高中物理 第1章 功和功率 第3节 功 率教学案 鲁科版必修2-鲁科版高一必修2物理教学案

第3节 功率
一、功率的含义 1．定义
功W 跟完成这些功所用时间t 的比值。

2．定义式
P ＝W
t。

3．单位
在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用W 表示。

4．物理意义
功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。

二、功率与力、速度的关系 1．关系式
1．功率是标量，反应做功的快慢，可分为平均功率和瞬时功率。

2．平均功率表示力在一段时间内做功的平均快慢程度，常用P ＝W
t
进行计算。

假设力F 为恒力，也可用
P ＝F v cos α计算。

3．瞬时功率表示力在某一时刻做功的快慢程度，通常用P ＝Fv cos α(α表示力F 的方向与瞬时速度v
的方向间的夹角)进行计算。

4．在机车问题中，P ＝Fv 是指牵引力的功率，当P
一定时v 与F 成反比，当v 一定时P 与F 成正比。

2．平均功率和瞬时功率
定义常用描述
平均功率物体在一段时间内做功的功率的平均值，
它与某一段时间(或过程)有关
P＝
W
t
或P＝F v cos α(v为t时间内的
平均速度)
瞬时功率表示物体在某一时刻或某一状态的功率。

瞬时功率总与某一时刻或状态相对应
P＝Fv cos_α(v为某一时刻的瞬时速度)
3．额定功率和实际功率
(1)额定功率是机械可以长时间工作的最大允许功率。

一个机械的额定功率是一定的，机械工作时都要受额定功率的限制。

(2)实际功率是机械工作时实际输出的功率，也就是发动机产生的牵引力做功的功率，实际功率通常要小于或等于额定功率。

1．自主思考——判一判
(1)力越大，做功越快。

(×)
(2)功率越大表示做的功越多。

(×)
(3)功率表示做功的快慢。

(√)
(4)机械发动机铭牌上的功率是指额定功率。

(√)
(5)额定功率一定大于实际功率。

(×)
2．合作探究——议一议
(1)去过泰山的同学会遇到挑山工，假设挑山工和缆车将相同的货物运至山顶，两者对货物做的功相同吗？做功的功率相同吗？
图1­3­1
提示：两者对货物做的功都等于克服重力做的功，由于将相同的货物运往相同高度的山顶，两者做相同的功，而用缆车运送货物所用时间远小于挑山工的用时，根据功率定义知缆
车的做功功率远大于挑山工的做功功率。

(2)在越野比赛中，汽车爬坡时，常常换用低速挡，这是为什么？
图1­3­2
提示：由P ＝Fv 可知，汽车在上坡时需要更大的牵引力，而发动机的额定功率是一定的，换用低速挡的目的是减小速度，进而增大牵引力。

功率的理解与计算
公式P ＝W
t
与P ＝Fv 的理解与应用
定义式P ＝W t
计算式P ＝Fv
(1)P ＝W t
是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，既适用于合力或某个力做功时功率的计算，也适用于恒力或变力做功时功率的计算
(2)P ＝W
t 表示时间t 内的平均功率，只有当物
体做匀速运动时，才等于瞬时功率
(1)P ＝Fv 是由W ＝Fs 及P ＝W t
联立导出的，表
达了P 、F 、v 三个量的制约关系
(2)P ＝Fv 通常用来计算某一时刻或某一位置的瞬时功率，此时v 是瞬时速度；假设v 是某段时间内的平均速度，那么计算的是该段
时间内的平均功率 (3)该式成立的条件是F 、v 同向，假设不同向，应用P ＝Fv cos α进行计算，其中α是
F 与v 之间的夹角
[典例] 如图1­3­3所示，在光滑的水平面上，质量m ＝3 kg 的物体，在水平拉力F ＝
6 N 的作用下，从静止开始运动，经过3 s 运动了9 m 。

