湖南省怀化市第三中学2019年中考数学模拟试题(含解析)

2019年湖南省怀化市第三中学中考数学模拟试题（提优版）
一、单项选择题（每小题3分，共36分）
1．下列各式运算结果为x8的是（）
A．x4•x4B．（x4）4C．x16÷x2D．x4+x4
2．下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．不等式组的整数解的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
4．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是1，那么m的值等于（）A．10B．4C．5D．6
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C＝60°，如果⊙O 的半径为2，则结论错误的是（）
A．AD＝DB B．C．OD＝1D．AB＝
6．下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是（）
A．B．
C．D．
7．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2 8．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
9．如图是关于x的函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则不等式kx+b≤0的解集在数轴上可表示为（）
A．B．
C．D．
10．如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下列结论不一定成立的是（）
A．AD＝BC′B．∠EBD＝∠EDB
C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE＝
11．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进
的路程s（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（）
A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/h
C．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h
12．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中四边形ACED的面积为（）
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．无法确定
二、填空题（每小题3分，共36分）
13．地球距离月球表面约为384 000千米，将这个距离用科学记数法（保留两个有效数字）表示应为千米．
14．在函数中，自变量x的取值范围是．
15．分解因式：2m2n﹣8n3＝．
16．当x＝﹣3时，代数式2x2+的值是．
17．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝2，求AB的长．
18．某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润．若该商品标价为28元，则商品的进价为．
19．一个圆锥形的圣诞帽高为10cm，母线长为15cm，则圣诞帽的侧面积为cm2（结果保留π）．
20．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x+4，x、y为整数，写出一个符合上述条件
的点P的坐标．
21．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成，根据下图所反映的规律，猜想第n个图形中火柴棒的根数是（n是正整数且n≥1）．
22．如图，⊙O的半径为3，OA＝6，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连接AC，图中阴影部分的面积为．
23．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是．
24．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN 的周长为．
三、解答题（其中第25～27题各8分，第28～29题各10分，第30题16分，第31题18分，共78分）
25．如图，已知⊙O的半径为R，AB是⊙O的直径，C是的中点，动点M在上运动（不与B、C重合），AM交OC于点P，OM与PB交于点N．
（1）求证：AP•AM是定值；
（2）请添加一个条件（要求添加的条件是图中两条线段或多条线段之间的数量关系），使OM⊥PB．并加以证明．
26．在箱子中有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，试求x+y是10的倍数的概率．
27．请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x＝，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长，于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）
