甘肃省嘉峪关市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷含解析

甘肃省嘉峪关市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数
()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设1
2a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()3b f =，
()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）
A ．b a c <<
B ．c b d <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
【答案】A 【解析】 【分析】 根据
()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且
()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.
【详解】
()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称
()f x ∴图象关于1x =对称
()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增
又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫
∴-<-< ⎪⎝⎭
，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.
2．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x
f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）
A ．3log 4
B ．3log 41+
C ．
4
3
D ．3log 41-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313
1
c
a b
+=+
-，只需求出3a b +的最小值，根据
333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，a 与b 为函数()3x
f x =的“线性对称点”，
所以33323323a b a b a b a b ++=+=≥⋅， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）. 又+a b 与c 为函数()3x
f x =的“线性对称点，
所以333b c a b c a ++++=，
所以314
3131313
a b c
a b a b +++==+≤--，
从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题. 3．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z
+为实数m ，则m =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
可设(,)z a bi a b R =+∈，将z i z
+化简，
得到(
2222
a a
b b i a b +
+-+，由复数为实数，可得220a b b +-=，
解方程即可求解 【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈，则
()(
222
2
2
2
222
2
a a
b b i z
a b a bi a b
i i i z a bi a b a b
+
+-+-++=+=+=+++.
由题意有2200a b b a +-=⇒=，所以0m =. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 4．函数
的定义域为（ ）
A ．[，3）∪（3，+∞）
B ．（-∞，3）∪（3，+∞）
C ．[，+∞）
D ．（3，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数
，
解得且；
函数的定义域为, 故选A ．
【点睛】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为
，则
函数
的定义域由不等式
求出.
5．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}
|20B x x x =+<，那么A B U 等于（ ） A ．{}|2x x >- B ．{}1|0x x -<<
C ．{}|1x x >-
D ．{}|12x x -<<
【答案】A 【解析】 【分析】
求出集合B ，然后进行并集的运算即可. 【详解】
∵{}|1A x x =>-，{}|20B x x =-<<， ∴{}|2A B x x =>-U . 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
6．已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
4
3
B ．
53
C ．
54
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得出22b a 的值，进而利用离心率公式e =可求得该双曲线的离心率. 【详解】
双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得2
22416
39
b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
因此，该双曲线的离心率为5
3
c e a ====. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算
能力，属于基础题. 7．已知下列命题：
①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；
②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①②
C ．①③
D ．②④
【答案】B 【解析】 【分析】
由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】
“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；
已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；
“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】
本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 8．下列判断错误的是( )
A ．若随机变量ξ服从正态分布(
)()2
1,,40.78N P σ
ξ≤=，则()20.22P ξ≤-=
B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件
C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
:， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解. 【详解】
对于A 选项，若随机变量ξ服从正态分布(
)()2
1,,40.78N P σ
ξ≤=，根据正态分布曲线的对称性，有
()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，故A 选项正确，不符合题意；
对于B 选项，已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则当//αβ时一定有l m ⊥，充分性成立，而当
l m ⊥时，不一定有//αβ，故必要性不成立，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 选项正
确，不符合题意；
对于C 选项，若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫
⎪⎝⎭
:， 则()114E np ξ==4⨯=，故C 选项正确，
不符合题意；
对于D 选项，am bm >Q ，仅当0m >时有a b >，当0m <时，a b >不成立，故充分性不成立；若a b >，仅当0m >时有am bm >，当0m <时，am bm >不成立，故必要性不成立. 因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确，符合题意. 故选：D 【点睛】
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
9．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则()
R A B ⋂ð等于（ ） A ．[-4,2] B ．[-4,2)
C ．(-4,2)
D ．(0,2)
【答案】D 【解析】 【分析】
求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】
解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}， 则{}|42R A x x =-≤≤ð， ∴()
()0,2R A B =I ð. 故选：D. 【点睛】
本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.
10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．72
B ．64
C ．48
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】
由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
所以几何体的体积为1445443643
V V V =-=⨯⨯-⨯⨯⨯=柱锥，故选B 。

【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。

求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

11．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）
A ．αβγ≥≥
B ．βαγ≥≥
C ．αγβ≥≥
D ．γαβ≥≥
【答案】A 【解析】 【分析】
作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α=?,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可. 【详解】
作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .
因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥, 故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α=?. 又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''
sin '
sin 'DD DD DED DAD DE DA
???.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.
又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故
βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.
故αβγ≥≥
.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.
