【配套K12】九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版3

北京市东城区六校联盟2016届九年级数学上学期期中试题
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．本题共30分，每题3分）
1．观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．下列事件是随机事件的是( )
A．明天太阳从东方升起
B．任意画一个三角形，其内角和是360°
C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D．射击运动员射击一次，命中靶心
3．有8个型号相同的足球，其中一等品5个，二等品2个和三等品1个，从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是( )
A．B．C．D．
4．已知△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为( ) A．2 B．4 C．8 D．16
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于( )
A．130°B．120°C．80° D．60°
6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( )
A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3
7．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，则∠D等于( )
A．25° B．35° C．55° D．70°
8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
9．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1=0有实数根，那么m的取值范围是( ) A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5
10．矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A． B． C．
D．
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．如果=，那么__________．
12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式__________．
13．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB，CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么∠BAC=__________°．
14．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=__________．
15．如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB 于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是__________．
16．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为__________；当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为__________．
三、填空题（本题共30分，每题5分）
17．解方程：x2﹣4x﹣5=0
18．已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C．
（1）在网格中画出△A1B1C；
（2）直接写出点B运动到点B1所经过的路径的长．
19．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，AB=4，CE=1，求⊙O半径长．
20．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=3，DB=6，求AC的长．
21．已知：二次函数的图象过点A（2，﹣3），且顶点坐标为C（1，﹣4）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）直接写出：当y≤0时，x的取值范围．
22．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色
相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．
请用画树状图或列表的方法，用概率说明游戏是否公平．
四、解答题（本题共20分，每题5分）
23．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值．
24．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D 作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
26．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，△A1B1C1∽△ABC，则称△A1B1C1与△ABC互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，△A2B2C2∽△ABC，则称△A2B2C2与△ABC互为异相似．
（1）在图3、图4和图5中，△ADE∽△ABC，△HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中△ADE 与△ABC互为__________相似，△HXG与△HGF互为__________相似，△OPQ与△OMN互为__________相似；
（2）在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有__________条．
五、解答题（本题共22分，第27，28每题7分，第29题8分）
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点（B在C左侧）．点A的纵坐标是3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AB的解析式；
（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G．若直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围．
28．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，
使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是__________；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．
29．定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若P（1，2），Q（4，2）．
①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是__________；
②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．
（2）若P（0，0），PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．
2015-2016学年北京市东城区六校联盟九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．本题共30分，每题3分）
1．观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列事件是随机事件的是( )
A．明天太阳从东方升起
B．任意画一个三角形，其内角和是360°
C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A错误；
B、任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件，故B错误；
C、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰是必然事件，故C错误；
D、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．有8个型号相同的足球，其中一等品5个，二等品2个和三等品1个，从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是( )
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：在8只型号相同的足球中，一等品有5个，
则从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是P=，
故选：D．
【点评】此题主要考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．已知△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为( ) A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．
【解答】解：设△DEF的周长为x，
∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴4：x=1：2，
解得，x=8．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于( )
A．130°B．120°C．80° D．60°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC=180°，又由∠ADC+∠ADE=180°，即可求得∠B=∠ADE=120°．
【解答】解：∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADE=120°．
故选B．
【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( )
A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，
故选：C．
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
7．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，则∠D等于( )
A．25° B．35° C．55° D．70°
【考点】圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可求得答案．
【解答】解：∵∠BOC=70°，
∴∠D=∠BOC=35°．
故选B．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】位似变换．
【专题】计算题．
【分析】根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理
得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．
【解答】解：∵C1为OC的中点，
∴OC1=OC，
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴=，B1C1∥BC，
∴=，
∴=，
即=
∴A1B1=2．
故选B．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
9．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1=0有实数根，那么m的取值范围是( ) A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1=0有实数根，a=1，b=﹣1，c=m﹣1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得m≤5．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10．矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A． B． C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】分段函数，当x≤2和2＜x≤4时，分别列出函数表达式，即可了解y与x的函数关系的图象．
【解答】解：当x≤2时，y=2x，是一次函数；
当2＜x≤4时，y=2x﹣=﹣2x+16﹣，是一次函数与反比例函数的叠加函数．只有A符合条件．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能够分段列出函数表达式是解决问题的关键．二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．如果=，那么=．
【考点】比例的性质．
【分析】根据分比性质，可得答案．
【解答】解：=，由分比性质，得
=，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质：=⇒=．
12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式y=﹣x2+2．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．
【解答】解：抛物线解析式为y=﹣x2+2（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣x2+2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．
13．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB，CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么∠BAC=28°．
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据平行线的性质，由AB′∥CB得到∠B′AC=∠D=28°，然后根据旋转的性质求解．
【解答】解：∵AB′∥CB，
∴∠B′AC=∠D=28°，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，
