北师大版高中数学必修一：2.3函数的单调性.docx

高中数学学习材料
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[读教材·填要点]
1．函数在区间上增加(减少)的定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1x2∈A，当x1＜x2时：
(1)都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的．
(2)都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的．
2．函数的单调区间
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．3．函数的单调性
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
4．单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
[小问题·大思维]
1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2∈A”改为“存在x1，x2∈A”？
提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1，
2]上并不是增加的．
2．函数f (x )＝1
x 的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)?
提示：不能，如x 1＝－1，x 2＝1满足x 1＜x 2， 但有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不符合减少的要求．
3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？
提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．
[研一题]
[例1] 试判断函数f (x )＝x
x －1在其定义域上的单调性，并加以证明．
[自主解答] 函数定义域为{x |x ≠1}，
又f (x )＝x
x －1
＝
（x －1）＋1x －1＝1
x －1
＋1，
可由反比例函数y ＝1
x
图像得其图像如图所示：
由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下： 设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2
x 2－1
.
f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1
x 1－1＝x 1－x 2（x 2－1）（x 1－1）.
∵1＜x 1＜x 2，
∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)． ∴f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 同理可证f (x )在(－∞，1)上为减函数． 综上f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．
[悟一法]
判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：
(1)设元：设x 1，x 2为区间上的任意两个变量，且x 1＜x 2； (2)作差：计算f (x 1)－f (x 2)；
(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论．
[通一类]
1．试讨论函数f (x )＝a
x (a ≠0)在其定义域内的单调性．
解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (1)设x 1<x 2<0，则由已知f (x )＝a
x (a ≠0)，有
f (x 1)－f (x 2)＝a x 1－a x 2＝a （x 2－x 1）
x 1x 2.
∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0.
当a >0时，有a （x 2－x 1）
x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)；
当a <0时，有a （x 2－x 1）
x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)．
∴当a >0时，f (x )＝a
x (a ≠0)在(－∞，0)上是减函数；
当a <0时，f (x )＝a
x (a ≠0)在(－∞，0)上是增函数．
(2)同理，f (x )＝a
x (a ≠0)在(0，＋∞)上，
当a >0时是减函数， 当a <0时是增函数． 综上所述，函数y ＝a
x
(a ≠0)，
当a >0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数； 当a <0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.
[研一题]
[例2] 求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的增区间和减区间． [自主解答] y ＝－x 2＋2|x |＋3
＝⎩
⎪⎨⎪⎧－（x －1）2
＋4（x ≥0），－（x ＋1）2
＋4（x <0）. 函数图像如右图所示．
由图像可知：
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数， 函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0，1]， 单调减区间是[－1，0]，[1，＋∞)．
[悟一法]
(1)求函数单调区间的常用方法有：
①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的单调性判断；②图像法；③定义法；
(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．
[通一类]
2．求函数y ＝|x ＋1|＋|2－x |的单调区间． 解：函数可化为分段函数形式： y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2，
法一：由解析式可知函数的递增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)． 法二：作出y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2的图像，由图像观察得．
单调增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．
[研一题]
[例3] (1)已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫
34的大小； (2)已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围． [自主解答] (1)∵a 2
－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122
＋34≥3
4
， ∴3
4与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值． 又∵f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f (3
4
)≥f (a 2－a ＋1)；
(2)由题意可知⎩
⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，
－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.
∵f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，∴x －2＜1－x .∴x ＜3
2.
∴1≤x ＜3
2
为满足题设条件的x 的取值范围．
[悟一法]
(1)函数的单调性应用比较广泛，可利用单调性比较大小，求函数的最值，求参数的范围．
(2)利用函数的单调性求参数范围时，要注意数形结合思想的应用．
[通一类]
3．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减少的，求实数a 的取值范围． 解：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2 ＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3.
已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1. (1)求f (8)的值；
(2)求不等式f (x )－f (x －2)>3的解集．
[巧思] 解答本题关键是巧用f (xy )＝f (x )＋f (y )． (1)对x ，y 恰当赋值，用f (2)表示f (8)．
(2)将不等式转化成f (x )＞f (g (x ))的形式．再利用单调性进一步转化成关于x 的不等式组． [妙解] (1)由题意得f (8)＝f (4×2) ＝f (4)＋f (2)
＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3；
(2)原不等式可化为：f (x )＞3＋f (x －2)， ∵f (8)＝3，
∴3＋f (x －2)＝f (8)＋f (x －2) ＝f (8(x －2))．
∴f (x )＞f (8(x －2))的解集即为所求． ∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，8（x －2）＞0，x ＞8（x －2）， 解得2＜x ＜167
.
