高考数学 试题分项专题17 几何证明选讲 理 选修4 试题

2021最新题库大全2021-2021年数学〔理〕高考试题分项专题17 几
何证明选讲〔选修4系列〕
创作人：荧多莘日期：二O二二年1月17日
一、选择题:
1.(2021年高考卷理科5)如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点
E.那么( )
A. CE·CB=AD·DB
B. C E·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD ²·EB=CD ²
二、填空题:
1.(2021年高考卷理科15)〔几何证明选讲选做题〕如图
3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠
ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，
那么PA=_______.
.
3. (2021年高考卷理科15)〔选修4-1：几何证明选讲〕
如图，点D在⊙O的弦AB上挪动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，那么CD的最大值为_____________.
4. (2021年高考卷理科11)如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.假设PA=1，AB=2，PO=3，那么圆O的半径等于_______.
5．(2021年高考卷理科15)B ．〔几何证明选做题〕如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，假设6AB =，1AE =，那么DF DB ⋅= ．
三、解答题:
1. 〔2021年高考卷21〕A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]〔本小题满分是10分〕
如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长
至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠．
2.(2021年高考卷理科22) (本小题满分是10分)
选修4-1：几何证明选讲
O相交于,A B两点，过A作两圆的切如图，⊙O和⊙/
线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明
⋅=⋅；
(Ⅰ)AC BD AD AB
=。

(Ⅱ) AC AE
3.(2021年高考新课标全国卷理科22)〔本小题满分是10分〕选修4-1：几何证明选讲 如图，,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点，直线DE 交
ABC ∆的外接圆于,F G 两点，假设//CF AB ，证明：
〔1〕CD BC =； 〔2〕BCD
GBD ∆∆
一、选择题:
1．(2021年高考卷理科5)如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ， 延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出以下三个结论： ①A D+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
【答案】A
【解析】由切线长定理得AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以AB+BC+CA=AB+BD+CE =AD+AE ，故①正确； 由切割线定理知，2
AD = AF·AG，故②正确，所以选A. 二、填空题:
1. (2021年高考卷理科12)如图,圆中两条弦AB 与CD 相交于点F,E 是AB 延长线上一点,且DF=CF=2,AF:FB:BE=4:2:1.假设CE 与圆相切,那么线段CE 的长为 .
【答案】
7
2
【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,那么由相交弦定理得:2
DF AF FB =⋅, 即2
82x =,即2
14x =
,由切割线定理得:2
CE EB EA =⋅=2774
x =,所以7
2
CE =
. 2. (2021年高考卷理科11)如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径
BC=4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，那么的AF 长为 .
答案：
3
3
2 解析：如图2中，连接EC ，AB,OB ,由A,E 是半圆周上的两个三等分点可知：∠EBC=30°,
且⊿ABO 是正三角形，所以EC=2,BE=32,BD=1,且AF=BF=332.故填3
3
2
评析：本小题主要考察平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用.
3. (2021年高考卷理科15)〔几何证明选讲选做题〕如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交
圆于,A B 。

且7PB =，
C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，那么AB = .
【答案】.35 【
解
析
】
由
题
得
PAB
ACB PAB ∆∴∠=∠～
355
7=∴=∴=∴
∆AB AB
AB BC AB AB PB ABC 4．(2021年高考卷理科15)〔几何证明选做题〕如图,,B D AE BC ∠=∠⊥
090,6,4,ACD AB AC ∠===且12,AD BE ==则
【答案】42 【解析】：
090,12,4ACD AD AC ∠===
22CD AD AC ∴=-2212482=-=
又Rt ABE Rt ADC ≅所以
AB BE
AD DC =
，即6824212
AB DC BE AD ⨯⨯=== 三、解答题:
1．(2021年高考卷理科22)〔本小题满分是10分〕选修4-1：几何证明选讲
如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC=ED.
〔I 〕证明：CD//AB ；
〔II 〕延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF=EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点一共圆.
2. (2021年高考全国新课标卷理科22)〔本小题满分是10分〕 选修4-1几何证明选讲 如图，D ，E 分别是AB,AC 边上的点，且不与顶点重合，AB AD n AC m AE ,,,== 为方程0142
=+-mn x x 的两根， （1） 证明 C,B,D,E 四点一共圆；
（2） 假设6,4,90==︒=∠n m A ，求C,B,D,E 四点所在圆的半径。

分析：〔1〕按照四点一共圆的条件证明；〔2〕运用相似三角形与圆、
四边形、方程的性质及关系计算。

第22题图
C
D
E
解：〔Ⅰ〕如图，连接DE ，依题意在ACB ADE ∆∆,中，
点评：此题考察平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。

注意把握断定与性质的作用。

3.(2021年高考卷21)选修4-1：几何证明选讲〔本小题满分是10分〕
如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，
圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C 〔1O 不在AB 上〕， 求证：:AB AC 为定值。

解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的断定及其性质，容易题。

证明：由弦切角定理可得11
212,O B r AB AO C AO B AC O C r
∴
==
21-A 第图
B.〔几何证明选做题〕如图，Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，那么BD ＝ cm. 【答案】
165
解析：AB CD ⊥ ,由直角三角形射影定理可得
5
16
BD 5,BA 4,BC ,2=
==⋅=所以又BA BD BC 3.〔2021理〕〔12〕如图，
O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。