12．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪
-≤-⎨⎪--≤⎩
，则234x y -+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解． 【详解】
作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1． 故选：C ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在△ABC 中，a ＝3
，b =B ＝2A ，则cosA ＝_____．
【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解． 【详解】
解：∵a ＝3
，b =B ＝2A ， ∴由正弦定理可得：
2a b b sinA sinB sinAcosA
==， ∴
cosA 2b a =
==
．
故答案为3
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题．
14．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为______，
若目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于______. 【答案】2m > 5m = 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z x y =-的最小值，利用数形结合即可得到结论. 【详解】 作出可行域如图，
则要为三角形需满足()1,1B 在直线x y m +=下方，即11m +<，2m >； 目标函数可视为y x z =-，则z 为斜率为1的直线纵截距的相反数， 该直线截距最大在过点A 时，此时min 1z =-，
直线PA ：1y x =+，与AB ：21y x =-的交点为()2,3A ， 该点也在直线AC ：x y m +=上，故235m =+=， 故答案为：2m >；5m =. 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.
15．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02
x
f x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 【答案】,2π⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
构造函数()()cos 2
x
g x f x =-
，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22
x x
f x f x --
=--+
， 令()()cos 2
x
g x f x =-
，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣
⎦，故函数()g x 在R 上单调递减，
则()()()()()cos cos 0022
x x
f x f x f x f x πππ+++≤⇒+-
+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2
x π
≥-
，则x 的取值范围
为,2π⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
. 故答案为：,2π⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
16．已知两个单位向量,a b v v 满足a b a +=v v v
，则向量a v 与b v 的夹角为_____________.
【答案】23
π 【解析】 【分析】
由||||a b a +=r r r 得1
cos ,2
a b 〈〉=-r r ，即得解.
【详解】
由题意可知||||1a b ==r r ，则2||221+=+⋅=r r r r
a b a b .
解得12
a b ⋅=-r r ，所以1cos ,2a b 〈〉=-r r ，
向量a r 与b r 的夹角为
23
π
. 故答案为：23
π
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2
2
x
k f x e x =-
有两个极值点1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：
()()
1212
f x f x k x x +<. 【答案】（1）(),e +∞ （2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）先求得导函数()f x '，根据两个极值点可知()0x
f x e kx '=-=有两个不等实根，构造函数
()x g x e kx =-，求得()g x '；讨论0k ≤和0k >两种情况，即可确定()g x 零点的情况，即可由零点的
情况确定k 的取值范围；
（2）根据极值点定义可知()1110x
f x e kx '=-=，()2220x
f x e kx '=-=，代入不等式化简变形后可知只
需证明122x x +>；构造函数()x x h x e =
，并求得()h x '，进而判断()x x h x e
=的单调区间，由题意可知()()121
h x h x k
==
，并设1201x x <<<，构造函数()()()2x h x h x ϕ=--，并求得()x ϕ'，即可判断()x ϕ在01x <<内的单调性和最值，进而可得()()20h x h x --<，即可由函数性质得()()212h x h x <-，进而由单调性证明
212x x >-，即证明122x x +>，从而证明原不等式成立.
【详解】
（1）函数()22
x
k f x e x =-
则()x
f x e kx '=-，
因为()f x 存在两个极值点1x ，2x ， 所以()0x
f x e kx '=-=有两个不等实根.
设()()x
g x f x e kx '==-，所以()x
g x e k '=-.
①当0k ≤时，()0x
g x e k '=->，
所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意. ②当0k >时，令()0x
g x e k '=-=得ln x k =，
所以()()min ln ln 0g x g k k k k ==-<，即k e >. 又因为()010g =>，()2
0k
g k e k =->，
所以()g x 在区间()0,ln k 和()ln ,k k 上各有一个零点，符合题意，
综上，实数k 的取值范围为(),e +∞.
（2）证明：由题意知()1110x
f x e kx '=-=，()2220x
f x e kx '=-=，
所以11x
e kx =，22x
e kx =.
要证明
()()
1212
f x f x k x x +<， 只需证明
()1222
1212
122222
x x k k e x e x k k x x k x x -
-+=-+<，
只需证明122x x +>.