求：
图1­3­3
(1)力F 在3 s 内对物体所做的功； (2)力F 在3 s 内对物体做功的平均功率； (3)在3 s 末，力F 对物体做功的瞬时功率。

[思路点拨] 解答此题可按以下思路分析： (1)确定力F 作用下对应的物体位移。

(2)求解3 s 末物体的瞬时速度，由瞬时功率计算式求瞬时功率。

[解析] (1)根据功的定义式W ＝Fs 得，
力F 在3 s 内对物体做的功为W ＝6×9 J＝54 J 。

(2)由功率的定义式P ＝W t 得，力F 在3 s 内对物体做功的平均功率为P ＝54
3 W ＝18 W 。

(3)在3 s 末，物体的速度为v ，由运动学公式s ＝v 2·t 可知，v ＝2s
t
＝6 m/s 。

因此，
力F 在3 s 末对物体做功的瞬时功率为P ＝Fv ＝6×6 W＝36 W 。

[答案] (1)54 J (2)18 W (3)36 W
计算功率应该注意的问题
(1)首先应该明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时功率选择的公式不同。

(2)求平均功率时，尤其注意明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。

(3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等。

不同情况的力，其做功情况会有所不同，功率的计算也会不同。

1．质量为m 的物体从高处自由下落，经时间t ，重力对物体做功的平均功率为________，在t 时刻重力对物体做功的瞬时功率为________。

解析：物体自由下落，t 时刻速度为v ＝gt ，时间t 内物体的平均速度为v ＝v 2＝1
2
gt ，
那么在时间t 内重力对物体做功的平均功率P ＝mg v ＝12mg 2
t ，在t 时刻重力做功的瞬时功
率P ＝mgv ＝mg 2
t 。

答案：12
mg 2t mg 2
t
2.如图1­3­4所示，质量m ＝2 kg 的物块在倾角α＝37°的光滑固定斜面顶端由静止滑下，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2
，求：
图1­3­4
(1)前2 s 内重力做的功； (2)前2 s 内重力的平均功率； (3)2 s 末重力的瞬时功率。

解析：(1)对物块受力分析如下图，F 合＝mg sin α，
由牛顿第二定律F ＝ma 得：a ＝g sin α＝10×0.6 m/s 2
＝6 m/s 2
， 前2 s 内物块的位移s ＝12at 2＝12
×6×22
m ＝12 m ，
前2 s 内重力做的功W ＝mgs ·sin α＝2×10×12×0.6 J＝144 J 。

(2)重力在前2 s 内的平均功率P ＝W t ＝144
2
W ＝72 W 。

(3)物块2 s 末的速度v ＝at ＝6×2 m/s＝12 m/s ，
重力在2 s 末的瞬时功率P ＝mgv sin α＝2×10×12×0.6 W＝144 W 。

答案：(1)144 J (2)72 W (3)144 W
机车启动问题
1．机车以恒定功率启动
如图1­3­5所示分别为机车以恒定功率启动过程中的速度、功率、牵引力随时间变化的图像。

通过v ­t 图像可知，0～t 1时间内为变加速运动，t 1时刻后为匀速运动。

图1­3­5
2．机车以恒定加速度启动
如图1­3­6所示分别为机车以恒定加速度启动过程中的速度、功率、牵引力随时间变化的图像。

通过v ­t 图像可知，0～t 1时间内为匀加速运动，t 1～t 2时间内为变加速运动，t 2时刻后为匀速运动。

图1­3­6
[典例] 某汽车发动机的额定功率为60 kW ，汽车质量为5 t ，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍，g 取10 m/s 2。

(1)假设汽车以额定功率启动，那么汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车的速度为5 m/s 时，其加速度是多少？
(2)假设汽车以恒定的加速度0.5 m/s 2启动，那么这一过程能维持多长时间？ [思路点拨] 解答有关机车的启动问题，关键是能够正确理解机车启动过程中各个物理量的相互制约关系。

[解析] (1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v 达到最大值v m ，故最大速度为v m ＝P f
＝60×103
0.1×5 000×10
m/s ＝12 m/s 由P ＝Fv ，F －f ＝ma 可得速度v ＝5 m/s 时加速度为 a ＝F －f m ＝P mv －f m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫60×103
5 000×5－0.1×5 000×105 000m/s 2 ＝1.4 m/s 2。