∴∠BAC=∠B′AC=28°．
故答案为28．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使
△ADE与原三角形相似，那么AE=或．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】计算题．
【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．
【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：
AE，∴AE=；
第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．
故答案为：或．
【点评】考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．
15．如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB
于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是4﹣π．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】连结AD，根据切线的性质得AD⊥B C，则S△ABC=AD•BC，然后利用S阴影部分=S△ABC﹣S 扇形AEF和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：连结AD，如图，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=AD•BC，
∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF
=×2×4﹣
=4﹣π．
故答案为4﹣π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了扇形的面积公式．
16．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为（0，3）．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型．
【分析】动点的反弹与光的反射入射是一个道理，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，因此，点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4），将2016除以6得到336，且没有余数，说明点P第2016次碰到矩形的边时为第336个循环组的第6次反弹，因此点P的坐标为（0，3）．
【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
可知：
当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；
故答案为：（1，4）；
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2016÷6=336，
当点P第2016次碰到矩形的边时为第336个循环组的第6次反弹，点P的坐标为（0，3）．【点评】题目考查了平面直角坐标系中点的规律变化，解决此类问题应该掌握以下知识点：1深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义．
2探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律．
3探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
掌握了这些知识点，学生解决此类问题就很轻松了．
三、填空题（本题共30分，每题5分）
17．解方程：x2﹣4x﹣5=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】观察原方程，可将方程左边配成一个完全平方式，然后用配方法求解；也可依据二次三项式的因式分解法进行求解．
【解答】解：（1）x2﹣4x+4=5+4
x﹣22=9
x﹣2=3或x﹣2=﹣3
x1=5，x2=﹣1；
（2）（x﹣5）（x+1）=0
x﹣5=0或x+1=0
x1=5，x2=﹣1．
用公式法解酌情给分
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C．
（1）在网格中画出△A1B1C；
（2）直接写出点B运动到点B1所经过的路径的长．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C即可；
（2）先根据勾股定理求出CB的长，再由弧长公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；
（2）∵BC==2，
∴点B运动到点B1所经过的路径的长==π．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质及弧长公式是解答此题的关键．
19．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，AB=4，CE=1，求⊙O半径长．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，由垂径定理可知AE=AB=2，OE=OC﹣CE=r﹣1，OA=r，在Rt△AOE中，利用勾股定理求r即可．
【解答】解：连接OA，如图所示：
设⊙O半径长为r，
∵CD⊥AB，
∴AE=AB=2，
又∵OE=OC﹣CE=r﹣1，OA=r，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
即22+（r﹣1）2=r2，
解得r=2.5，
即⊙O半径长为2.5．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的运用．连接半径，将问题转化到直角三角形中，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
20．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=3，DB=6，求AC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．
【解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，
∵AD=3，AB=6，
∴，
∴AC2=18，
∴AC=3．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键在于熟记各种判定方法，难点在于找对应边．
21．已知：二次函数的图象过点A（2，﹣3），且顶点坐标为C（1，﹣4）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）直接写出：当y≤0时，x的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a即可；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题确定抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线不在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把A（2，﹣3）代入得a﹣4=﹣3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4；
（2）当y=0时，（x﹣1）2﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=3，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
所以当﹣1≤x≤3时，y≤0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色
相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．
请用画树状图或列表的方法，用概率说明游戏是否公平．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次指针指到的颜色相同的结果数和两次指针指到的颜色是黄绿组合的结果数，则可根据概率公式计算甲、乙获胜的概率，然后比较概率的大小即可判断游戏是否公平．
【解答】解：这个游戏不公平．理由如下：
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次指针指到的颜色相同的结果数为3，两次指针指到的颜色是黄绿组合的结果数为2，
所以甲获胜的概率==，乙获胜的概率=，
因为＞，
所以这个游戏不公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．
四、解答题（本题共20分，每题5分）
23．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；
（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．
【解答】（1）证明：△=[﹣（m+1）]2﹣4m=（m﹣1）2．
∵（m﹣1）2≥0，
∴△≥0．
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：x=．
∴x1=1，x2=．
当m为整数1或﹣1时，x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数，
∴m的值为1或﹣1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解题的关键，即△＞0⇔方程有两个不相等的实数根，△=0⇔方程有两个相等的实数根，△＜0⇔方程无实数根．
24．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应
利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得
y=（100﹣5x）（2x+4），
y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；
答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；
（2）∵y=﹣10x2+180x+400，
∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．
∵1≤x≤10的整数，
∴x=9时，y最大=1210．
答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．【点评】本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D 作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
【考点】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接OD，根据等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得∠OCD+∠CFO=90°，而∠EFD=∠FDE，则∠CDO+∠CDE=90°，从而证得GE是⊙O的切线．
（2）先求得EF=1，设DE=EF=x，则OF=x+1，在Rt△ODE中，根据勾股定理求得DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，根据相似三角形对应边成比例即可求得．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90°，
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，
∵∠EFD=∠FDE，
∠EFD=∠CDE，
∴∠CDO+∠CDE=90°，
∴GE为⊙O的切线；
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD2+DE2=OE2，
∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴=，即=，
∴AG=6．
【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
26．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，△A1B1C1∽△ABC，则称△A1B1C1与△ABC互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，△A2B2C2∽△ABC，则称△A2B2C2与△ABC互为异相似．
（1）在图3、图4和图5中，△ADE∽△ABC，△HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中△ADE 与△ABC互为同相似，△HXG与△HGF互为逆相似，△OPQ与△OMN互为同相似；
（2）在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有1或2条．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据互为同相似和互为逆相似的定义即可作出判断；
（2）根据点P在点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），需要分类讨论，逐一分析求解．【解答】解：（1）△ADE与△ABC互为同相似，△HXG与△HGF互为逆相似，△OPQ与△OMN 互为同相似，
故答案为：同，逆，同；
（2）如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M．
当点P在AM（不含点M）上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q 与△ABC互为逆相似；
当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似．
故点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有1或2条，
故答案为：1或2．
【点评】主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中“同相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．
五、解答题（本题共22分，第27，28每题7分，第29题8分）
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于。