2025届湖北省仙桃中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2025届湖北省仙桃中学高三第二次模拟考试数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln f x x =，若2
()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．21,06e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．1,06e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．10,
6e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．2
10,
6e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
2．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}
120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）
A ．8
B ．7
C ．4
D ．3
4．设集合{
}
2
320M x x x =++>，集合1{|()4}2
x
N x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）
A ．{}
2x x ≥-
B ．{}
1x x >-
C ．{}
2x x ≤-
D ．R
5．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若
290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）
A ．
1
2
B ．
33
C ．
22
D ．
32
6．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．
35
B ．45
-
C ．
45
D ．
35
7．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i +
B ．12i -+
C ．12i --
D ．12i -
8．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）
A ．
253
5
- B ．
53
5
- C ．
53
5
+ D ．
253
5
+ 9．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：
（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值； （2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；
（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；
（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知函数2
(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1
mx y x n
+=
+图象以点P 为对称中心的充要条件是( )
A ．1,2m n ==-
B ．1,2m n =-=
C ．1,2m n ==
D ．1,2m n =-=-
11．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．
19
B ．
29
C ．
13
D ．
49
12．若,x y 满足约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨
≤-≤⎩，
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3
a
f x x =+，则()f a 的值为___________________．
14．在三棱锥A BCD -中，已知22=6BC CD BD AB AD ===
=，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥
A BCD -外接球的表面积为______.
15．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）.
16．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布(
)2
172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，那么该市身高高于180cm
的高中男生人数大约为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、
、、、、、、共8个等级。

参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为
、
、
、
、
、
、、
.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，
分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属
等
级.而
等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得
.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布
.
（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的
物理成绩；
（ii ）求物理原始分在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布
列和数学期望. （附：若随机变量
，则，，
）
18．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足()2
2
120n n a n a n n -+--=.
（1）求1a ，2a 及{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2
n
a 的前n 项和n
S
.
19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，
10PC =，E 为线段AD 的中点．
()1求证：平面PBC ⊥平面PBE ；
()2是否存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得3
4
B PAE D PFB V V --=
？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
20．（12分）设函数f （x ）=ax 2–a –lnx ，g （x ）=1e
e
x x -，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g （x ）＞0；
（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f （x ）＞g （x ）在区间（1，+∞）内恒成立.
21．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是11cos ,4231sin 42x y αα⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（α是参数），以原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转
3
π
，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值.
22．（10分）已知函数2()(0)1
x
e f x a x ax =≥-+．
（1）当0a =时，试求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线； （2）试讨论函数()f x 的单调区间．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
令2
()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3x k x =
，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x =有两个交点，结
合已知，即可求得答案. 【详解】
令2
()()30F x f x kx =-=， 可得2
ln 3x
k x =
， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x =
有两个交点，
3
12ln ()3x
g x x
-'=
， 令12ln 0x -=，
可得x =
∴当x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；
当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减.
∴
当x =max 1()6e
g x =， ∴若直线y k =和2
ln ()3x g x x =
有两个交点，则10,6e k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
∴实数k的取值范围是
1 0,
6e
⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
2、A
【解析】
设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．
【详解】
如图，设三棱柱为，且，高．
所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，
则圆的半径为．
设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，
所以，
即球的半径为，
所以球的体积为．
故选A．
【点睛】
本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：
（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．
（2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解
3、D 【解析】 转化条件得{}0,1A B =，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解.
【详解】
由题意得()(){}{
}
12012B x x x x x =+-<=-<<，
∴{}0,1A B =，∴集合A B 的真子集的个数为2213-=个.
故选：D. 【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题. 4、D 【解析】
试题分析：由题{
}{
}
2
320|21M x x x x x x =++=--或，
{}2
111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧
⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，M N R ∴⋃=，选D
考点：集合的运算 5、C 【解析】
根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率. 【详解】
由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.
由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有2
2
2
22BF AB AF +=，即()()2
2
22x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以
21BF a BF ==；
在直角21BF F 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2
e =. 故选：C
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题. 6、D 【解析】
利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【详解】
解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫
=+=+=+
⎪⎝⎭
，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22
k π
θαπ+=-
()k ∈Z ，即2()2
k k Z π
θπα=-
-∈时，函数取最小值()5f
θ=-，
所以3cos cos(2)cos()sin 2
25
k π
π
θπααα=--=-
-=-=-， 故选：D 【点睛】
本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题． 7、B 【解析】
根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】
() 22112i i i i +=-=-+.
故选B 【点睛】
本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型. 8、B 【解析】
分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos α的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于cos α的式子，代入从而求得结果. 详解：根据题中的条件，可得α为锐角，
根据tan 2α=，可求得cos α=
，
而22cos 2cos 2cos cos 115αααα+=+-=
+=
B.
