浦东新区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

浦东新区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.
A ．),3[]1,2(+∞--
B ．),3()1,35
(+∞-- C ．),3[]1,3
5[+∞-- D ．),3()1,2(+∞--
2． 双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列
{}n a 的前n 项和为（ ）
A ．22n
- B ．1
2
2n +- C ．21n - D ．121n +-
4． 阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ ）
A ．39
B ．21
C ．81
D ．102
5． 对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断： ①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≠0；②a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 不能同时成立，
下列说法正确的是（ ）
A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①对②对
D ．①错②错
6． 函数y=+
的定义域是（ ）
A ．{x|x ≥﹣1}
B ．{x|x ＞﹣1且x ≠3}
C ．{x|x ≠﹣1且x ≠3}
D ．{x|x ≥﹣1且x ≠3}
7． 已知数列，则5是这个数列的（ ）
A ．第12项
B ．第13项
C ．第14项
D ．第25项
8． 已知函数f （x ）=x 3+mx 2+（2m+3）x （m ∈R ）存在两个极值点x 1，x 2，直线l 经过点A （x 1，x 12），B
（x 2，x 22），记圆（x+1）2+y 2
=上的点到直线l 的最短距离为g （m ），则g （m ）的取值范围是（ ）
A ．[0，2]
B ．[0，3]
C ．[0，）
D ．[0，）
9． 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A ．至少有一个白球；都是白球
B ．至少有一个白球；至少有一个红球
C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D ．至少有一个白球；红、黑球各一个
10．变量x 、y 满足条件
，则（x ﹣2）2+y 2
的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．5
11．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设函数y=sin2x+cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（ ）
A ．T=π，
B ．T=π，A=2
C ．T=2π，
D ．T=2π，A=2
二、填空题
13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函
数y=ax 2
﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．
14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2
()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
16．若x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最大值为．
17．若全集，集合，则
18．已知（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=．
三、解答题
19．已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，且不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．
20．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．
21．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；
（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．
22．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
23．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）
的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．
（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；
（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．
浦东新区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】由已知，圆1O 的标准方程为2
2
2
(1)()(4)x y a a ++-=+，圆2O 的标准方程为
222
()()(2)x a y a a ++-=+，∵
2->a ，要使两圆恒有公共点，则122||26O O a ≤≤+，即 62|1|2+≤-≤a a ，解得3≥a 或1
35
-≤≤-a ，故答案选C
2． 【答案】B
【解析】解：∵双曲线标准方程为，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±x ． 故选：B ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
3． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．22log 1a =，25log 4a =，∴22a =,516a =,∴11a =,2q =，数列{}n a 的前n 项和为21n
-，选C ．
4． 【答案】] 【解析】
试题分析：第一次循环：2,3==n S ；第二次循环：3,21==n S ；第三次循环：4,102==n S ．结束循环，输出102=S ．故选D. 1 考点：算法初步．
5． 【答案】A
【解析】解：由：“a ，b ，c 是不全相等的正数”得：
①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，
故①正确； 但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 能同时成立，
故②错．
故选A．
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．
6．【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x≥﹣1或x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
7．【答案】B
【解析】
由题知，通项公式为，令得，故选B
答案：B
8．【答案】C
【解析】解：函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x的导数为f′（x）=x2+2mx+2m+3，
由题意可得，判别式△＞0，即有4m2﹣4（2m+3）＞0，
解得m＞3或m＜﹣1，
又x1+x2=﹣2m，x1x2=2m+3，
直线l经过点A（x1，x12），B（x2，x22），
即有斜率k==x1+x2=﹣2m，
则有直线AB：y﹣x12=﹣2m（x﹣x1），
即为2mx+y﹣2mx1﹣x12=0，
圆（x+1）2+y2=的圆心为（﹣1，0），半径r为．
则g（m）=d﹣r=﹣，
由于f′（x1）=x12+2mx1+2m+3=0，
则g（m）=﹣，
又m＞3或m＜﹣1，即有m2＞1．
则g（m）＜﹣=，
则有0≤g（m）＜．
故选C．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．
9．【答案】D
【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，
所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；
至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，
故选：D
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．
10．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
11．【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，
其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3个数构成一组勾股数的概率为．
故选：C
12．【答案】B
【解析】解：由三角函数的公式化简可得：
=2（）
=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+），
∴T==π，A=2
故选：B
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：由题意，函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件．
∵第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，
∴a 取1时，b 可取2，3，4，5，6；a 取2时，b 可取4，5，6；a 取3时，b 可取6，共9种 ∵（a ，b ）的取值共36种情况
∴所求概率为=．
故答案为：．
14．【答案】222,0
2,0
x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩
【解析】
试题分析：令0x <，则0x ->，所以()()()2
2
22f x x x x x -=---=+，又因为奇函数满足
()()f x f x -=-，所以()()2
20f x x x x =--<，所以()y f x =在R 上的解析式为22
2,0
2,0
x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩。