因为11x
e kx =，22x
e kx =，所以
12
121x x x x e e k
==. 设()x x h x e =
，则()1x
x
h x e -'=， 所以()h x 在(),1-∞上是增函数，在()1,+∞上是减函数. 因为()()121
h x h x k
==
， 不妨设1201x x <<<，
设()()()2x h x h x ϕ=--，01x <<， 则()()()()22111
1+21x x x x x x x h x h x x e e e e ϕ----⎛⎫
'''=-=-=-- ⎪⎝⎭
， 当()0,1x ∈时，10x ->，
211x x
e e ->， 所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,1上是增函数， 所以()()10x ϕϕ<=，
所以()()20h x h x --<，即()()2h x h x <-. 因为()10,1x ∈，所以()()112h x h x <-， 所以()()212h x h x <-.
因为()21,x ∈+∞，()121,x -∈+∞，且()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以212x x >-， 即122x x +>， 所以原命题成立，得证.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题.
18．如图，三棱柱'''ABC A B C -的侧棱'AA 垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，
'
6A A =，M 是棱'CC 的中点.
（1）证明：''AB A M ⊥；
（2）求二面角''A MB A --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）2
3
. 【解析】 【分析】
（1）根据'AA ⊥平面ABC ，四边形''ACC A 是矩形，由M 为'CC 中点，且''6AA CC ==
，利用平
面几何知识，可得''A M AC ⊥，又''B C ⊥平面''ACC A ，所以'''B C A M ⊥，根据线面垂直的判定定理可有'A M ⊥平面''AB C ，从而得证.
（2）分别以CA ，CB ，'CC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得到'
3,0,6A ，6M ⎛ ⎝⎭
，
6'B ⎛ ⎝⎭
，63,0,MA =⎭u u u
r ，分别求得平''MA B 和平面'MAB 的法向量，代入二面角向量公式12
1212cos |cos ,|||||
θ⋅=<>=⋅u r u u r u r u u r u r u u r n n n n n n 求解. 【详解】
（1）证明：∵'AA ⊥平面ABC ， ∴四边形''ACC A 是矩形， ∵M 为'CC 中点，且''6AA CC ==
，
∴6'2
C M =
， ∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，
∴''3AC A
C ==.∴
'''
'''
C M A C A C AA =， ∵''''MC A C A A ∠=∠，∴''MC A ∆与''C A A ∆相似， ∴''''C A M A AC ∠=∠，∴'''90A AC AA M ∠+∠=︒， ∴''A M AC ⊥，
∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面''ACC A ， ∴''B C ⊥平面''ACC A ，
∵'A M ⊂平面''ACC A ，∴'''B C A M ⊥， ∴'A M ⊥平面''AB C ，∴''A M AB ⊥.
（2）如图，
分别以CA ，CB ，'CC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则'3,0,6A ，6M ⎛ ⎝⎭，6'B ⎛ ⎝⎭
，63,0,MA =⎭u u u r 设平面''MA B 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则1'0MA n ⋅=u u u u r u r ，2'0MB n ⋅=u u u u r u u r ，
解得：126
(2n =-
u r
， 同理，平面'MAB 的法向量226
(1)n =-u u r ，
设二面角''A MB A --的大小为θ，
则12121213|
1|
222cos |cos ,|3||||
1313
112222
θ--⋅=<>===⋅++⋅++u r u u r u r u u r
u
r u u r n n n n n n . 即二面角''A MB A --的余弦值为23
. 【点睛】
本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.
19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22sin ()3cos 0B C A +-=. （1）求角A 的大小； （2
）若,4
B a π
=
=c .
【答案】（1）3
π
； （2
【解析】 【分析】
（1）把B C A π+=-代入已知条件，得到关于cos A 的方程，得到cos A 的值，从而得到A 的值. （2）由（1）中得到的A 的值和已知条件，求出sin C ，再根据正弦定理求出边长c . 【详解】
（1）因为A B C π++=，()2
2sin
3cos 0B C A +-=，
所以22sin 3cos 0A A -=，()
2
21cos 3cos 0A A --=， 所以22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=. 因为()cos 1,1A ∈-，所以1cos 2
A =， 因为()0,A π∈，所以3
A π
=
.
（2）()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
12=
=
. 在ABC ∆中，由正弦定理得
sin sin c a
C A
=，
=
c =【点睛】
本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.
20．某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路12,l l ，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道MN ，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路12,l l 和山区边界的直线型公路l ， 以12,l l 所在的直线分别为x 轴，y 轴， 建立平面直角坐标系xOy ， 如图所示， 山区边界曲线为
100
:(0)C y x x
=
>，设公路l 与曲线C 相切于点P ，P 的横坐标为t .
