34-第34课时平面向量单元复习.docx

第34课时平面向量的应用
一、学习要求
1.了解向量加减和向量数量积运算在物理中的应用.
2.能挖掘向暈数量积关系中蕴含的长度和角度关系，解决一些简单的三角形形状判定问题.
3.能够利用定义和处标进行数量积运算，强化数量积运算屮建立处标系求解的意识.
二、课前预习
1.通过点力(3, 4),且平行于向量。

=(3, 2)的直线方程是________________________ .
2x—3j/+6 = 0
2.一质点受到平面上的三个力竹，F2, F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知
F|,形，成60。

角，且F|,局的大小分别为2和4,则几的大小为_________________ •2萌3.-艘船从/点出发以2迈km/h的速度向垂玄于对岸的方向行驶，河水的流速为2km/h,
则船实际航行的速度的大小是____________ . 4 km/h
4.(1 )在厶ABC中，AB =c, BC=a, CA =b,且a・b=b・c=c・a,则的形状是
；
等边三角形
(2)已知非零向虽祐与衣'满足("+ " ) •就*=0且-巫•=*, /\ABC的形状
| 花| |^| | 花| 2
是_________________ .等边三角形
5.在屮，有命题：①石一忌=庞；②jl + ^C+C4=0；③若(AB+~ACY(AB-
忌)=0,则△/BC为等腰三角形；④若AC ABX),则△MBC为锐角三角形.上述命
题正确的是_____________ •③
【知识与方法】
三、典型例题
例1用向量法证明正弦定理少余弦定理.
解：⑴正弦定理：在ZVIBC屮，a, b, c分别是儿B, C所对的边，则有話=岛=孟・证明：在zMBC中，^BC=BA+AC.不妨设ZC为最人角，过点力作力D丄于D,于是BC^AD=(BA +ACfAD=BA •AD+^AD,
即0=|^||/|cos(90° +^)4-|JC||I^|cosa,
其中，当ZC为锐角或直角时，a=90° -C；当ZC为钝角时，a=C-90° .
故可得csin3=bsinC=0, A
Hn c丿^\
' sinZ? sinC* c / a^\h
同理可得sirU sinC"
所以sin4 — siM — sinC*
(2)余弦定理:c2=a2 + b2~2ab cosC.
证明：山向量等式厉=3—励，两边平方得
BA2 = CA2+CB2~2CA•岳=岳2十囱2_2|岳 | | 囱|cosC.
即c2=a2 + b2—2ab cosC.
【小结】向址的数量积是将向量等式转化为数量等式的常用匚具. 例2 (1)如图，肋是半圆0的直径，C, D是弧肋的三等分点, 分点.若0/ = 6,则必•疋的值是 ___________________________ . 26
解：建立如图所示的直角坐标系，则M(-2, 0), NQ, 0), C(3, 3书)，
D(_3, 3也).
所以3曲,2VC=(1, 3心.
从而％•疋=1X(—1) + 3^5x375 = 26
M, N是线段力3的三等
(2)如图，半圆的总径4B=2, O为圆心，C是半圆上不同于B的任意一点.若P
为半径0C上的动点，^\(PA+~PByPC的最小值是______________ .—
*
解：因为O是川？中点，所以~PA+~PB=2PO. 所以(P^+Pl)-
PC = 2TOPC
= 2X|PO|X|PC|Xcosl80°
= -2\PO\X(\-\PO\)
—》 1 7 1
= 2[(\P0\-^尸一㊁]
即P为0C中点时(肓+扇)•疋取最小值一*・
D
A M E N B
匕2BD,
(3)如图，在△/SC 中，Z^C= 120°, 4B=2, AC=U D 是边BC±一点，DC= 则詣•疋= .—T
【小结】基向虽法与坐标法的灵活应用
例3 /\ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，门3Q4+4O3 + 5OC=0.
(1)求数量积笳-~OB, OB - ~OC,农・R；（2）求ZX/BC的面
积.
解：（1）由WA+WB + 50C得4笳+ 5炭 =一3刀，平方得
（4扇+ 5炭）2 =（一3鬲
2,
即16+25+40笳・Z)C=9,所以笳・OC=-^；同理
可得，OA・笳=0, OC・04 = —
(2)由刀.08 = 0,笳・Z?C=-1 炭.OA = ~l
5' 5'
A
4 3
得cosZAOB=0. cosZBOC=—cosZ/OC=—
3 4
所以sinZAOB=l. sinZBOC=^ sinZMOC=§.
从而Sy()B=^O4xOBxslnZ4OB=w =^OA x OC x sinZ/OC=g, SABoc=^OBxOCxsin
ZBOC=^.
所以SjBC = Sj()B + S△力oc + Sz\BOC=，+§+ T O = 5#
【小结】
第34课吋平面向量的应用
1 •若a与b~c都是非零向量，则“a • b=a• c”是“a丄(〃一c)”的_______________ 条件.
充要条件
2.已知向量a=(萌，1),方是不平行于x轴的单位向量，且d・b=y[3,贝畀= ______________ .
i爭)
3.设向量a, b, c 满足a+〃+c=O, a 丄b, d=l, “|=2,贝ij|c|= ___________________ ・
V5
4.已知下列命题：①若a2+b2=O f则a=b=O；②若a, b, c是三个非零向量，若a+b
=0,则\a-c\ = \b-c\；③在△ ABC *|l, a=5, b=8, c=7,则BC-04=20；④a 与〃是共
线向量的充要条件是a^b=\a\\b\.具中真命题的序号是________ .
①②
5.(1)在△/EC 中，若(CA + CB)• ^4 = 0,则的形状是_____________________________ .
等腰三角形
(2)平面内有鬲+ 亦+萌=0, ^\OP l\ = \OP2\ = \dP3\,则厶P\P2P\的形状是—
等边三角形
6._________________________________________________________________ 戸是厶ABC所在平血上一点，若莎•丙=呢•龙=丸•岚,则P是△/BC的____________________ 心.
垂
7.如图，在△/3C 中，4DL4B, BC=y/3BD f \AD\ = \f则
AC • AD =
V3
8.在等腰直角三角形中,AC=BC=1,曲M, N分别是BC的中点，点P是Z\MC
(包括边界)内任意一点，贝UN-MP的取值范围为__________________ .
[-扌,|]
9.在平面直角处标系屮，若O为坐标原点，则力、B、C三点在同一直线上的充要条件为
存在惟一的实数九，使得OC=kOA+(\-X)OB成立，此时称实数九为“向量OC关于加和OB的终点共线分解系数”.若已知Pi(3, 1)、戸2(—1，3),且向量Of是直线人x-y+10 =0的法向量，则“向量鬲关于鬲和屁的终点共线分解系数”为__________________ . 10.设0(0, 0),力(1, 0), B(0, 1),点戶是线段的上的一个动点，7P=)JAB f若乔•彷
^PA ・PB,则实数九的取值范围是 ____________ .[兰尹，1]
11. 平而内有向量04=(1, 7),万方=(5, 1), OP=(2t 1),点X 为直线OP 上的一个动点.
(1) 当肓•劝取最小值时，求貳的坐标；
(2) 当点X 满足⑴的条件和结论时，求cosZAXB 的值.
解：(I)；•点X 为直线OP 上的一个动点，.••设衣 =(2a,a).
则肓=OA~OX=(\~2a f 7—a), XB = 08 ~OX=(5~2a f 1—a).
:.XA-XB=(\-2a) (5-2a)+(7—a) (l-a)=5/-20a+12=5(a-2)2一&
当a=2时，苗•前取最小值一8,此时设京 =(4, 2).
(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，苗=(一3, 5),劝=(1, -1). _XAXB_ ~8 _ 4^17
~\XA\\XB~^ 17
12. 设向量 « = (4cosa, sina), b=(sin0, 4cosQ, c=(cos0, —4sin0).
(1)若a 与b~2c 垂直，求tan(a+/7)的值；(2)求\b+c\的最大值；
(3)若 tanoctan0= 16,求证：a//b. 解：(l)Z>—2c=(sin0, 4cosQ —2(cos0, — 4sin/7) = (si n0—2cos0, 4cos0+8sinQ, 因为 a 与 b~2c 垂直，所以 a (〃一2c)=0,即 4cosa( sin0—2cos0) + sinct(4cos0+8sin0)=4cosa sin"— 8cosacos0+ 4sinacos0+ 8sinasin0= 0,
即 sinacos^+cosa sin0=2cosacos0—2 sinasin/?,
从而 sin(a+Q=2cos(a+Q,
所以 tan(a+Q = 2.
(2) 方+c=(sin0, 4cosQ+(cos0, —4sinQ=(sin0+cos0, 4cos0—4sinQ, 所以(b+c)2
= (sin/?+ cos/?)2+(4cos0— 4sin/7)2 =17 — 30 sin 伏os0= 17—15 sin20,
当0=—中+hr, kW2时@+c)2取最人值32,从而\b+c\的最人值为 (3) 因为 tanatan/?= 16,所以 sinasin0= 16 cosacosQ
即 sinasin/7=4 cosaX 4cos/A
所以a//b.
13. 已知圆0的半径为1,R4、PB 为该圆的两条切线,为两切点，试用两种方法求万t ・~PB 的最小值.
解：(法一)如图所示：设以=PB=x(x>0), ZAPO=a,
cos Z4XB= 4yn 17 •
XB
AQ 1
P （x, 0）,贝|J cosZAOP=-^=-f 血厶。

