控制工程清华大学版第三章时域分析

➢ > Hale Waihona Puke ：xo(t)t2 n
2212
2 1e
2n 21
21nt
2212
21e 21nt,
t 0
2n 21
➢ = 1： xo(t)t 2 n 2 n 11 2nt e n t, t0
第三章 时域分析法
➢
0<<1：xo(t)t
2 n
1
d
ent
sin(dt),
t 0
d n 12, arct2g21212
➢ 对典型输入信号的要求 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于解析分析； 实际中可以实现或近似实现。
第三章 时域分析法
➢ 常用的典型输入信号
名
称
时域表达式 复数域表达式
单位阶跃信号
1(t)，t0
单位速度(斜坡)信号 t， t0
单位加速度信号
1t2, t 0 2
单位脉冲信号
(t)，t=0
第三章 时域分析法
其中， d n 12 称为阻尼振荡频率。 ➢ 临界阻尼二阶系统： ＝1
具有两个相等的负实数极点：
p1,2 n
系统包含两类瞬态衰减分量：
ent, tent
第三章 时域分析法
➢ 过阻尼二阶系统： > 1 具有两个不相等的负实数极点：
p1,2 nn 21
系统包含两类瞬态衰减分量：
exp nn 21t
0.6
0.4
0.2
0
tp 5 t
10
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
第三章 时域分析法
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 ✓ xo() = 1，无稳态误差； ✓ 瞬态分量为振幅等于 ent 12的阻尼
正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。
阻尼振荡频率 d n 12 ；
✓ 振荡幅值随减小而加大。
第三章 时域分析法
X o (s) G (s)X i(s) T 1 1 ss 1 2s 1 2 T s s T 1 T
t
xo(t)tTTeT, t0
第三章 时域分析法
xo(t) xi(t)
0
T e()=T xo(t)=t-T+Te-t/T
t
第三章 时域分析法
➢ 一阶系统单位速度响应的特点 瞬态响应：T e – t /T ；稳态响应：t – T； 经过足够长的时间(稳态时，如t 4T)，输 出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t – T，即输出相对于输入滞后时间T； 系统响应误差为：
➢ 临界阻尼（=1）状态
x o (t) 1 (1 n t)e n t, t 0
xo(t)
特点
1 ✓ 单调上升，无
振荡、无超调；
✓ xo () = 1，无
0
t 稳态误差。
第三章 时域分析法
➢ 过阻尼（>1）状态
xo(t)1
2(1
1
e(
212)
21)nt
xo(t) 1
0
1
e( 21)nt，t0
第三章 时域分析法
同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系 统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初 始条件确定。 这种输入－输出间的积分微分性质对任何线性 定常系统均成立。
第三章 时域分析法
三、二阶系统的时间响应
二阶系统
G (s)T2s21 2T s1s22n 2 n sn 2
其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期， 为阻尼比；
系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：
e ( n j d )t e n t e j d t
第三章 时域分析法
其中， d n 12 称为阻尼振荡频率。 ➢ 临界阻尼二阶系统： ＝1
具有两个相等的负实数极点：
p1,2 n
系统包含两类瞬态衰减分量：
ent, tent
第三章 时域分析法
➢ 过阻尼二阶系统： > 1 具有两个不相等的负实数极点：
第三章 时域分析法
将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：
t
e T 1xo(t)
1t T
ln1xo(t)
即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。
该性质可用于判别 系统是否为惯性环 节，以及测量惯性
ln[1-xo(t)]
0
t
环节的时间常数。
第三章 时域分析法
一阶系统的单位速度响应
Xi
(s)
1 s2
➢ = 0： xo(t)t1nsi nnt, t0
第三章 时域分析法
例题 ➢ 例1 单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
xo(t)75e6t
求系统的传递函数。 解：由题意Xi(s)=1，所以：
G (s) X X o i( (s s ) ) X o (s) L [x o (t) ]L [7 5 e 6 t] 7 5 2s42 s s6 s(s6)
其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期， 为阻尼比；
n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。
第三章 时域分析法
二阶系统的特征方程：
s22 nsn20 极点（特征根）： p1,2 nn 21
➢ 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1 具有一对共轭复数极点：
p 1 ,2 n j n1 2 n j d
n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。
第三章 时域分析法
二阶系统的特征方程：
s22 nsn20 极点（特征根）： p1,2 nn 21
➢ 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1 具有一对共轭复数极点：
p 1 ,2 n j n1 2 n j d
系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：
e ( n j d )t e n t e j d t
第三章 时域分析法
2）单位脉冲输入时，由于
(t) d [1(t)]
dt
因此：
xo(t)d dxto1(t)2ette t
第三章 时域分析法
二阶系统的性能指标 ➢ 控制系统的时域性能指标
控制系统的性能指标是评价系统动态品质的 定量指标，是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶 跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调 量Mp、振荡次数N。
第三章 时域分析法
典型输入信号 一般，系统可能受到的外加作用有控制输入 和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输 入，有时其函数形式也不可能事先获得。在 时间域进行分析时，为了比较不同系统的控 制性能，需要规定一些具有典型意义的输入 信号建立分析比较的基础。这些信号称为控 制系统的典型输入信号。
第三章 时域分析法
正弦信号
Asint
1
s 1 s2 1 s3
1
A s2 2
第三章 时域分析法
➢ 典型输入信号的选择原则 能反映系统在工作过程中的大部分实际情况； 如：若实际系统的输入具有突变性质，则可 选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐 变化，则可选速度信号。 注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信 号，由时域分析法所表示的系统本身的性能 不会改变。