（1）当t 为何值时，公路l 的长度最短?求出最短长度；
（2）当公路l 的长度最短时，设公路l 交x 轴，y 轴分别为A ，B 两点，并测得四边形ABMN 中，
3
BAN π
∠=
，2
3
MBA π∠=
，102AN =153BM =MN 的长度. 【答案】（1）当10t =时，公路l 的长度最短为202（2）51. 【解析】 【分析】
（1）设切点P 的坐标为100,
(0)t t t ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，利用导数的几何意义求出切线l 的方程为
2100100()y x t t t -
=--，根据两点间距离得出2240000
4,0AB t t t
=+>，构造函数22
40000
()4,0g t t t t =+
>，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果； （2）在ABN ∆中，由余弦定理得出106BN =sin sin BN AN
BAN ABN =∠∠，求出
6
ABN π
∠=
，最后根据勾股定理即可求出MN 的长度.
【详解】
（1）由题可知，设点P 的坐标为100,(0)t t t ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
又2100
(0)y x x
'
=-
>， 则直线l 的方程为2100100
()y x t t t
-=--， 由此得直线l 与坐标轴交点为：200(2,0),0,A t B t ⎛⎫
⎪⎝
⎭，
则22400004,0AB t t t =
+
>，故2
2
40000()4,0f t t t t
=+>，
设2
240000()4,0g t t t t =+
>，则3
240000()8g t t t
'
⨯=-. 令()0g t '=，解得t =10.
当(0,10)t ∈时，()0,()'
<g t g t 是减函数； 当(10,)t ∈+∞时，()0,()'>g t g t 是增函数.
所以当10t =时，函数()g t 有极小值，也是最小值，
所以min ()800g t =， 此时min ()f t =
故当10t =时，公路l 的长度最短，最短长度为.
（2） 在ABN ∆中，AN =3
BAN π
∠=
,
所以2222cos BN AB AN AB AN BAN =+-⋅∠，
所以BN = 根据正弦定理
sin sin BN AN BAN ABN =∠∠,
sin
3
=
，
1sin 2
ABN ∴∠=， 6ABN π
∴∠=
，
又2
3
MBA π∠=，
所以2
MBN MBA ABN π
∠=∠-∠=
.
在MBN △中，BM =BN =， 由勾股定理可得222MN BM BN =+，
即222MN =+，
解得，MN =. 【点睛】
本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.
21．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且1
3
AFO π
∠=.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当
1
211
k k k =
-时，直线MN 过定点. 【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）在1Rt AFO ∆中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准
方程；
（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标. 【详解】
（1）在1Rt AFO ∆中，OA b =，11OF c ==
，1AF a =
=，
1
3
AFO π
∠=Q ，16
OAF π
∠=
，1122a AF OF ∴===
，b ∴=
=
因此，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=；
（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y
联立22
143
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()222
4384120k x kmx m +++-=， 且122843km x x k +=-+，2122
412
43m x x k -=+， 1211k k k =
-Q ，1212k k k k ∴=+
，12121212
y y y y x x x x ∴⨯=+，
∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得()
(
)((
)2
2
121
2
2130k k x x k m x x m
-+-++-+=，
化简得(
(2
3m m =，
m ≠Q
，(3m ∴=
，m ∴=，
直线:3MN y kx =++MN
过定点⎛ ⎝. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题. 22．在直角坐标系xOy 中，长为3的线段的两端点A B 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点P 为线段AB 上的点，且满足||2||AP PB =.记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；
（2）若点M N 、为曲线E 上的两个动点，记OM ON m ⋅=u u u u r u u u r
，判断是否存在常数m 使得点O 到直线MN
的距离为定值？若存在，求出常数m 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2214
y x +=（2）存在；常数0m =
【解析】 【分析】
（1）设出,,P A B 的坐标，利用2AP PB =u u u r u u u r
以及3AB =，求得曲线E 的方程.