28．一服装经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款服装共60套，每款服装至少要购进8套，且恰好用完购服装款61000元．设购进A型服装x套，B型服装y套，三款服装的进价和预售价如下表：
（1）如果所购进的A型服装与B型服装的费用不超过39000元，购进B型服装与C型服装的费用不超过34000元，那么购进三款服装各多少套？
（2）假设所购进服装全部售出，综合考虑各种因素，该服装经销商在购进这批服装过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求出预估利润P（元）与x（套）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额﹣购服
装款﹣各种费用）
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款服装各多少套．
29．已知：在锐角△ABC中，AB＝AC．D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED＝∠BAC＝2∠DEC，连接CE．
（1）求证：∠ABE＝∠DAC；
（2）若∠BAC＝60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BAC＝α，那么（2）中的结论是否还成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
30．问题：在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y ＝x﹣1于点C．过点A作y轴的平行线交直线y＝x﹣1于点D．点E为线段AD上一点，且tan∠DCE＝．点P从原点O出发沿OA边向点A匀速移动，同时，点Q从B点出发沿BO边向原点O匀速移动，点P与点Q同时到达A点和O点，设BQ＝m．
（1）求点E的坐标；
（2）在整个移动过程中，是否存在这样的实数m，使得△PQD为直角三角形？若存在这样的实数m，求m的值；若不存在，请说明理由；
（3）函数y＝经过点C，R为y＝上一点，在整个移动过程中，若以P、Q、E、R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．
要求：①解答上面问题；
②根据你对上面问题的解答，任意选择其中一问，说出你的主要解题思路．
31．习题改编．
原题：梯形ABCD，AD∥BC，∠B＝90°，∠DCB＝60°，BC＝4，AD＝2，△PMN，PM＝MN＝NP＝a，BC与MN在一直线上，NC＝6，将梯形ABCD向左翻折180°．（1）向左翻折二次，a≥2时，求两图形重叠部分的面积；
（2）向左翻折三次，重叠部分的面积等于梯形ABCD的面积，a的值至少应为多少？
（3）向左翻折三次，重叠部分的面积恰好等于梯形ABCD的面积的一半，求a的值．
参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共36分）
1．【解答】解：A、x4•x4＝x8，故选项A正确；
B、（x4）4＝x16，故选项B错误；
C、x16÷x2＝x14，故选项C错误；
D、x4+x4＝2x4，故选项D错误；
故选：A．
2．【解答】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形；
B是轴对称图形，也是中心对称图形；
C和D是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
3．【解答】解：由①得x＞﹣，
由②得x＜，
所以不等式组的解集为﹣＜x，
则不等式组的整数解是﹣1，0，1，共3个．
故选：C．
4．【解答】解：原式可化为：y＝（x﹣3）2﹣9+m，
∵函数的最小值是1，
∴﹣9+m＝1，
m＝10．
故选：A．
5．【解答】解：连接OA，OB．
∵OD⊥AB，
∴由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD＝BD，∠AOD＝∠BOD＝∠C＝60°．
∴AD＝AO sin60°＝，OD＝OA sin∠AOD＝OA sin60°＝1．
∴AB＝2．
∴A，B，C均正确，D错误．
故选：D．
6．【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项A，C与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B．故选：B．
7．【解答】解：k＜0，函数图象如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
8．【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选：C．
9．【解答】解：函数y＝kx+b（k≠0）的图象，与x轴的交点是（2，0），且函数值y随自变量x的增大而增大，
∴不等式kx+b≤0的解集是x≤2．
故选：B．
10．【解答】解：A、BC＝BC′，AD＝BC，∴AD＝BC′，所以正确．
B、∠CBD＝∠EDB，∠CBD＝∠EBD，∴∠EBD＝∠EDB正确．
