin 2C ，且AB ＝2BC ＝22，则用以上给出的公式可求得△ABC 的面积为________． 答案
3
解析 方法一：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.由(sinA －sinB)(sinA ＋sinB)＝sinAsinC －sin 2C ，根据正弦定理得(a －b)(a ＋b)＝ac －c 2，整理可得c 2＋a 2－b 2＝ac ，解得b
＝ 6 .则由提供的公式可得△ABC 的面积S ＝14[a 2c 2－（ac 2）2]＝34ac ＝3
4
×2×22＝3.
方法二：虽然本题条件中给出了公式，但由于是填空题，因此也可利用课本上的公式来求．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.由已知等式结合正弦定理，得c 2＋a 2－b 2＝ac ，则cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝12，所以B ＝π3，于是S △ABC ＝12acsinB ＝12×2×22sin π
3＝ 3.
14．(2019·山西五地市联考)已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(－2，1)，若a 与2a －b 共线，则|b |
|a |＝
________． 答案 12
解析 本题考查平面向量的运算、平面向量共线的条件．由题意得2a －b ＝(2x ＋2，3)，则由a 与2a －b 共线得2(2x ＋2)－3x ＝0，解得x ＝－4，则|a |＝（－4）2＋22＝25，|b |＝（－2）2＋12＝5，则|b ||a |＝1
2
.
15．(2019·江南三省十校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝2，|a ＋b |＝5，则|2a －b |＝________． 答案 2 2
解析 本题考查向量的模的计算、平面向量的数量积．由题意，向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝5，所以|a ＋b |2＝1＋2a ·b ＋4＝5，所以a ·b ＝0，所以|2a －b |＝4－4a ·b ＋4＝2 2.
16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为 ________． 答案 π6
解析 设向量a 与b 的夹角为θ.∵b 在a 上的投影为3，且|a |＝12＋（3）2＝2，a ·b ＝3＋3m ，∴|b |cosθ＝|b |×a ·b ||a ||b |＝3＋3m 2＝3，解得m ＝ 2.∴|b |＝2 3.∴cosθ＝a ·b |a ||b |＝
3＋3×32×23＝
32.∵θ∈[0，π]，∴向量a 与b 的夹角为π
6
. 17.如图，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡度θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________． 答案
3－1
解析 ∵∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ADB ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理，得
AB
sin ∠ADB
＝
BD sin ∠BAD ，即5012＝BD 6－2
4，∴BD ＝25(6－2) m ．在△BCD 中，由正弦定理，得
CD
sin ∠DBC ＝
BD sin ∠BCD ，即252
2
＝25（6－2）sin ∠BCD ，∴sin ∠BCD ＝3－1，∴cosθ＝sin(180°－∠BCD)＝
sin ∠BCD ＝3－1.
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.给出下列四个命题： ①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； ②若sinA ＝cosB ，则△ABC 为直角三角形；
③若cosA a ＝sinB b ＝cosC c
，则△ABC 为等腰直角三角形；
④若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)＝1，则△ABC 为正三角形．其中，正确命题的序号为________. 答案 ③④
解析 ①若sin2A ＝sin2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π
2，所以△ABC
是等腰三角形或直角三角形，所以该命题错误；②若sinA ＝cosB ，则sinA ＝sin(π
2－B)，所
以A ＝π2－B 或A ＋π2－B ＝π，所以A ＋B ＝π2或A －B ＝π
2，则△ABC 不一定为直角三角形，
所以该命题错误；③若cosA a ＝sinB b ＝cosA c ，则cosA sinA ＝sinB sinB ＝cosC sinC ，所以A ＝C ＝π4，所以△ABC
为等腰直角三角形，所以该命题正确；④若cos(A －B)·cos(B －C)cos(C －A)＝1，则cos(A －B)＝cos(B －C)＝cos(C －A)＝1，所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是正三角形，所以该命题正确． 19．(2019·石家庄模拟考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若ccosB ＋bcosC ＝2acosA ，AM →＝23AB →＋13AC →
，且AM ＝1，则b ＋2c 的最大值是________．
答案 2 3
解析 本题考查正弦定理、两角和与差的正弦公式、基本不等式．由题意，利用正弦定理将ccosB ＋bcosC ＝2acosA 化简，得sinCcosB ＋sinBcosC ＝2sinAcosA ，∴sin(B ＋C)＝sinA ＝2sinAcosA.∵sinA≠0，∴cosA ＝12.∵A 为三角形的内角，∴A ＝π
3.∵AM →＝23AB →＋13
AC →，∴AM
→2＝(
23AB →＋13AC →)2，即1＝19(b ＋2c)2－29bc ≥19(b ＋2c)2－19(b ＋2c 2
)2
，即(b ＋2c)2≤12，∴b ＋2c ≤23，当且仅当b ＝2c 时，取等号，即b ＋2c 的最大值为2 3.
