山东省潍坊市昌乐及第中学高二数学理期末试题含解析

山东省潍坊市昌乐及第中学高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是（）
A. B. 或
C. D. 或
参考答案：
D
2. 在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n==120，再求出乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数
m=++=36，由此能求出乙、丙都不与甲相邻出场的概率．
【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，
赛前用抽签的方法决定出场的顺序，
基本事件总数n==120，
乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数
m=++=36，
∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率p==．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
3. 抛物线上一点P到轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4
B.6
C.8
D.12
参考答案：
B
略
4. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
该试验所有基本事件(a，b)可在平面直角坐标系中表示出来如下图．
易知所有基本事件有5×3＝15个，记“b>a”为事件A，则事件A所含基本事件有3个．∴P(A)＝＝，故选D.
5. 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】直线与圆．
【分析】把a=1代入可得直线的方程，易判平行；而由平行的条件可得a的值，进而由充要条件的判断可得答案．
【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；
而由两直线平行可得： a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，
故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：
“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．
故选B
【点评】本题为充要条件的判断，涉及直线的平行的判定，属基础题．
6. 动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）
A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线
参考答案：
D
【考点】轨迹方程．
【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．
【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，
点P的轨迹为一条射线
故选D．
7. 对于两个变量进行回归分析时，分别选择了4个模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（）
A 模型1，相关指数为0.89
B 模型2，相关指数为0.98
C 模型3，相关指数为0.09
D 模型4，相关指数为0.50
参考答案：
B
8. 若函数满足：，则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案：B
9. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是( )
A．①B．②C．③D．④
参考答案：
C
考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．
专题：证明题．
分析：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．
解答：解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC ．
∴BD⊥AC，故①正确．
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．
∴AC=a．
∴△ACD 为等边三角形，故②正确．
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z 轴建立直角坐标系，
则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0）．=（0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a，0）．
cos＜，＞==
∴＜，＞=60°，故④正确．
故选C
点评：本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键
10. 极点到直线的距离是 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某单位有技术工人36人，技术员24人，行政人员12人，现需从中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样或分层抽样，都不需要剔除个体，如果样本容量为n+1，则在系统抽样时，需从总体中剔除2个个体，则n=_________。

参考答案：
6
12. 若，则不等式的最大值为________.
参考答案：
提示：原式乘以,展开，再利用基本不等式可得。

13. 用秦九韶算法计算多项式当时的值为 _________。

参考答案：
14. 直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN=2，则实数k
的值是．参考答案：
0或
略
15. 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人，现采用分层抽样（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核.则抽取的4名工人中恰有两名男工人的概率为▲；
参考答案：
本题考查分层抽样，简单随机抽样，古典概率.中档题.计算得.
略
16. 已知，，则 .
参考答案：
17. 已知为中边的中点，若，则；
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线
相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，以表示
的圆心，已知为递增数列.
（1）证明为等比数列（提示：，其中为直线的倾斜角）；
（2）设，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数恒有不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（1）证明：依题意可知，则
所以，得；得
又圆都与圆相互外切，所以，从而可得
故数列为等比数列，公比为3.--------- 5分
（2）由于，故，从而
------①
-------②
由①-②得=
----------------------------10分（3）由（2）可知可化为，即
要使对任意的正整数恒有不等式成立，只需
令，则函数在为单调递减函数.又
当时，=
--------------------14分
略
19. 已知函数在及处取得极值．
(1)求、的值；(2)求的单调区间.
参考答案：
略
20. (本小题满分14分) 已知函数f（x）=x2（x－a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1 ,f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b =0，不等式1nx +1≥0对任意的恒成立，求a的取值范围.参考答案：
6分
14分
21. 己知函数
(I)若在定义域上单调递增，求实数a取值范围；
( II)若函数有唯一零点，试求实数a的取值范围，
参考答案：
22. 如图1，在Rt△ABC中，∠C，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将
△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．
（2）求证：A1F⊥BE；
（3）线段A1B上是否存在点Q，
使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
略。