信息安全导论5密码学数学基础
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算术基本定理：
任何一个不等于0的正整数a都可以写成唯一的表达
式
a
P P a1 a2 12
中αi>0整数。
P at t
，这里P1>P2>P3…>Pt是素数，其Leabharlann 2019/9/1510
目前没有可用于整数分解的有效算法。
对于整数a,b(a,b≥2)，a,b的素数分解式分别为：
a
P e1 1
P e2 2
2019/9/15
8
带余除法
带余除法：
a∈Z, m>0，可找出两个唯一确定的整数q和r使a=qm+r, 0≤r< m。 (若r=0则m∣a） q和r这两个数分别称为以m去除a所得到的商数和余数.记： q=a div m或[a/m], r =a mod m。
存在x,y，gcd(a,b)＝ax+by 如果a=qb+r,则gcd(a,b)=gcd(b,r).
信息安全导论
第五讲 密码学技术中的数学基础
华中科技大学图象所 信息安全研究室 Dr. Zuxi Wang
2019/9/15
1
密码学是研究密码系统或通信安全的一门学科， 分为密码编码学和密码分析学。
密码编码学是使得消息保密的学科，从事此行的 称为密码编码者。
密码分析学（密码破译学）是研究加密消息的破 译的学科，从事此行的称为密码分析者。精于此 道的人被称为密码学家，现代的密码学家通常是 理论数学家。
2019/9/15
2
密码学是一门交叉学科，它很大程度上是应用数 学学科。
密码学中涉及数论、代数、概率论、组合数学、 计算复杂理论等多种数学知识。
还涉及信息论学科知识。
密码学所涉及的知识十分广阔，这里仅介绍部分 数学基本知识。
2019/9/15
3
数论基础
素数 同余、模运算 中国剩余定理 Euclean算法 Fermat定理、Euler定理 素性检验 因子分解 离散对数
（mod m）是指m∣(a－b), m称为模数。
note: if a=0 mod m, then m|a
2019/9/15
12
1、模关系：相对于某个固定模数m的同余关系，是指整数 间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质：
自反性：对任意整数a，有a≡a（mod m）
对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a（mod m）
2019/9/15
6
互素与最大公约数
最大公约数（最大公因子）：
若a,b,c∈Z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正 整数d称为a和b的最大公约数(记d=gcd(a,b)或(a,b)) ，如 果它满足:
d是a和b的公约数。 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。
等价的定义形式是：
gcd(a,b)=max{k: k∣a，k∣b} 若gcd(a,b)=1，称a与b是互素的。
2019/9/15
4
整除、素数
记整数集合Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} 整除
设a,b∈Z，a≠0，如果存在m∈Z，使得b=ma，则称a整 除b，以a|b表示，a是b的一个因子或约数。 如果没有任何m，使得b=ma，则称a不能整除b,记a†b， 此时有a=mb+r且0<r<b。
素数(质数)
gcd(a/gcd(a,b),b/gcd(a,b))=1
2019/9/15
9
算术基本定理
下面关于素数的事实均成立
如果p是一个素数，并且p|ab，则有p|a或p|b； 素数有无穷多个；
素数定理:记π(x)为不大于x的素数的个数，则有
lim (x) /(x ln x)=1
x
它表明，对于充分大的x，可以用xlnx近似地表示π(x)。
2019/9/15
13
Modulo 7 Example
... -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0123456 7 8 9 10 11 12 13
2019/9/15
11
整数同余式和同余方程
带余除法中，a∈Z，m>0，a=qm+r， 0≤r< m，r为 a除以m的余数或剩余(Residue)，m称为模数，所以 称r为a模正整数m的剩余，记r≡a mod m m∣(a-b)a=q1m+r,b=q2m+r。即a和b分别 除以m有 相同的余数
同余称整数a模正整数m同余(数)于整数b，并写a≡b
传递性：若a≡b (mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)
全体整数集合Z可按模m（m>1）分成一些两两不交的等 价类（剩余类）。
2、整数模m同余类共有m个，他们分别为mk+0,mk+1, mk+ 2,…mk+(m-1); k∈z，每一个算一类，每一类都可以选一个 代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称[0], [1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。其中与m互素的剩余类 构成模m的简约剩余系。Z模12的标准完全剩余系为：[0], [1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]
2019/9/15
7
最小公倍数
最小公倍数
a,b的倍数中最小者称为a,b的最小公倍数，记为：lcm(a,b) a,b不全为0，有ab=gcd(a,b)·lcm(a,b).
注意：对有限个整数a1,a2,…,an,也可定义最大公约数g cd(a1,a2,…,an)和最小公倍数lcm(a1,a2,…,an).