(2)汽车以0.5 m/s 2
的加速度做匀加速运动所能达到的最大速度为
v m ′＝P F ′＝P f ＋ma ′＝60×10
3
0.1×5 000×10＋5 000×0.5
m/s ＝8 m/s
由于这一过程中汽车做匀加速直线运动，满足v m ′＝v 0＋a ′t ，
故这一过程能维持的时间为t ＝
v m ′－v 0a ′＝8－0
0.5
s ＝16 s 。

[答案] (1)12 m/s 1.4 m/s 2
(2)16 s
分析汽车启动类问题时，必须注意以下三点：
(1)明确汽车的启动方式，是以恒定功率启动，还是以恒定加速度启动。

(2)抓住两个基本公式：功率P ＝Fv (P 是汽车的实际功率，F 是汽车的牵引力，v 是汽车的速度)；根据牛顿第二定律有F －f ＝ma (f 是汽车受到的阻力)。

(3)正确分析汽车启动过程中各物理量在各个阶段(如匀加速运动阶段、变加速运动阶段、匀速运动阶段)的变化情况。

1．假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。

如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，那么摩托艇的最大速率变为原来的( )
A ．4倍
B ．2倍 C. 3 倍
D. 2 倍
解析：选D 设f ＝kv ，当阻力等于牵引力时，速度最大，输出功率变化前，有P ＝Fv ＝fv ＝kv ·v ＝kv 2
，变化后有2P ＝F ′v ′＝kv ′·v ′＝kv ′2
，联立解得v ′＝2v ，D 正确。

2．(多项选择)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s 内做匀加速直线运动，5 s 末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v ­t 图像如图1­3­7所示，汽车的质量为m ＝2×103
kg ，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g 取10 m/s 2
，那么( )
图1­3­7
A ．汽车在前5 s 内的牵引力为4×103
N B ．汽车在前5 s 内的牵引力为6×103 N C ．汽车的额定功率为60 kW D ．汽车的最大速度为30 m/s
解析：选BCD 由v ­t 图像知，前5 s 的加速度a ＝
Δv Δt
＝2 m/s 2
，由牛顿第二定律知，前5 s 的拉力F －kmg ＝ma ，得F ＝(0.1×2×103
×10＋2×103
×2)N＝6×103
N ，故B 对、A 错；又5 s 末达到额定功率P ＝F ·v 5＝6×103
×10 W＝6×104
W ＝60 kW ，故C 对；最大速度v max ＝P
0.1mg ＝6×10
4
0.1×2×103
×10
m/s ＝30 m/s ，故D 对。

3．在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW ，质量为10 t ，设阻力恒定，且为车重的0.1倍，求：(g 取10 m/s 2
)
(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度。

(2)假设汽车以0.5 m/s 2
的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)假设汽车以额定功率从静止启动后，当汽车的加速度为2 m/s 2
时，速度多大？
解析：(1)当汽车速度最大时，a 1＝0，F 1＝f ，P ＝P 额，故v max ＝P 额f ＝100×10
3
0.1×10×103×10
m/s
＝10 m/s 。

(2)汽车从静止开始做匀加速直线运动的过程中，a 2不变，v 变大，P 也变大，当P ＝P 额
时，此过程结束。

F 2＝f ＋ma 2＝(0.1×104×10＋104×0.5)N＝1.5×104 N
v 2＝P 额F 2＝105
1.5×104
m/s ≈6.7 m/s ，
那么t ＝v 2a 2＝6.7
0.5
s ＝13.4 s 。

(3)F 3＝f ＋ma 3＝(0.1×104
×10＋104
×2)N＝3×104
N
v 3＝P 额F 3＝105
3×104
m/s ≈3.3 m/s 。

答案：(1)10 m/s (2)13.4 s (3)3.3 m/s
1．关于功率，以下说法中正确的选项是( )
A ．功率是描述做功快慢的物理量，在国际单位制中，其单位是焦耳(J)
B ．功率是描述做功快慢的物理量，在国际单位制中，其单位是瓦特(W)
C ．功率是描述做功多少的物理量，在国际单位制中，其单位是焦耳(J)
D ．功率是描述做功多少的物理量，在国际单位制中，其单位是瓦特(W)
解析：选B 功率是表示做功快慢的物理量，功率越大，表示做功越快。