考点：函数的奇偶性。

15．【答案】 26
【解析】解：由三视图知几何体为为三棱柱，去掉一个三棱锥的几何体，如图：
三棱柱的高为5，底面是直角边为4，3，去掉的三棱锥，是底面是直角三角形直角边为4，3，高为2的三棱锥．
∴几何体的体积V==26．
故答案为：26．
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．
16．【答案】 38 ．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y 得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A 时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z 最大，
由
，解得
，
即A （3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32， 故答案为：38
17．【答案】{|0＜＜1｝ 【解析】∵
，∴
{|0＜＜1｝。

18．【答案】 5 ．
【解析】二项式定理． 【专题】计算题．
【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x ）n （n ∈N +）的展开式中无常数项、x ﹣1项、x ﹣2
项，利
用（x
）n （n ∈N +
）的通项公式讨论即可．
【解答】解：设（x）n（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n﹣r x﹣3r=x n﹣4r，2≤n≤8，
当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；
当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；
当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；
当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；
当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
综上所述，n=5时，满足题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2可转化为ax2﹣3x+2＞0，
所给条件表明：ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1orx＞b}，根据不等式解集的意义
可知：方程ax2﹣3x+2=0的两根为x1=1、x2=b．
利用韦达定理不难得出a=1，b=2．
由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，s n=n2…（6分）
（Ⅱ）令
则
=…（12分）
【点评】本小题主要考查数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．
20．【答案】
【解析】解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：
于是f（θ）===2
（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示，
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．
因为P∈Ω，所以0≤θ≤，
∴f（θ）==，
且，
故当，即时，f（θ）取得最大值2；
当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1．
【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cosθ，
从而当时，PQ=50﹣50cos=75．
即点P距地面的高度为75米．
（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60﹣50sinθ，NQ=300﹣50sinθ．
又PQ=50﹣50cosθ，所以tan，tan．
从而tan∠MPN=tan（∠NPQ﹣∠MPQ）=
=．
令g（θ）=．θ∈（0，π）
则，θ∈（0，π）．
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ﹣1=0，解得．
当时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函数．
所以当θ=时，g（θ）有极大值，也是最大值．
因为．所以．
从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值．
即当时，∠MPN取得最大值．
【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．
22．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a 2n+3=3•（﹣）2n =3•（）2n
，从而可得b n =log 2
=2n ，利用裂项求和法求和．
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，
则3（1++
）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n =3，或a n =3•（﹣）n ﹣3
；
（Ⅱ）证明：若a n =3，则b n =0，与题意不符；
故a 2n+3=3•（﹣）2n =3•（）2n
，
故b n =log 2=2n ，
故c n =
=﹣
，
故c 1+c 2+c 3+…+c n =1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．
23．【答案】
【解析】解：（1）由题意，n=10， =x
i =8， =
y i =2，
∴b=
=0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，
∴y=0.3x ﹣0.4； （2）∵b=0.3＞0， ∴y 与x 之间是正相关；
（3）x=7时，y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．
24．【答案】
【解析】解：（1）不等式即|x ﹣1|+|x+2|≥5，由于|x ﹣1|+|x+2|表示数轴上的x 对应点到﹣2和1对应点的距离之和，
而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．
（2）若关于x 的不等式f （x ）＞a 2﹣2a 对于任意的x ∈R 恒成立，故f （x ）的最小值大于a 2
﹣2a ．
而由绝对值的意义可得f （x ）的最小值为3，
∴3＞a2﹣2a，解得﹣1＜a＜3，
故所求的a的取值范围为（﹣1，3）．。