点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.
9、C
【解析】
解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，
∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；
对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；
对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，
直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），
∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；
对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，
因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．
故选：C．
点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.
10、A
【解析】
由题可得出P的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m和n.
【详解】
根据题意，20
1x y -=⎧⎨=⎩
，所以点P 的坐标为(2,1)，
又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-=
==+++ 1mn x n
-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】
本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题. 11、B 【解析】
根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211
33222
2
C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为11
22C C ，最后简单计算，可得结果. 【详解】 由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C
将选中2名女生平均分为两组：112122
C C
A
将选中2名男生平均分为两组：112122
C C
A
则选出的4人分成两队混合双打的总数为：
22111111
2
22332
221213
3
2222
22218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11
224C C =
所以所求的概率为42
189
= 故选：B 【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以m
m A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题. 12、D
【解析】
画出可行域,将2z x y =+化为122z
y x =-+,通过平移12
y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】
解:由约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
作出可行域如图,
化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122
z
y x =-+.由图可知 当直线122
z
y x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】
本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移
y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0 【解析】
由题意可得：(),0130,0,10
3a x x f x x a
x x ⎧+<≤⎪⎪
==⎨⎪⎪--≤<⎩
，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可.
【详解】 解：
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
∴(),0130,0,10
3a x x f x x a
x x ⎧+<≤⎪⎪
==⎨⎪⎪--≤<⎩
.
由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133
a a
+
=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.
故答案为：0. 【点睛】
本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 14、48π 【解析】
取BD 的中点F ，设等边三角形BCD 的中心为O ，连接AF CF OA ，，.
根据等边三角形的性质可求得
2
3
BO CO DO CF ====
OF =，
由等腰直角三角形的性质，得AF BD ⊥，根据面面垂直的性质得AF ⊥平面BCD ，AF OF ⊥
，由勾股定理求得=OA O 为三棱锥A BCD -外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积. 【详解】
在等边三角形BCD 中，取BD 的中点F ，设等边三角形BCD 的中心为O ， 连接AF CF OA ，，.由6BC =
，得2
3
BO CO DO CF ===
=
OF =， 由已知可得ABD ∆是以BD 为斜边的等腰直角三角形，AF BD ∴⊥, 又由已知可得平面ABD ⊥平面BCD ，AF ∴⊥平面BCD ，AF OF ∴⊥，
OA =
OA OB OC OD ====O ∴为三棱锥A BCD -外接球的球心，外接球半
径R OC ==
∴三棱锥A BCD -
外接球的表面积为24π48π⨯=.
故答案为：48π
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题. 15、135 【解析】
根据题意先确定2个人位置不变，共有2
615C =种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得
到答案. 【详解】
根据题意先确定2个人位置不变，共有2
615C =种选择.
再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119⨯⨯⨯=种选择， 故不同的坐法有159135⨯=. 故答案为：135. 【点睛】
本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 16、3000 【解析】
根据正态曲线的对称性求出()180P ξ>，进而可求出身高高于180cm 的高中男生人数. 【详解】
解：全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布(
)2
172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，
则()10.42
1800.12
P ξ-⨯>=
=， 该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为300000.13000⨯=. 故答案为：3000. 【点睛】
本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.
【解析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解。

【详解】
（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间的人数为（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则.
，，
，，
.
的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望.
【点睛】
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。

18、（1）13a =；25a =.21n a n =+；（2）()8413
n
n S =- 【解析】
（1）根据题意，知0n a >，且()22
120n n a n a n n -+--=，令1n =和2n =即可求出1a ，2a ，以及运用递推关系求
出{}n a 的通项公式；
（2）通过定义法证明出{}n b 是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式，即可求得{}2n
a 的前n
项和n S . 【详解】
解：（1）由题可知，0n a >，且()22
120n n a n a n n -+--=， 当1n =时，2
11230a a --=，则13a =，
当2n =时，2
223100a a --=，25a =，
由已知可得()()210n n a n a n +-+=⎡⎤⎣⎦，且0n a >， ∴{}n a 的通项公式：21n a n =+.
