届高考数学一轮总复习 第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第3节 二项式定理课件 理 新人教版

的最小值是 3.
答案：D
3．(2015·北京高考)在(2＋x)5 的展开式中，x3 的系数为 ________．(用数字作答)
解析：设通项为 Tr＋1＝Cr525－rxr，令 r＝3，则 x3 的系 数为 C53×22＝10×4＝40. 答案：40
[谨记通法] 求二项展开式中的项的 3 种方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk＋1＝ Cknan－kbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回 通项求解，注意 k 的取值范围(k＝0,1,2，…，n)． (1)第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项，如“题组 练透”第 2 题；
项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A．29
B．210
C．211
D．212
()
解析：由 C3n＝C7n，得 n＝10，故奇数项的二项式系数和为 29. 答案：A
2．(2016·成都一中模拟)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋
a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则 a0＋a1＋a2＋…＋a11 的值
3．二项式系数的性质
性质
内容
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 对称性
Cmn ＝Cnn－m
增减性
当_k_＜__n_＋2__1_时，二项式系数逐渐增大； 当_k_＞__n_＋2__1_时，二项式系数逐渐减小
性质
内容
当 n 是偶数时，中间一项第n2__＋__1项的二项式系
最大值
n
数最大，最大值为
答案：D
考点三 多项式展开式中的特定项或系数问题 常考常新型考点——多角探明
[命题分析] 在高考中，常常涉及一些多项式问题，主要考查学生的化归 能力． 常见的命题角度有： (1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题； (2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题； (3)三项展开式中的特定项(系数)问题．
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变 元”的幂指数为 0 建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立 方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据 上述方法求解．
考点二 二项式系数及项的系数问题 重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
1．(2015·湖北高考)已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二
x)8－r－2
1 4
xr＝－12rCr8x
16- 3 4
r
，
∴r 为 4 的倍数，故 r＝0,4,8 共 3 项．
答案：3
1．二项式的通项易误认为是第 k 项，实质上是第 k＋1 项． 2．(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一
项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项 式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部 分，包含符号，二项式系数仅指 Ckn(k＝0,1，…，n)．
答案：C
[方法归纳] 1．对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的 项，再求和即可． 2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般 都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意 适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 3．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
2．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果 n 是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数 最大； (2)如果 n 是奇数，则中间两项第n＋2 1项与第n＋2 1＋1项 的二项式系数相等并最大．
[即时应用]
1．在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有 x5 的系数最
大，则 n＝
()
A．8
xn 展开式中含有 x2 项，则 n 的最小值
是
()
A．15
B．8
C．7
D．3
解析：注意到二项式1x－x
xn 的展开式的通项是
Tr＋1
＝Crn·1xn－r·(－x
x)r＝Crn·(－1)r·x
5 2
r
n
.令52r－n＝2，即
r
＝2×n5＋2有正整数解；又 2 与 5 互质，
因此 n＋2 必是 5 的倍数，即 n＋2＝5k，n＝5k－2，n
[题点全练]
角度一：几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
1．(2016·荣成模拟)在 1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4
＋(1＋x)5 的展开式中，含 x2 项的系数是
()
A．10
B．15
C．20
D．25
解析：含 x2 项的系数为 C22＋C23＋C24＋C25＝20. 答案：C
[小题体验] 1．(教材习题改编)(x＋2)8 的展开式中 x6 的系数是 ( )
A．28
B．56
C．112
D．224
解析：通项为 Tr＋1＝Cr8x8－r2r＝2rCr8x8－r，令 8－r＝6， 得 r＝2，即 T3＝22C28x6＝112x6，所以 x6 的系数是 112. 答案：C
2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋
①
令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.
②
①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
答案：3
角度三：三项展开式中特定项(系数)问题
3．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为 ( )
A．10
B．20
C．30
D．60
解析：法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
C
2 n
；当
n
是奇数时，中间两
项 第_n_2-_1_＋__1_项和第_n_2+_1_＋__1_项 的 二 项 式 系 数
n-1
n+1
相等，且同时取得最大值，最大值为
C
2 n
或
Cn2
4．各二项式系数的和 (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 _C_0n_＋__C_1n_＋__C__2n＋__…__＋__C__kn_＋__…__＋__C_nn_＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项 的二项式系数的和，即 C1n＋C3n＋Cn5＋…＝C0n＋C2n＋ C4n＋…＝ 2n－1 .
B．9
C．10
D．11
n
解析：二项式中仅
x5
项系数最大，其最大值必为
C
2 n
，
即得n2＝5，解得 n＝10.
答案：C
2．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且 a1＋a2＋…＋
a6＝63，则实数 m 的值为
()
A．1 或 3
B．－3
C．1
D．1 或－3
解析：令 x＝0，得 a0＝(1＋0)6＝1.令 x＝1，得(1＋m)6 ＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又 a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1 ＋m)6＝64＝26，∴m＝1 或 m＝－3.
第三节
二项式定理
1．二项式定理 (1)定理
公式(a＋b)n＝C0nan＋Cn1 an－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋C__nn_b_n (n ∈N*)叫做二项式定理． (2)通项 Tk＋1＝C__kn_a_n－_k_b_k为展开式的第 k＋1 项．
2．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数
二项展开式中各项的系数 Ckn(k∈{0,1，…，n})叫做二项 式系数． (2)项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二 项式系数是两个不同的概念．
[小题纠偏]
1．(1＋3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数
相等，则 n＝
()
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：(1＋3x)n 的展开式中含 x5 的项为 C5n(3x)5＝C5n 35x5，展开式中含 x6 的项为 C6n36x6.由两项的系数相等 得 C5n·35＝C6n·36，解得 n＝7. 答案：B
[题组练透]
1．二项式
x＋x2210 的展开式中的常数项是
A．180
B．90
()
C．45
D．360
解析：
x＋x2210 的展开式的通项为 Tk＋1＝C1k0·( x)10－kx22k＝
2kCk10x 5
5k 2
，令
5－52k＝0，得
k＝2，故常数项为
22C120＝180.
答案：A
2．(易错题)若1x－x
a1 的值为
()
A．1
B．129
C．128
D．127
解析：令 x＝1 得 a0＋a1＋…＋a7＝27＝128；令 x＝0 得 a0＝(－1)7＝－1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.
答案：B
3．(教材习题改编)
x－ 1 24
8 x
的展开式中的有理项共有
________项．
解析：∵Tr＋1＝Cr8(
2．若二项式
x－2xn 展开式中的第 5 项是常数，则自然数
n 的值为
()
A．6
B．10
C．12Βιβλιοθήκη D．15解析：由二项式
x－2xn 展开式的第 5 项 C4n(
x)n－4－2x4
＝16Cn4x
n 2
6
是常数项，可得n2－6＝0，解得
n＝12.
答案：C
考点一 二项展开式中特定项或系数问题 基础送分型考点——自主练透
为
()
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：令等式中 x＝－1 可得 a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1 ＋1)(－1)9＝－2，故选 A. 答案：A
[由题悟法] 1．赋值法研究二项式的系数和问题 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对 形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的 各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax ＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x ＝y＝1 即可．
含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5.
所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30，故选 C. 法二：(x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有两个取 y，两个
取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C11＝30，故选 C.
角度二：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 2．(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项
的系数之和为 32，则 a＝________.
解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令 x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.