*篇=宇，所以处,也尹），4 从而肓= （£_x,匕1）,扇=（£_ 所以肯•扇=（丄_x ）2_（也^_ ）2 =4_2 +x? •X 入 X
当且仅当x 2=yj2时取等号.
所以财・M 的最小值为2迈一3・
（法三）以O 为原点建立直角坐标系，因为当C, D 到。

距离相等时M ・石=乃•扇，所以可设点P 在x 轴上.设ZMOP=&, 00（0,号），则
所以易= (cos0, sin0), 扇=(cosy_。

爲'一sin0). 从而万t ・ 扇= (cos&— )2—siiF&=2cos 2&+W^—2$2^ — 3,
当且仅当cos?*号时取等号.
所以P4・的最小值为2^2-3. 则 ZAPB=2a, PO=yj\+x 2f sina=~^== 所以易 ・ ~PB=\PA\\PB |cos2a =x 2( 1 - 2sin 2a) ^'¥ ~29
X
4_-2 2 X ~x —3,
当且仅当#+1=也，即X “迈一1吋取等号. 所以肓・扇的最小值为2^2-3・ （法二）以0为原点建立直角处标系，因为当C, D 至U。

距离相等时苗・CB = DA ・DB,所以可设点
' 2 ] =F +令-3 2 2yf2 — 3
A(cos3, sin0), B(cosO, —sin 。

)’ P (為’0).
A
（
｝
'2 i , =X
2+ 1 十 2丄[—3$2迈 兀十1 X + 1 V。