功率的国际单位是瓦特，故B 正确。

2．关于功率，以下说法中正确的选项是( ) A ．物体做功越快，其功率越大 B ．物体做功越多，其功率越大 C ．实际功率一定等于额定功率 D ．由P ＝W
t
可知，功率与时间成反比
解析：选A 功率是表示做功快慢的物理量，功率越大，做功越快，A 对。

物体做功多，用的时间很长，功率也不大， B 错。

物体的实际功率可能小于或等于额定功率，也可能短时间内大于额定功率，C 错。

由P ＝W t
可知，只有在做功一定的情况下，功率才与时间成反比，D 错。

3．拖拉机耕地时一般比在道路上行驶时速度慢，这样做的主要目的是( ) A ．节省燃料
B.提高拖拉机的功率
C ．提高传动机械的效率
D.增大拖拉机的牵引力
解析：选D 拖拉机耕地时受到的阻力比在路面上行驶时大得多，根据P ＝Fv ，在功率一定的情况下，减小速度，可以获得更大的牵引力，选项D 正确。

4.在平直公路上以一定速率(约为5 m/s)行驶的自行车所受阻力为车和人总重量的0.02倍，如图1所示，那么骑车人的功率最接近于(车和人的总质量约为100 kg)( )
图1
A ．0.1 kW
B ．1×103
kW C ．1 kW
D ．10 kW
解析：选A 因为车速v ＝5 m/s ，骑车时的牵引力F ＝f ＝0.02×100×10 N＝20 N ，所以功率P ＝Fv ＝20×5 W＝100 W ，即0.1 kW ，故A 正确。

5．(多项选择)质量为3 kg 的物体，从高45 m 处自由落下(g 取10 m/s 2
)，那么在下落
的过程中( )
A ．前2 s 内重力做功的功率为300 W
B ．前2 s 内重力做功的功率为675 W
C ．第2 s 末重力做功的功率为600 W
D ．第2 s 末重力做功的功率为900 W
解析：选AC 前2 s 物体下落h ＝12 gt 2＝20 m ，重力做功的功率P 1＝mgh
t ＝300 W ，A
对，B 错；2 s 末物体的速度v ＝gt ＝20 m/s ，此时重力的功率P 2＝mgv ＝600 W ，C 对，D 错。

6．某人用同一水平力F 先后两次拉同一物体，第一次使此物体沿光滑水平面前进l 距离，第二次使此物体沿粗糙水平面也前进l 距离，假设先后两次拉力做的功为W 1和W 2，拉力做功的功率是P 1和P 2，那么( )
A ．W 1＝W 2，P 1＝P 2
B ．W 1＝W 2，P 1>P 2
C ．W 1>W 2，P 1>P 2
D ．W 1>W 2，P 1＝P 2
解析：选B 由于拉力相同而又通过相同的位移，根据W ＝Fl 可知拉力对物体做的功一样多，但由于沿光滑水平面前进l 距离所用时间短，所以P 1>P 2，故B 正确。

7．关于功率公式P ＝W
t
和P ＝Fv 的说法正确的选项是( ) A ．由P ＝W t
知，只要知道W 和t 就可求出任意时刻的功率 B ．由P ＝Fv 只能求某一时刻的瞬时功率 C ．从P ＝Fv 知汽车的功率与它的速度成正比
D ．从P ＝Fv 知当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
解析：选D 公式P ＝W t
所计算的应是时间t 内的平均功率，A 错误；在P ＝Fv 中，假设
v 为平均速度，那么P 为平均功率，假设v 为瞬时速度，那么P 为瞬时功率，B 错误；公式P ＝Fv 涉及三个物理量之间的关系，因此必须在一个量确定不变时，才能判断另外两个物理
量之间的关系，C 错误，D 正确。

8．设飞机飞行中所受阻力与速率的平方成正比，如果飞机以速度v 匀速飞行，其发动机功率为P ，那么当发动机功率为8P 时，飞机飞行的速度为( )
A ．v B.2v C.4v
D.8v
解析：选B 飞机匀速飞行时，应有F＝F阻＝kv2，所以P＝Fv＝kv3，因此功率为8P时v′＝2v。