（2）设2n a
n b =，则212n n b +=，
所以
21
22112242
n n n n b b +--===，3128b ==， 得{}n b 是首项为8，公比为4的等比数列， 所以数列{}n b 的前n 项和n S 为：
12n n S b b b =+++，
即()()352181482224114
3
n n n
n S +-=++⋅⋅⋅+==
--， 所以数列{}2n
a 的前n 项和：()8413
n
n
S
=
-. 【点睛】
本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前n 项和公式，考查计算能力. 19、()1证明见解析；()2 2. 【解析】
()1利用面面垂直的判定定理证明即可；
()2由PF FC λ=，知()1FC PC λ+=，所以可得出D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=，因此，3
4
B PAE D PFB V V --=
的充要条件是1
32
4
λλ
+=
，继而得出λ的值. 【详解】
解：()1证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点， 所以PE AD ⊥．
因为ABCD 是菱形，所以AD AB =． 因为60BAD ∠=︒， 所以ABD △是正三角形，
所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=， 所以AD ⊥平面PBE ． 又//AD BC ， 所以BC ⊥平面PBE ． 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE ．
()2由PF FC λ=，知()1FC PC λ+=．
所以，111222
B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+=
==， D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=．
因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324
λλ+=， 所以，2λ=．
即存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得3
4
B PAE D PFB V V --=
，此时2λ=．
【点睛】
本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题．
20、（Ⅰ）当x ∈
（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x ＞0，()f x 单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）a ∈1[+)2
∞，
. 【解析】
试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对()f x 求导，再对a 进行讨论，判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（Ⅲ）问，构造函数()h x =()f x -()g x （1x ≥），利用导数判断函数()h x 的单调性，从而求解a 的值.
试题解析：（Ⅰ）2121
()2(0).ax f x ax x x x --=>'=
0a ≤当时，()f x '<0，()f x 在0+（，）
∞内单调递减. 0a >当时，
由()f x '=0有
x =当x ∈
（时，()f x '<0，()f x 单调递减； 当x ∈
+)
∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增. （Ⅱ）令()s x =1e x x --，则()s x '=1e 1x --. 当1x >时，()s x '＞0，所以1e x x ->，从而()g x =111
e
x x --＞0. （Ⅲ）由（Ⅱ），当1x >时，()g x ＞0.
当0a ≤，1x >时，()f x =2
(1)ln 0a x x --<.
故当()f x ＞()g x 在区间
1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当1
2
a <<＞1.
由（Ⅰ）有(1)0f f <=,
而0g >， 所以此时()f x ＞()g x 在区间
1+)∞（，内不恒成立. 当1
2
a ≥
时，令()h x =()f x -()g x （1x ≥）. 当1x >时，()h x '=122111112e x
ax x x x x x x --+->-+-=3222
21210x x x x x x -+-+>>. 因此，()h x 在区间
1+)∞（，单调递增. 又因为()h 1=0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x ＞0，即()f x ＞()g x 恒成立.
综上，a ∈1
[+)2
∞，
. 【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题
【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度． 21、（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭（2）最大值为3
4
【解析】
（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程.
（2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值. 【详解】
（1
）由11cos ,421sin ,
2x y αα⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
消去α得曲线C
的普通方程为221022x y x y +--=.
所以C
的极坐标方程为1
cos 2
ρ=
θ+θ，
即sin 6π⎛⎫ρ=θ+
⎪⎝⎭
. （2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则
12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭1sin cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝
⎭112cos 244
θθ=++11
sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪
⎝⎭ 当6
π
θ=
时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为
3
4
. 【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题. 22、（1）1y x =+；（2）见解析 【解析】
（1）对函数进行求导，可以求出曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线，利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线方程；
（2）对函数进行求导，对实数a 进行分类讨论，可以求出函数()f x 的单调区间． 【详解】
（1）当0a =时，函数定义域为R ，()
2
2
2
(1)()(0)11x e x f x f x
'
'-=⇒=+,
所以切线方程为1y x =+； （2）(
)()
()()
()
22
2
2
2
2
2
2
12(2)1(1)((1))
()1
1
1x x
x
e x ax x a
e x
a x a
e x x a
f x x
ax x
ax x ax '
-+-+-+++--+=
==-+-+-+
当0a =时，函数定义域为R ，()
2
2
2
(1)()0,()1x e x f x f x x
'
-=
≥∴+在R 上单调递增
当(0,2)a ∈时，2
2
40,10a x ax ∆=-<∴-+>恒成立，函数定义域为R ，又11,()a f x +>∴在(,1)-∞单调递增，
(1,1)a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增
当2a =时，函数定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，(3)
(),()(1)
x e x f x f x x '
-=
∴-在(,1)-∞单调递增，(1,3)单调递减，(3,)+∞单调递增 当(2,)a ∈+∞时，
240a ∆=->设210x ax -+=的两个根为12,x x 且12x x <，由韦达定理易知两根均为正根，且
1201x x <<<，所以函数的定义域为()()12,,x x -∞+∞，又对称轴12
a
x a =
<+，且22(1)(1)1201a a a a x a +-++=+>∴<+，
()f x ∴在()()11,,,1x x -∞单调递增，()()221,,,1x x a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增
【点睛】
本题考查了曲线切线方程的求法，考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题，考查了分类思想.。