D、∵sin∠ABE＝，
∴∠EBD＝∠EDB
∴BE＝DE
∴sin∠ABE＝．
故选：C．
11．【解答】解：由图可知，甲用4小时走完全程20km，可得速度为5km/h；
乙比甲晚出发一小时，用1小时走完全程，可得速度为20km/h．
故选：C．
12．【解答】解：根据题意，△ABC沿着BC方向平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
又平移距离是边BC长的两倍，即BE＝2BC＝2CE，
连接AE，
∴S△ABC＝S△ACE，即S△ABE＝2S△ABC，
又S△ABE＝S△ADE，又S△ABC＝12cm2，
∴S四边形ACED＝3S△ABC＝36cm2．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共36分）
13．【解答】解：384 000千米＝3.84×105千米≈3.8×105千米．
14．【解答】解：根据题意得：x﹣5＞0，
解得x＞5．
15．【解答】解：2m2n﹣8n3＝2n（m2﹣4n2）＝2n（m+2n）（m﹣2n）．故答案为：2n（m+2n）（m﹣2n）．
16．【解答】解：当x＝﹣3时，原式＝2×（﹣3）2+＝18﹣1＝17，故答案是17．
17．【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3，
在Rt△BCD中，tan B＝，
∴，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5．
18．【解答】解：设商品的进价为x元，根据题意得：
（1+20%）x＝28×90%，
1.2x＝25.2，
x＝21．
故答案为：21元．
19．【解答】解：高为10cm，母线长为15cm，由勾股定理得，底面半径＝5cm，底面周长＝10cm，
侧面面积＝×10×15＝75cm2．
20．【解答】解：∵点P（x，y）位于第二象限，
∴，
解得﹣4＜x＜0，
如取x＝﹣1，
则根据y≤x+4，可取y＝﹣1+4＝3，
则点的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
21．【解答】解：n＝1时，火柴棒的根数为：4，
n＝2时，火柴棒的根数为：7＝4+3，
n＝3时，火柴棒的根数为：10＝4+3×2，
n＝4时，火柴棒的根数为：13＝4+3×3，
…
第n个图形中火柴棒的根数是4+3×（n﹣1）＝3n+1．
故答案为：3n+1．
22．【解答】解：连接OB、OC；
由于AB切⊙O于B，则∠ABO＝90°；
在Rt△AOB中，OB＝3，OA＝6，因此∠AOB＝60°，
∵OA∥BC，
∴∠OBC＝∠BOA＝60°；
由于△OBC和△ABC同底等高，因此S△OBC＝S△ABC；
∴S阴影＝S△ABC+S弓形BC＝S△OBC+S弓形BC＝S扇形OBC＝＝π．
即：阴影部分的面积为π．
23．【解答】解：∵b2+c2＝2a2+16a+14，bc＝a2﹣4a﹣5，
∴（b+c）2＝2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）＝4a2+8a+4＝4（a+1）2，
即有b+c＝±2（a+1）．
又bc＝a2﹣4a﹣5，
所以b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的两个不相等实数根，故△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）＝24a+24＞0，
解得a＞﹣1．
若当a＝b时，那么a也是方程③的解，
∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5＝0，
即4a2﹣2a﹣5＝0或﹣6a﹣5＝0，
解得，a＝或a＝﹣．
所以a的取值范围为a＞﹣1且a≠﹣且a≠．
24．【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF＝CN，DB＝DC
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM+∠CDN＝60°
∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN＝MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．
三、解答题（其中第25～27题各8分，第28～29题各10分，第30题16分，第31题18分，共78分）
25．【解答】（1）证明：∵C是的中点，且AB是直径
∴
∴∠AOC＝∠BOC＝90°
∵AO＝BO
∴CO是AB的垂直平分线
∴AP＝BP
∴∠A＝∠B
∵AO＝MO
∴∠A＝∠M
∴∠B＝∠M，且∠A＝∠A
∴△AOM∽△APB
∴
∴AM•AP＝AB•AO
∵AO＝R，AB＝2R
∴AM•AP＝2R2
在圆O中R是定值，∴2R2也是定值
∴AM•AP＝2R2是定值；
（2）解：当时，OM⊥PB．
证明：∵
∴△AOM∽△OPM
∴∠2＝∠A
∴∠2＝∠B
∵∠2+∠1＝∠BOC＝90°
∴∠1+∠B＝90°
∴∠3＝90°
∴OM⊥PB．
26．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，
