广西南宁市第三中学2019届高三上学期数学(理)周测(2)试题(精品解析)

广西南宁市第三中学2019届高三上学期
数学（理）周测（2）试题
一、选择题（本大题共6小题，共60.0分）
1.已知全集，集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，，或；
；
．
故选：C．
可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．
考查描述法的定义，绝对值不等式和分式不等式的解法，以及交集和补集的运算．
2.使不等式成立的一个必要不充分条件是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：不等式，
即，即，
故“”是“”的一个必要不充分条件，
故选：B．
先求出不等式的解集，结合集合的包含关系判断即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．
3.函数的最大值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由柯西不等式可得
当且仅当，即时，函数取得最大值
故选：D．
函数可化为，利用柯西不等式，即可求得最大值．
本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，考查计算能力，属于中档题．
4.若实数，则的最小值为
A. 1
B.
C.
D. 11
【答案】C
【解析】解：，
，
故的最小值为，
故选：C．
利用柯西不等式进行判断即可．
本题考查用综合法证明不等式、柯西不等式在函数极值中的应用，关键是利用：
．
5.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的
前n项和，则的最小值为
A. 4
B. 3
C.
D. 2
【答案】A
【解析】解：，，成等比数列，，
，
，，
解得．
．
．
，
当且仅当时取等号，此时，且取到最小值4，
故选：A．
，，成等比数列，，可得：，即，，解得可得，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．
本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．
6.已知函数为偶函数，且时，，则关于x的不等式
的解集为
A. B.
C. 或
D.
【答案】D
【解析】解：根据题意，当时，，其导数，则函数在上为增函数，
又由函数为偶函数，则，解可得：，
即不等式的解集为；
故选：D．
根据题意，当时，，求出其导数，分析可得在上为增函数，结合函数的奇偶性可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析的单调性，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共40.0分）
7.将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最
大体积为______
【答案】
【解析】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，
则由题意可得，则．
圆柱的体积为．
则．
圆柱的最大体积为，此时．
故答案为：．
设圆柱的半径为r，高为x，利用三角形相似可得r与x的关系，写出圆柱的体积，再由基本不等式求最值．
本题考查圆柱、圆锥及圆台的体积，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
8.已知不等式的解集为R，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：若的解集为R，
则，
即或，
故答案为：．
根据绝对值的性质得到，求出的范围即可．
本题考查了绝对值的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道基础题．
9.已知，用数学归纳法证明时，
等于______．
【答案】
【解析】解：因为假设时，，
当时，，
，
故答案为．
首先由题目假设时，代入得到，当时，
，由已知化简即可得到结果．
此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目需要同学们对概念理解记忆．
10.设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且若则
面积的最大值为______．
【答案】
【解析】解：，化为：．
，．
．
．．
，可得．
则面积．
故答案为：．
由余弦定理可得，化为：再利用余弦定理可得由可得，可得即可得
出面积的最大值．
本题考查了余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共1小题，共20.0分）
11.已知函数．
当时，求函数的极值点；
若函数在区间上恒有，求实数a的取值范围；
已知，且2，，在的条件下，证明数列是单调递增数列．
【答案】解：时，，则，，，且，
当时，当时，，
所以，函的极大值点，极小值点．
因，，
，
即，
当且仅时等号成立，
；
当时，，
又函当时单调递增，
，
，即时结论成立．
假设时，，则时，
，
，
，即时结论成立由，知数是单调递增数列．
【解析】先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．
因，由，分参数得到：，再利用函数
的最小值即可得出求实数a的取值范围．
本题考查的知识点是数学归纳法，要证明当时，成立，再假设时，成立，进而证明出时，也成立，即可得到对于任意正整数n数列是单调递增数列．
本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的极值、数列与函数的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题．。