第三章 时域分析法
二、一阶系统的时间响应
一阶系统（惯性环节）
G(s) 1 Ts1
极点（特征根）：-1/T
一阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
X o(s)G (s)X i(s)T1 s11 s1 ss 1 1T
第三章 时域分析法
t
xo(t)1e T, t0
xo(t) 斜率=1/T 1
xo(t)1et/T
控制工程清华大学版第三章时域分析
控制工程基础
第三章
第三章 时域分析法
一、典型输入信号 二、一阶系统的时间响应 三、二阶系统的时间响应 四、高阶系统的时间响应 五、误差分析和计算 六、稳定性分析 七、时域特性的计算机辅助分析 八、小结
第三章 时域分析法
一、典型输入信号 时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下， 系统输出随时间变化的情况，以分析和研究 系统的控制性能。 优点：直观、简便
第三章 时域分析法
xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统 响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以 通过实验测量惯性环节的时间常数T；
dxo(t) 1
dt t0 T
时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95% ~98%时，认为系统响应过程基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。
第三章 时域分析法
➢ 零阻尼二阶系统： ＝0 具有一对共轭虚极点： p1,2 jn 系统时域响应含有复指数振荡项：
e jnt
➢ 负阻尼二阶系统： < 0 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
第三章 时域分析法
三、二阶系统的时间响应
二阶系统
G (s)T2s21 2T s1s22n 2 n sn 2
2(1 212)
特点
✓ 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长
✓ xo () = 1，无稳态 t 误差。
第三章 时域分析法
➢ 无阻尼（=0）状态
x o(t) 1 c on t,st 0
xo(t) 2
1
特点
频率为n的等
幅振荡。
0
t
第三章 时域分析法
➢ 负阻尼（<0）状态 -1<<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。 < -1：输出表达式与过阻尼状态相同。
e(t)xi(t)xo(t)T(1etT) e()T
第三章 时域分析法
一阶系统的单位脉冲响应
xo(t) 1/T
Xi(s) 1
1 0.368T
斜率
1 T2
xo(t)
Xo(s)G(s)T1s11T
xo(t)T1eTt , t 0
0T
t
第三章 时域分析法
➢ 一阶系统单位脉冲响应的特点
瞬态响应：(1/T )e – t /T ；稳态响应：0； xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；
二阶系统的单位脉冲响应
➢ > 1： ➢ = 1：
xo(t) 2
n e 21
21nt
e
21nt
t0
xo(t)n 2te nt, t0
➢ 0<<1： xo(t)1 n2en tsi ndt, t0
➢ = 0： x o(t) nsi n n t, t 0
第三章 时域分析法
二阶系统的单位速度响应
p1,2 nn 21
系统包含两类瞬态衰减分量：
exp nn 21t
第三章 时域分析法
➢ 零阻尼二阶系统： ＝0 具有一对共轭虚极点： p1,2 jn 系统时域响应含有复指数振荡项：
e jnt
➢ 负阻尼二阶系统： < 0 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
第三章 时域分析法
二阶系统的单位阶跃响应
xo(t)
xo(t)
0
t
-1<<0 特点：振荡发散
0
t <-1
特点：单调发散
第三章 时域分析法
➢ 几点结论
二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： < 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长； 0<<1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，
但响应愈快， = 0时，出现等幅振荡。
第三章 时域分析法
工程中除了一些不允许产生振荡的应用， 如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻 尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间， 以保证系统的快速性同时又不至于产生过 大的振荡。
一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越
迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应 的快速性越好。
第三章 时域分析法
第三章 时域分析法
➢ 例2 已知系统传递函数：
G(s) 2s 1 (s 1)2
求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 解：1）单位阶跃输入时
X o (s) G (s)X i(s) s( 2 s s 1 1 )2 1 s (s 1 1 )2 s1 1
从而： x o ( t) L [X o ( s ) ] 1 t e t e t
B
0.632
A
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% 99.8%
0
1T 2T 3T 4T 5T 6T
t
第三章 时域分析法
➢ 一阶系统单位阶跃响应的特点 响应分为两部分
✓ 瞬态响应：et T
表示系统输出量从初态到终态的变化过程 （动态/过渡过程） ✓ 稳态响应：1 表示t时，系统的输出状态 xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大， 且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差；
dxo(t) dt
t0
T12
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽
度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。
第三章 时域分析法
线性定常系统时间响应的性质 ➢ 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。 ➢ 注意到：
( t ) d 1 ( t )
dt
1(t ) d t
dt
第三章 时域分析法
对一阶系统：
xo
(t)
1 T
t
eT
t
xo1 (t) 1 e T
t
x ot ( t ) t T Te T
xo (t)
d dt
xo1 (t )
xo1 (t )
d dt
xot (t )
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该 输入信号响应的导数。
X
i
(s)
1 s
X o(s)G (s)X i(s)s(s22n 2n sn 2)
➢ 欠阻尼（0<<1）状态
xo(t)1e1 n t2sin d(t), t0
其中，d n 12
arctg12 arccos
第三章 时域分析法
xo(t)
2
1.8
=0.2
1.6
=0.4
1.4
=0.6
1.2
=0.8
1
0.8