∴原不等式的解集为{x |2＜x ＜167
}．
1．下列函数中，在区间(0，3)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1
x
D ．y ＝－|x |
解析：可知，y ＝3－x 在(0，3)上为减函数，y ＝1
x 在(0，3)上为减函数，y ＝－|x |＝－x 在
(0，3)上为减函数．
答案：B
2．函数f (x )＝－x 2的单调增区间为( ) A ．(－∞，0]
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，＋∞)
D ．(0，＋∞)
解析：由f (x )＝－x 2的图像知，A 正确． 答案：A
3．函数y ＝(k ＋2)x ＋1在实数集上是减函数，则k 的范围是( ) A ．k >－2 B ．k ≤－2 C ．k ≥－2
D ．k <－2
解析：∵f (x )＝(k ＋2)x ＋1在R 上是减函数． ∴k ＋2<0，即k <－2. 答案：D
4．如图所示是定义在[－5，5)上的函数y ＝f (x )的图像．
则该函数的单调增区间是________________，减区间是____________． 答案：[－2，1]和[3，5) [－5，－2]和[1，3]
5．若f (x )是R 上的增函数，且f (x －1)＞f (2)，则x 的取值范围是________． 解析：由题得x －1＞2，得x ＞3，故x 的范围为{x |x ＞3}． 答案：{x |x ＞3}．
6．用增函数定义证明f (x )＝ax ＋b (a ＞0)是(－∞，＋∞)上的增函数． 证明：设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋b －(ax 1＋b ) ＝ax 2－ax 1＝a (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，
又a ＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＝a (x 2－x 1)＞0， ∴f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数．
一、选择题
1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有( ) ①y ＝|x | ②y ＝|x |x ③y ＝－x 2|x | ④y ＝x ＋x
|x |
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
解析：当x ∈(－∞，0)时，y ＝|x |＝－x ，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A 、D.
又y ＝|x |
x ＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故B 不正确．
答案：C
2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )<f (2a )
B ．f (a 2)<f (a )
C ．f (a 2＋a )<f (a )
D ．f (a 2＋1)<f (a )
解析：∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋3
4>0，∴a 2＋1>a ，
∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )． 答案：D
3．下列说法不．
正确的有( ) ①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数； ②函数y ＝1
x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；
③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；
④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是减函数．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：对于①中函数y ＝x 2，在R 上不具有单调性，故①不正确；
②中函数y ＝1
x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k ＝0
时，其在R 上不具有单调性，故③不正确；④中由于x 1，x 2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．
答案：D
4．若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f (－3
2)<f (－1)<f (2)
B ．f (－1)<f (－3
2)<f (2)
C ．f (2)<f (－1)<f (－3
2)
D ．f (2)<f (－3
2
)<f (－1)
解析：∵f (－x )＝f (x )，∴f (2)＝f (－2)， 又∵f (x )在(－∞，－1]上是增函数， 而－2<－32<－1，∴f (－2)<f (－3
2)<f (－1)，
即f (2)<f (－3
2)<f (－1)．
答案：D 二、填空题
5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜x ＜1，
x ，x ≥1的减区间是________．
解析：函数f (x )的图像如图实线部分所示． 则减区间是(0，1]． 答案：(0，1]
6．若函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1在[1，2]上单调递减，则a 的取值范围是______________． 解析：函数f (x )的图像的对称轴为x ＝a ，可知其图像开口向下，∵f (x )在[1，2]上单调递减，∴a ≤1.
答案：(－∞，1]
7．函数f (x )＝x
x ＋2在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为________．
解析：∵f (x )＝x x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2
x ＋2，
∴函数f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12
， f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23
. 答案：23 1
2
8．已知y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<11－a >2a －1，，解得：0<a <2
3
.
答案：(0，2
3)
三、解答题
9．已知函数f (x )＝|－x 2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1，3]上的最值．
解：函数f (x )＝|－x 2＋2|
＝⎩⎨⎧x 2
－2，x ∈（－∞，－2）∪（2，＋∞），2－x 2，x ∈[－2，2].
作出函数的图像如图所示．
由图可知函数f (x )＝|－x 2＋2|的单调增区间为[－2，0]和[2，＋∞); 单调减区间为(－∞，－2)和[0，2]．
在区间[1，3]上，由图像可知函数的最小值为f (2)＝0，最大值为f (3)＝7. 10．已知f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在R 上的函数，且满足f (12)＝2
5，f (0)＝0.
(1)求实数a 、b 的值，并确定f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增加的． 解：(1)由f (12)＝2
5，f (0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1
2a ＋b （12
）2
＋1＝25，b ＝0，
得a＝1，b＝0，∴f(x)＝x
x2＋1
.
(2)证明：在(－1，1)上任取－1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)－f(x1)＝
x2
x22＋1
－
x1
x21＋1
＝x2x21＋x2－x1x22－x1
（x22＋1）（x21＋1）＝
x1x2（x1－x2）＋（x2－x1）（x22＋1）（x21＋1）
＝（x2－x1）（1－x1x2）（x22＋1）（x21＋1）
.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴－1＜x1x2＜1，x2－x1＞0，
1－x1x2＞0，x22＋1＞0，x21＋1＞0，∴f(x2)－f(x1)＞0.
∴f(x)在(－1，1)上是增加的．。