20．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且2cosAcosC(tanAtanC －1)＝1.若D 为AC 的中点，且BD ＝1，则△ABC 的面积的最大值是________．
答案
33
解析 本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换、三角形的面积公式、基本不等式．由2cosAcosC·(tanAtanC －1)＝1，得2cosAcosC(
sinAsinC
cosAcosC
－1)＝1，∴2(sinAsinC －cosAcosC)
＝1，∴cos(A ＋C)＝－12，∴cosB ＝12.又0<B<π，∴B ＝π
3.在△ABD 中，由余弦定理得c 2＝1
＋(b 2)2－2×1×b 2×cos ∠ADB ， ①在△CBD 中，由余弦定理得a 2＝1＋(b 2)2－2×1×b
2×cos ∠CDB ， ② ①②相加得
a 2＋c 2＝2＋
b 2
2＝2＋a 2＋c 2－2accosB 2
，整理得a 2＋c 2＝4－ac ，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤43，∴△ABC 的面积S ＝12acsinB ≤12×43×32＝33，当且仅当a ＝c ＝23
3时取等号，∴△ABC
的面积的最大值为
3
3
.
1.(2018·河南中原名校3月联考题)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2CD ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →
＝( ) A.23AB →－13AD → B.13AB →－23AD →
C ．－23AB →＋13A
D →
D ．－13AB →＋23
AD →
答案 C
解析 方法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12
AB →，所以AE →＝AB
→＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AD →－12AB →)＝23AB →＋23AD →
，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12(
23AB →＋23AD →)－AB →＝－23AB →＋13
AD →
.故选C.
方法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋CE →)＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋13CB →)
＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13
AD →
.故选C.
2．(2018·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为( ) A ．－1
B ．－2
C ．－52
D ．－54
答案 D
解析 不妨设e ＝(1，0)，则a ＝(1，m)，b ＝(－2，n)(m ，n ∈R )，则a ＋b ＝(－1，m ＋n)，所以|a ＋b |＝1＋（m ＋n ）2＝2，所以(m ＋n)2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn ＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a ·b ＝－2＋mn ≤－5
4，综上可知，a ·b 的最大
值为－5
4
.故选D.
3．(2018·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－1
2，向量c 与a ＋b 共线，则
|a ＋c |的最小值为( ) A ．1 B.1
2 C.34 D.32
答案 D
解析 方法一：∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t(a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t(t ＋1)a ·b ＋t 2b 2.∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－1
2，∴(a ＋c )2＝(t ＋
1)2－t(t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为3
2
.故选D.
方法二：∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－1
2，∴向量a ，b 的夹角为120°，在平面直角
坐标系中，不妨设向量a ＝(1，0)，b ＝(－12，32)，则a ＋b ＝(12，3
2)．∵向量c 与a ＋b 共
线，∴可设c ＝(12t ，32t)(t ∈R )，∴a ＋c ＝(1＋t 2，3
2t)，∴|a ＋c |＝
（1＋t 2）2＋3t 2
4
＝
t 2＋t ＋1≥
32，∴|a ＋c |的最小值为3
2
.故选D. 4．(2018·郑州质量预测二)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝1
2，则(a ＋c )·(2b
－c )的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－1 D ．0
答案 B
解析 设a 与b 的夹角为θ，则|a |·|b |cosθ＝12，即cosθ＝1
2
，因为0≤θ≤π，
所以θ＝π
3，令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标
系，则a ＝OA →＝(1，0)，b ＝OB →＝(12，3
2)，设c ＝OC →＝(cosα，sinα)(0≤α≤2π)，则(a ＋c )·(2b
－c )＝(1＋cosα，sinα)·(1－cosα，3－sinα)＝(1＋cosα)(1－cosα)＋sinα·(3－sinα)＝1－cos 2α＋3sinα－sin 2α＝3sinα≥－3(当且仅当α＝3π
2
时取等号)．故选B.