（2）当直线MN 的斜率存在时，设出直线MN 的方程，求得O 到直线MN 的距离d .联立直线MN 的方
程和曲线E 的方程，写出根与系数关系，结合OM ON m ⋅=u u u u r u u u r
以及d 为定值，求得m 的值.当直线MN 的
斜率不存在时，验证,d m .由此得到存在常数0m =
，且定值5
d =. 【详解】
（1）解析：（1）设(,)P x y ，()0,0A x ，()00,B y 由题可得2AP PB =u u u r u u u r
()0022x x x y y y -=-⎧∴⎨=-⎩，解得00332x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
又||3AB =Q ，即22
009x y +=，
∴消去00,x y 得：2
214
y x +=
（2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx b =+ 设()11,M x y ，()22,N x y
由=OM ON m ⋅u u u u r u u u r
可得：1212x x y y m +=
由点O 到MN
的距离为定值可得d =（d 为常数）即2
221b d k =+ 2214y kx b y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩Q 得：()
2224240k x kbx b +++-= ()()222244440k b k b ∴∆=-+->
即2240k b -+>
12224kb x x k -∴+=+，212244
b x x k -=+ 又()()()22
12121212y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++Q 22121225444
b k m x x y y k --∴+==+ ()()2225414b k m k ∴=+++
()222245411
m k b k k +∴=+++ ()
2224541m k d k +∴=++
d ∴为定值时，0m =
，此时5
d =，且符合>0∆ 当直线MN 的斜率不存在时，设直线方程为x
n = 由题可得254n m =+，0m ∴=
时，n =± 综上可知，存在常数0m =
，且定值d =
【点睛】 本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.
23．在四棱锥P ABCD -中，1,//,,2
AB PA AB CD AB CD PAD ⊥=
△是等边三角形，点M 在棱PC 上，平面PAD ⊥平面ABCD ．
（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；
（2）若AB AD =，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；
（3）设直线AM 与平面PBD 相交于点N ，若
AN PM AM PC =，求AN AM 的值． 【答案】（1）证明见解析（2219（3）12AN AM = 【解析】
【分析】
（1）取AD 中点为O ,连接PO ,由等边三角形性质可得PO AD ⊥,再由面面垂直的性质可得PO DC ⊥,根据平行直线的性质可得CD PA ⊥,进而求证；
（2）以O 为原点,过O 作AB 的平行线OF ,分别以OA ,OF ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设2AB AD ==,由点M 在棱PC 上,可设[](1)(,43(1)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈u u u u r u u u r u u u r ,即可
得到AM u u u u r
,再求得平面PBC 的法向量,进而利用数量积求解； （3）设2,AD DC m ==,AN PM k AM PC ==,则,PM k PC AN k AM ==u u u u r u u u r u u u r u u u u r ,求得AM u u u u r ,AN u u u r ,即可求得点N 的坐标,再由DN u u u r 与平面PBD 的法向量垂直,进而求解.
【详解】
（1）证明:取AD 中点为O ,连接PO ,
因为PAD △是等边三角形,所以PO AD ⊥,
因为PAD ABCD ⊥平面平面且相交于AD ,所以PO ⊥平面ABCD ,所以PO DC ⊥,
因为//,AB CD AB PA ⊥,所以CD PA ⊥,
因为PO PA P =I ,在平面PAD 内,所以CD PAD ⊥平面,
所以PCD PAD ⊥平面平面.
（2）以O 为原点,过O 作AB 的平行线OF ,分别以OA ,OF ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设2AB AD ==,则(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(1,4,0)C -,3)P ,
因为M 在棱PC 上,可设[](1)(,43(1)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈u u u u r u u u r u u u r ,
所以(1,4))AM t t t =---u u u u r
, 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ,
因为(2,2,0),(1,4,BC PC =-=-u u u r u u u r ,
所以00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ,
即22040x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,令1x =,
可得11x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,
即n =r , 设直线AM 与平面PBC 所成角为θ,
所以sin cos ,AM n AM n AM n θ⋅=<>==u u u u r r u u u u r r u u u u r r , 可知当110t =时,sin θ
取最大值. （3）设2,AD DC m ==,
则有(1,,0)P C m -,
得(1,,PC m =-u u u r , 设AN PM k AM PC
==,那么,PM k PC AN k AM ==u u u u r u u u r u u u r u u u u r ,
所以(,,)PM k mk =-u u u u r ,
所以(,))M k mk k --.
因为(1,0,0),(1,))A AM k mk k =---u u u u r
所以
, 22,(,(1))AN k AM AN k k mk k ==---u u u r u u u u r u u u r 因为所以,
所以22(1,(1))N k k mk k --+-. 又因为(1,0,0),1,,02m D B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
,
所以22(2,(1))DN k k mk k =--+-u u u r
, (1,0,2,,02m PD DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
u u u r u u u r ,设平面PDB 的法向量为(,,)m x y z =r , 则00m PD m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ,
即0202x m x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
,x =令
可得1x y m z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
即m m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r 因为N 在平面PDB 内,所以DN m ⊥u u u r r ,所以0DN m ⋅=u u u r r ,
所以222)(1)0k k mk k m --++
+-=,即2210k k +-=, 所以12k =或者1k =-（舍）,即12
AN AM =.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.。