B正确。

9．一小球以初速度v0水平抛出，不计空气阻力，小球在空中运动的过程中重力做功的功率P随时间t变化的图像是( )
解析：选A 设经过时间t速度大小为v，其方向与竖直方向(或重力方向)成θ角，由功率公式P＝Fv cos θ知，此时重力的功率P＝mgv cos θ＝mgv y＝mg·gt＝mg2t，所以A正确。

10. (多项选择)如图2所示为一汽车在平直的公路上由静止开始运动的速度图像，汽车所受阻力恒定。

图中OA为一段直线，AB为一曲线，BC为一平行于时间轴的直线，那么( )
图2
A．OA段汽车发动机的功率是恒定的
B．OA段汽车发动机的牵引力恒定
C．AB段汽车发动机的功率可能是恒定的
D．BC段汽车发动机的功率是恒定的
解析：选BCD OA为一段直线，说明OA段汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，根据P＝Fv可知，速度增大，牵引力不变，功率增大，故A错误，B正确；AB为一曲线，斜率逐渐减小，那么加速度逐渐减小，牵引力减小，根据P＝Fv可知，牵引力减小，速度增大，功率可能不变，故C正确；BC为一平行于时间轴的直线，那么汽车做匀速直线运动，牵引力等于阻力，不变，速度也不变，根据P＝Fv可知，功率不变，故D正确。

11．一辆重5 t的汽车，发动机的额定功率为80 kW。

汽车从静止开始以加速度a＝1 m/s2
做匀加速直线运动，车受的阻力为车重的0.06倍。

(g 取10 m/s 2
)求：
(1)汽车做匀加速直线运动的最长时间。

(2)汽车开始运动后5 s 末和15 s 末的瞬时功率。

解析：(1)设汽车做加速运动所能达到的最大速度为v ，对汽车由牛顿第二定律得
F －f ＝ma
即
P 额
v
－kmg ＝ma ，代入数据得v ＝10 m/s 所以汽车做匀加速直线运动的时间t ＝v a
＝10 s 。

(2)由于10 s 末汽车达到了额定功率，5 s 末汽车还处于匀加速运动阶段，瞬时功率为
P ＝Fv ＝(kmg ＋ma )at ＝(0.06×5 000×10＋5 000×1)×1×5 W＝4×104 W ＝40 kW
15 s 末汽车已经达到了额定功率P 额＝80 kW 。

答案：(1)10 s (2)40 kW 80 kW
12.近年来，被称为“绿色环保车〞的电动车成了不少市民购买的首选，电动车在出厂时都要进行检测，在检测某款电动车性能的实验中，质量为8×102
kg 的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15 m/s ，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F 与对应的速度v ，并描绘出F ­1
v
图像，如图3所示(图中AB 、BO 均为直线)。

假设电
动车行驶中所受阻力恒定，求此过程中：
图3
(1)电动车的额定功率；
(2)电动车由静止开始运动，经过多长时间，速度达到2 m/s?
解析：由F ­1
v
图像知，AB 段对应电动车加速过程中保持牵引力F ＝2 000 N 恒定不变，
即做匀加速直线运动；BO 段中直线的斜率k ＝F
1
v
＝Fv 保持恒定不变，对应电动车在这一阶段
以额定功率加速行驶。

(1)当电动车达到最大速度v max ＝15 m/s 时，电动车的牵引力F ＝f ＝400 N ，其中f 为地面对电动车的阻力。

所以电动车的额定功率
P ＝fv max ＝400×15 W＝6 000 W 。

(2)电动车匀加速行驶过程中的加速度
a ＝F －f m ＝2 000－4008×10
2
m/s 2＝2 m/s 2， 电动车刚达到额定功率时其速度
v ＝P F ＝6 0002 000
m/s ＝3 m/s ， 之后它将做加速度减小的变加速运动。

故当电动车的速度v ′＝2 m/s 时，正处于匀加速阶段，那么这一过程所用时间t ＝v ′a
＝2
2
s ＝1 s 。

答案：(1)6 000 W (2)1 s。