5．(2018·福建莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC ＋csinBcosA ＝1
2b ，且a>b ，则B ＝( )
A.π6
B.π
3 C.2π3 D.5π6
答案 A
解析 ∵asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b ，∴根据正弦定理可得sinAsinBcosC ＋sinCsinBcosA ＝
1
2sinB ，即sinB(sinAcosC ＋sinCcosA)＝12sinB.∵sinB≠0，∴sin(A ＋C)＝12，即sinB ＝1
2.∵a>b ，
∴A>B ，即B 为锐角， ∴B ＝π
6
.故选A.
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，sinA ＝4
5，tanC ＝7，则△ABC
的面积为( ) A ．7 2 B ．7 C ．14 2 D ．14 答案 B
解析 由sinA ＝45，得cosA ＝±35.由tanC ＝7，得sinC ＝7210，cosC ＝210.若cosA ＝－3
5，则
sinB ＝sin(A ＋C)＝－17250<0，与sinB>0矛盾，故cosA ＝35，则sin(A ＋C)＝22.由sinA ＝4
5，
tanC ＝7，得A>π4，C>π4，所以A ＋C>π2，所以A ＋C ＝3π4，故B ＝π4.由正弦定理a sinA ＝b
sinB ，
得b ＝522，所以△ABC 的面积为12×4×522×72
10
＝7.
7．(2019·河南普通高中适应性考试)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且a 2＋b 2－c 2＝43S ，c ＝1，则3b －a 的最大值为( ) A. 3
B ．2
C ．3 D. 2
答案 B
解析 本题考查三角形与三角恒等变换的综合．a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ＝43×1
2absinC ⇒tanC
＝
33，C ∈(0，π)⇒C ＝π6，又c ＝1，易知△ABC 外接圆直径为1sin π
6
＝2，则3b －a ＝23sinB －2sinA ＝23sinB －2sin(B ＋π6)＝2sin(B －π6)，当B ＝2π
3时，3b －a 取得最大值2.故选B.
8．(2019·衡水中学第七次调研)如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距600 m ，则铁塔AB 的高度是( ) A ．120 2 m B ．480 m C ．240 2 m D ．600 m
答案 D
解析 本题考查余弦定理的实际应用．设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理知cos ∠BCD ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC·CD ，即x 2＋6002－3x 22·x·600＝－1
2，解得x ＝600，即
铁塔的高度为600 m ．故选D.
9．(2019·湖南四校调研联考，10)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
sinA
sinB ＋sinC ＋
b
a ＋c
＝1，则C ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 .5π6 答案 B
解析 由正弦定理可得sinA sinB ＋sinC ＋b a ＋c ＝a b ＋c ＋b
a ＋c ＝1，整理可得a 2＋
b 2－
c 2＝ab.∴由余
弦定理的推论可得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又由C ∈(0，π)，可得C ＝π
3
.故选B.
10．(2019·山西运城康杰中学模拟)已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足|c －a －b |＝2，则|c |的取值范围为( ) A ．[1，1＋2] B ．[2－22，2＋2] C ．[2，22] D ．[3－22，3＋22]
答案 B
解析 ∵a ，b 是单位向量且a ·b ＝0，∴可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，设c ＝(x ，y)，则c －a －b ＝(x －1，y －1)．
∵向量c 满足|c －a －b |＝2，∴（x －1）2＋（y －1）2＝2，∴(x －1)2＋(y －1)2＝4.∴点(x ，y)在圆心为C(1，1)，半径为r ＝2的圆C 上，∴|OC|＝ 2.∵|c |＝x 2＋y 2表示点(x ，y)与原点的距离，∴2－2≤|c |＝x 2＋y 2≤2＋ 2.故选B.
11．(2019·黑龙江大庆实验中学月考)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1.若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →
方向上的投影为( ) A.32 B.3
2
C ．3
D ．－
32
答案 A
解析 如图，取BC 边的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2AD →＝2AO →
，∴点O 和点D 重合．∵点O 是△ABC 外接圆的圆心，|OA →|＝|AC →
|，∴∠BAC
＝90°，∠BOA ＝∠120°，∠ABO ＝30°.在△AOB 中，由|OA →|＝|OB →|＝1及余弦定理，得|AB →|2＝1＋1－2×(－12)＝3，|AB →|＝ 3.∵∠ABO ＝30°，∴向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA
→|cos ∠ABO ＝3
2
.