故形成的数对（x，y）共有100个．
满足条件的事件x+y是10的倍数的数对包括以下10个：（1，9），（9，1），（2，8），（8，2），（3，7），（7，3），（4，6），（6，4），（5，5），（10，10）．
故“x+y是10的倍数”的概率为．
27．【解答】解：所画图形如图所示．
说明：图1与图2中所画图形正确各得（2分）．分割方法不唯一，正确者相应给分．28．【解答】解：（1）设购进A型服装x套，B型服装y套，则C型服装为（60﹣x﹣y）套；
由题意，得，
整理得：，
∴可得不等式组：，
解得：x＝30，y＝10，
∴购进A型服装30套，B型服装10套，则C型服装为20套；
（2）①由题意，得P＝1200x+1600y+1300（60﹣x﹣y）﹣61000﹣1500，
整理得：P＝500x+500，
∴利润P（元）与x（套）的函数关系式为：P＝500x+500；
②由（1）得：y＝2x﹣50，
∴购进C型服装套数为：60﹣x﹣y＝110﹣3x，
根据题意列不等式组，得：，
解得29≤x≤34，
∴x范围为29≤x≤34，且x为整数．
∵P是x的一次函数，k＝500＞0，
∴P随x的增大而增大．
∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元．
此时购进A型服装34套，B型服装18套，C型服装8套．
29．【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝∠BAC，
∴∠ABE+∠BAE＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BAE+∠DAC，
∴∠DAC＝∠ABE；
（2）解：在AD上截取AF＝BE，连接CF，作CG∥BE交直线AD于G，∠BED＝∠BAC，∵∠F AC＝∠EBA，
∴在△ACF和△BAE中，
，
∴△ACF≌△BAE（SAS），
∴CF＝AE，∠ACF＝∠BAE，∠AFC＝∠AEB．
∵∠AFC＝∠BEA
∴180°﹣∠AFC＝180°﹣∠BEA
∴∠CFG＝∠BEF，
∴∠CFG＝180°﹣∠AFC＝180°﹣∠BEA＝∠BED，
∵CG∥BE，
∴∠CGF＝∠BED，
∴∠CFG＝∠CGF，
∴CG＝CF，
∵∠BED＝2∠DEC，
∵∠CFG＝∠DEC+∠ECF，∠CFG＝∠BED，
∴∠ECF＝∠DEC，
∴CF＝EF，
∴BE＝AF＝2CF，
∵CG∥BE，
∴BD：CD＝BE：CG，
∴BD：CD＝2CF：CF＝2，
∴BD＝2DC，
∴BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关；
（3）解：∵BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关，
∴若∠BAC＝α，那么（2）中的结论仍然还成立．
30．【解答】解：（1）作CF⊥OA于F
∵y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点B
∴当x＝0时，y＝5，即OB＝5
当y＝0时，x＝10，即OA＝10
∴tan∠OAB＝
∵tan∠DCE＝
∴∠OAB＝∠DCE
设直线OD交坐标轴分别于点G、H，当x＝0时，y＝﹣1，即OH＝1当y＝0时，x＝1，即OG＝1
∴OG＝OH，
∴∠OGH＝45°
∴∠GDA＝∠GAD＝45°，在y＝x﹣1中，当x＝10时，y＝9
∴AD＝9
∴GD＝9
∵y＝x+5与y＝x﹣1相交于点C，求得C点坐标为：C（4，3）∴CF＝3，∴GC＝3，
∴CD＝6
∵△GCA∽△DEC
∴
∴
∴DE＝4，∴AE＝5
∵AD⊥x轴
∴E（10，5）；
（2）∵点P与点Q同时分别从B点和O点运动，同时到达A点和O点，且OA是OB 的2倍
∴P点运动的速度是Q点的2倍
∵QB＝m，
∴OP＝2m
∴QO＝5﹣m，P A＝10﹣2m
∵△PQD为直角三角形
∴△QOP∽△P AD
∴
∴
解得：m1＝5，m2＝；
当m＝1时，∠DQP＝90°．
（3）过点R作HR∥OA交OB于点H，连接PR
∴∠DRP＝∠OAR，∠3＝∠4
∵四边形RQPE是平行四边形，
∴∠3＝∠4，∠QRE＝∠QPE，QR＝AE
∴∠2＝∠1
∴∠5＝∠EP A
∴△RHQ≌△P AE
∴RH＝P A，QH＝AE
∴RH＝10﹣2m，HQ＝5
∵函数y＝经过点C
∴k＝12
y＝，设R坐标为（a，b）
∴HO＝5+5﹣m＝10﹣m，HR＝10﹣2M
∴a＝10﹣2m，b＝10﹣m
∴（10﹣2m）（10﹣m）＝12
∴m1＝11（不符合题意），m2＝4
∴a＝2，b＝6
∴R（2，6）．
31．【解答】解：（1）∵CB＝4，CN＝6，∴GN＝2．又∵∠PNM＝60°且∠EGN＝60°，
∴△EGN为正三角形．
∴△EGN的高为h＝．
∴S△EGN＝×2×＝；
（2）在直角梯形ABCD中，
∵CD＝4，∠DCB＝60°，
∴AB＝2．
在Rt△KHM中，tan30°＝，
MH＝2×＝2，
∴MN＝2+4+2＝8；
（3）S梯形ABCD＝（2+4）•2＝6．
当MP经过H点时，交D′G于F，
则S△HGF＝×4×2＝4＞S梯形ABCD．∴HG＜4，
设HG＝x，则有h′＝x．
∴S公共部分＝x•x＝x2．
∴x2＝3，
解得：x＝2或﹣2（舍去）．
∵GN＝2，
∴等边三角形PNM的边长a为（2+2）cm．。