整数p>1被称为素数是指p的因子仅有1，-1，p，-p。 否则，称为合数。
2019/9/15
5
整除基本性质 a|a; b≠0，b | 0;
If a|b,b|c,then a|c;
if a|1, then a=±1; if a|b, and b|a,then a=±b; if b|g and b|h, then b|(mg+nh),for any integers m and n 注意: if a=0 mod n, then n|a
P et t
，b
P f1 1
P f2 2
Pt ft，其中ei，fi≥0,t≥i≥1，则有：
gcd(a, b)=
P P min(e1 ,f1 ) min(e2 ,f2 )
1
2
Pmin(et ,ft ) t
lcm(a, b)=
P P max(e1 ,f1 ) max(e2 ,f2 )
1
2
P max(et ,ft ) t
任何一个不等于0的正整数a都可以写成唯一的表达
式
a
P P a1 a2 12
中αi>0整数。
P at t
，这里P1>P2>P3…>Pt是素数，其Leabharlann 2019/9/1510
目前没有可用于整数分解的有效算法。
对于整数a,b(a,b≥2)，a,b的素数分解式分别为：
a
P e1 1
P e2 2
2019/9/15
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带余除法
带余除法：
a∈Z, m>0，可找出两个唯一确定的整数q和r使a=qm+r, 0≤r< m。 (若r=0则m∣a） q和r这两个数分别称为以m去除a所得到的商数和余数.记： q=a div m或[a/m], r =a mod m。
存在x,y，gcd(a,b)＝ax+by 如果a=qb+r,则gcd(a,b)=gcd(b,r).
信息安全导论
第五讲 密码学技术中的数学基础
华中科技大学图象所 信息安全研究室 Dr. Zuxi Wang
2019/9/15
1
密码学是研究密码系统或通信安全的一门学科， 分为密码编码学和密码分析学。
密码编码学是使得消息保密的学科，从事此行的 称为密码编码者。
密码分析学（密码破译学）是研究加密消息的破 译的学科，从事此行的称为密码分析者。精于此 道的人被称为密码学家，现代的密码学家通常是 理论数学家。
2019/9/15
2
密码学是一门交叉学科，它很大程度上是应用数 学学科。
密码学中涉及数论、代数、概率论、组合数学、 计算复杂理论等多种数学知识。
还涉及信息论学科知识。
密码学所涉及的知识十分广阔，这里仅介绍部分 数学基本知识。
2019/9/15
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数论基础
素数 同余、模运算 中国剩余定理 Euclean算法 Fermat定理、Euler定理 素性检验 因子分解 离散对数
（mod m）是指m∣(a－b), m称为模数。
note: if a=0 mod m, then m|a
2019/9/15
12
1、模关系：相对于某个固定模数m的同余关系，是指整数 间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质：
自反性：对任意整数a，有a≡a（mod m）
对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a（mod m）
2019/9/15
6
互素与最大公约数
最大公约数（最大公因子）：
若a,b,c∈Z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正 整数d称为a和b的最大公约数(记d=gcd(a,b)或(a,b)) ，如 果它满足:
d是a和b的公约数。 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。
等价的定义形式是：
gcd(a,b)=max{k: k∣a，k∣b} 若gcd(a,b)=1，称a与b是互素的。
2019/9/15
4
整除、素数
记整数集合Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} 整除
设a,b∈Z，a≠0，如果存在m∈Z，使得b=ma，则称a整 除b，以a|b表示，a是b的一个因子或约数。 如果没有任何m，使得b=ma，则称a不能整除b,记a†b， 此时有a=mb+r且0<r<b。
素数(质数)
gcd(a/gcd(a,b),b/gcd(a,b))=1
2019/9/15
9
算术基本定理
下面关于素数的事实均成立
如果p是一个素数，并且p|ab，则有p|a或p|b； 素数有无穷多个；
素数定理:记π(x)为不大于x的素数的个数，则有
lim (x) /(x ln x)=1
x
它表明，对于充分大的x，可以用xlnx近似地表示π(x)。
2019/9/15
13
Modulo 7 Example
... -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0123456 7 8 9 10 11 12 13
2019/9/15
11
整数同余式和同余方程
带余除法中，a∈Z，m>0，a=qm+r， 0≤r< m，r为 a除以m的余数或剩余(Residue)，m称为模数，所以 称r为a模正整数m的剩余，记r≡a mod m m∣(a-b)a=q1m+r,b=q2m+r。即a和b分别 除以m有 相同的余数
同余称整数a模正整数m同余(数)于整数b，并写a≡b
传递性：若a≡b (mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)
全体整数集合Z可按模m（m>1）分成一些两两不交的等 价类（剩余类）。
2、整数模m同余类共有m个，他们分别为mk+0,mk+1, mk+ 2,…mk+(m-1); k∈z，每一个算一类，每一类都可以选一个 代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称[0], [1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。其中与m互素的剩余类 构成模m的简约剩余系。Z模12的标准完全剩余系为：[0], [1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]
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7
最小公倍数
最小公倍数
a,b的倍数中最小者称为a,b的最小公倍数，记为：lcm(a,b) a,b不全为0，有ab=gcd(a,b)·lcm(a,b).
注意：对有限个整数a1,a2,…,an,也可定义最大公约数g cd(a1,a2,…,an)和最小公倍数lcm(a1,a2,…,an).
整数p>1被称为素数是指p的因子仅有1，-1，p，-p。 否则，称为合数。
2019/9/15
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整除基本性质 a|a; b≠0，b | 0;
If a|b,b|c,then a|c;
if a|1, then a=±1; if a|b, and b|a,then a=±b; if b|g and b|h, then b|(mg+nh),for any integers m and n 注意: if a=0 mod n, then n|a
P et t
，b
P f1 1
P f2 2
Pt ft，其中ei，fi≥0,t≥i≥1，则有：
gcd(a, b)=
P P min(e1 ,f1 ) min(e2 ,f2 )
1
2
Pmin(et ,ft ) t
lcm(a, b)=
P P max(e1 ,f1 ) max(e2 ,f2 )
1
2
P max(et ,ft ) t