假设BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,那么DE ＝ ；CE ＝ 。

【答案】5 27
4.〔2021文〕〔11〕如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。

假设PB=1，PD=3，那么BC
AD
的值是 。

【答案】
13
【解析】此题主要考察四点一共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。

因
为
A,B,C,D
四
点
一
共
圆
，
所
以
,DAB PCB CDA PBC ∠=∠∠=∠,因为P ∠为公一共角，
所以
⊿PBC ∽⊿PAB,所以
=
BC PB AD PD =1
3
【温馨提示】四点一共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考察的热点。

5.〔2021理〕〔14〕如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，假设
PB 1PC 1=,=PA 2PD 3,那么BC
AD
的值是 。

【答案】
66
【解析】此题主要考察四点一共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。

因为A,B,C,D 四点一共圆，所以,DAB PCB CDA PBC ∠=∠∠=∠,因为P ∠为公一共角，所以
⊿PBC ∽⊿PAB,所以
PB PC BC PD PA AD ==.设OB=x ，PC=y ，那么有6322
x y y
x y x =⇒=
，所以636
BC x AD y ==
8.〔2021理〕14、〔几何证明选讲选做题〕如图3，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=23
a
，∠OAP=30°，那么CP ＝______.
10.〔2021文〕14.〔几何证明选讲选做题〕如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB,CB AB ⊥,AB=AD=a ,CD=
2
a , 点E,F 分别为线段AB,AD 的中点，那么EF= 【答案】
2
a 解：连结DE ，可知AED ∆为直角三角形。

那么EF 是DEA Rt ∆斜边上的中线，等于斜边的一半，为
2
a
. 1.〔2021理〕〔22〕〔本小题满分是10分〕选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E 〔I 〕证明：ABE
∆ADC ∆
〔II 〕假设ABC ∆的面积AE AD S ⋅=2
1
，求BAC ∠的大小。

证明：
〔Ⅰ〕由条件，可得BAE CAD ∠=∠
因为AEB ACB ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠= 故△ABE∽△ADC . ……5分
〔Ⅱ〕因为△ABE∽△ADC，所以
AB AD
AE AC
=
，即AB ·AC=AD ·AE. 又S=12AB ·ACsin BAC ∠，且S=1
2
AD ·AE ，故AB ·ACsin BAC ∠= AD ·AE.
那么sin BAC ∠=1，又BAC ∠为三角形内角，所以BAC ∠=90°. ……10分
A ． 选修4-1：几何证明选讲 〔本小题满分是10分〕
AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，假设DA=DC ，求证：AB=2BC 。

[解析] 此题主要考察三角形、圆的有关知识，考察推理论证才能。

〔方法一〕证明：连结OD ，那么：OD ⊥DC ， 又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ， 所以∠DCO=300
，∠DOC=600
，
所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC 。

B
O
D
2、(09理15) (几何证明选讲选做题)如图3，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB=4，
30ACB ∠=，那么圆O 的面积等于 .
图3
5、〔0922〕本小题满分是10分〕选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，0
60B ∠=，F 在AC 上， 且AE AF =。

〔Ⅰ〕证明：B,D,H,E 四点一共圆： 〔Ⅱ〕证明：CE 平分DEF ∠。

解：〔Ⅰ〕在△ABC 中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD ，CE 是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B,D,H,E四点一共圆.
〔Ⅱ〕连结BH,那么BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°
由〔Ⅰ〕知B,D,H,E四点一共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°.
所以CE平分∠DEF.
8、〔09〕A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
【解析】本小题主要考察四边形、全等三角形的有关知识，考察推理论证才能。

满分是10分。

证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点一共圆，从而∠CBA=∠CDB。

再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。

因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。

9、〔09理22〕〔本小题满分是10分〕选修4－1：几何证明讲
∆ABC 中，AB=AC, D是∆ABC外接圆劣弧AC上
的点〔不与点A,C重合〕，延长BD至E。

(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；
(2)假设∠BAC=30，∆ABC 中BC 边上的高为2+3，求∆ABC 外接圆的面积。

解〔Ⅰ〕如图，设F 为AD 延长线上一点 ∵A ，B ，C ，D 四点一共圆， ∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD 的延长线平分∠CDE.
〔Ⅱ〕设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H,那么AH ⊥BC. 连接OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=150
, ∠ACB=750
, ∴∠OCH=600
. 设圆半径为r,那么r+
2
3
r=2+3,a 得r=2,外接圆的面积为4π。

3．〔2021理〕〔几何证明选讲选做题〕PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，那么圆O 的半径R = ． 答案 3
4.〔2021宁夏理〕〔10分〕选修4－1：几何证明选讲
如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ， 过A 作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P. 〔1〕证明：OM ·OP = OA 2
；
〔2〕N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，
交直线ON 于K.证明：∠OKM = 90°.
7.〔2021〕A.选修4-1：几何证明选讲
如下图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线
交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2=EC·EB.。