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2ccosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为( ) A ．28 B ．36 C ．48 D ．56 答案 C
解析 在△ABC 中，2ccosB ＝2a ＋b ，由正弦定理，得2sinCcosB ＝2sinA ＋sinB.又A ＝π－(B ＋C)，所以sinA ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)，所以2sinCcosB ＝2sin(B ＋C)＋sinB ＝2sinBcosC ＋2cosBsinC ＋sinB ，得2sinBcosC ＋sinB ＝0.因为sinB≠0，所以cosC ＝－1
2.又
0<C<π，所以C ＝2π3.由S ＝3c ＝12absinC ＝12ab×32，得c ＝ab
4.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－
2abcosC ＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以(ab
4)2≥3ab ，得ab ≥48，
所以ab 的最小值为48.故选C.
13．(2018·陕西质检一)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(acosB
＋bcosA)＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________． 答案 [1，2)
解析 由sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin(A ＋B)＝sinC 及正弦定理，可知acosB ＋bcosA ＝c ，则由(a 2＋b 2－c 2)·(acosB ＋bcosA)＝abc ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得cosC ＝12，则C ＝π3，
B ＝2π3－A ，由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sin
C ，得a
sinA
＝
b sin （2π3－A ）＝c
sin
π3
.又a ＋b ＝2，所以
csinA 32＋csin （2π
3－A ）
3
2＝2，即c ＝3sinA ＋sin （2π3－A ）＝1sin （A ＋π6）
.因为A ∈(0，2π
3)，所
以A ＋π6∈(π6，5π6)，sin(A ＋π6)∈(1
2
，1]，则c ∈[1，2)．
14．一艘海轮从A 出发，沿南偏东75°的方向航行100 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿南偏东15 °的方向航行50 n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 沿南偏东θ方向出发到达C ，则sinθ＝________． 答案
342＋14
28
解析 根据题意，画出大致图形，如图所示．
由题意得∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，在△ABC 中，根据余弦定理可得，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB×BC×cos ∠ABC ＝1002＋502－2×100×50×cos120°＝507.根据正弦定理可得，BC sin ∠CAB ＝AC sin ∠ABC ，所以sin ∠CAB ＝BC×sin ∠ABC AC ＝50×
3
2507＝21
14.又∠CAB 为
锐角，所以cos ∠CAB ＝5714，sinθ＝sin(75°－∠CAB)＝sin75°cos ∠CAB －sin ∠CABcos75°
＝342＋1428
.
15．(2018·贵阳监测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，asinB ＝3bcosA ，则△ABC 面积的最大值是________． 答案 4 3
解析 由正弦定理可得sinAsinB ＝3sinBcosA ，得sinA ＝3cosA ，则tanA ＝3，所以在△ABC 中，A ＝π
3
.又a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，所以bc ≤16(当且仅当
b ＝
c 时取等号)．所以S △ABC ＝12bcsinA ≤12×16×3
2＝43，所以△ABC 面积的最大值是4 3.
16．(2018·福建八校联考)如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则四边形ABCD 的面积为________． 答案 610
解析 如图所示，连接BD ，因为四边形ABCD 为圆内接四边形，所以A ＋C ＝180°，则cosA ＝－cosC ，
利用余弦定理得cosA ＝62＋52－BD 22×6×5，cosC ＝32＋42－BD 22×3×4，解得BD 2＝247
7，所以cosC ＝－
37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sinC ＝2107，因为A ＋C ＝180°，所以sinA ＝sinC ＝210
7
，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝
12×5×6×2107＋12×3×4×210
7
＝610. 17．(2019·江苏苏州调研测试)如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的一点，则PB →·PC →
的取值范围是________．
答案 [－11，－9]
解析 以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．由∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，可得B(－23，－2)，C(23，－2)．∵|AP →|＝1，∴可设P(cosα，sinα)，76π≤α≤
116π，则－1≤sinα≤－12，PB →
＝(－23－cosα，－2－sinα)，PC →＝(23－cosα，－2－sinα)，∴PB →·PC
→＝cos 2α－12＋(2＋sinα)2＝－7＋4sinα∈[－11，－9]．。