2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明章末检测试卷 新人教A版选修2-2

第二章推理与证明
章末检测试卷(二)
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程( )
A．归纳推理B．类比推理
C．演绎推理D．以上答案都不对
考点演绎推理的含义与方法
题点演绎
答案 C
解析根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理．
2．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确D．推理形式错误
考点“三段论”及其应用
题点大前提错误导致结论错误
答案 A
解析f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，故选A.
3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数有以下说法：
①四个数可能都是正数；
②四个数可能都是负数；
③四个数中既有正数又有负数．
以上说法中正确的个数为( )
A．0 B．1
C ．2
D ．3
考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 B
解析 可用反证法推出①②不正确，因此③正确．
4．在等差数列{a n }中，若a n <0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是( ) A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7 B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8 C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8 D ．b 4＋b 5>b 7＋b 8 考点 类比推理的应用
题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案 A
5．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2
－2－4＝2，…，依照以
上各式的规律可得( ) A.n
n －4＋8－n (8－n )－4
＝2 B.n ＋1
(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4
＝2
C.n
n －4＋n ＋4(n ＋1)－4
＝2 D.
n ＋1
(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4
＝2
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 A
解析
从各个等式可以看出，等式的右端均为2，左端为两个式子的和，且两个式子的分子
之和恒等于8，分母为相应分子减去4，所以可得
n
n －4＋8－n (8－n )－4
＝2. 6．设{a n }，{b n }是两个等差数列，若c n ＝a n ＋b n ，则{c n }也是等差数列，类比上述性质，设{s n }，{t n }是等比数列，则下列说法正确的是( ) A ．若r n ＝s n ＋t n ，则{r n }是等比数列 B ．若r n ＝s n t n ，则{r n }是等比数列 C ．若r n ＝s n －t n ，则{r n }是等比数列 D ．以上说法均不正确 考点 类比推理的应用
题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案 B
解析 在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘．故由“{a n }，{b n }是两个等差数列，若c n ＝a n ＋b n ，则{c n }是等差数列”，类比推理可得：“设{s n }，{t n }是等比数列，若r n ＝s n t n ，则{r n }是等比数列”．故选B.
7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2
－ac <3a ”索的因应是( )
A ．a －b >0
B ．a －c <0
C ．(a －b )(a －c )>0
D ．(a －b )(a －c )<0 考点 分析法及应用
题点 寻找结论成立的充分条件 答案 C
解析 要证明b 2
－ac <3a ，只需证b 2
－ac <3a 2
，只需证(a ＋c )2
－ac <3a 2
，只需证－2a 2
＋ac ＋c 2<0，即证2a 2－ac －c 2
>0，即证(a －c )·(2a ＋c )>0，即证(a －c )(a －b )>0. 8．某同学在纸上画出如下若干个三角形：
△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……
若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中▲的个数是( ) A ．62 B ．63 C ．64 D ．61
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A
解析 前n 个▲中所包含的所有三角形的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝
n (n ＋3)
2
，由
n (n ＋3)
2
＝
2 015，解得n ＝62.
9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *
都成立，那么a ，b ，c 的值为( )
A ．a ＝12，b ＝c ＝14
B ．a ＝b ＝c ＝14
C ．a ＝0，b ＝c ＝1
4 D ．不存在这样的a ，b ，c
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 A
解析
令n ＝1,2,3，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.
所以a ＝12，b ＝c ＝14
.
10．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )
A ．假设2是有理数
B ．假设3是有理数
C ．假设2或3是有理数
D ．假设2＋3是有理数 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 D
解析 应对结论进行否定，则2＋3不是无理数， 即2＋3是有理数．
11．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 考点 类比推理的应用
题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C
解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③一定属于相似体．
12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016等于( )
A.1 B ．2 C ．4 D ．5
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数列中的应用 答案 D
解析 x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，x 6＝f (2)＝1，x 7＝f (1)＝4，x 8＝f (4)＝5，x 9＝f (5)＝2，…，所以数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n 2
＝
n 4＋n 2
2
”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左端需要
增加的代数式为________________________． 考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步：归纳递推
答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2
解析 当n ＝k 时，等式的左端为1＋2＋3＋…＋k 2
，当n ＝k ＋1时，等式的左端为1＋2＋3
＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2
. 14．已知a >0，b >0，m ＝lg
a ＋b
2
，n ＝lg
a ＋b
2
，则m ，n 的大小关系是________．
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题 答案 m >n 解析 ab >0⇒
ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒(a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒a ＋b
2
>
a ＋
b 2
⇒lg
a ＋
b 2
>lg
a ＋b
2
.
15．古埃及数学中有一个独特现象：除了2
3用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若
干个分数和的形式，例如25＝13＋1
15.可以这样来理解：假定有2个面包，要平均分给5个人，
每人分13将剩余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.同理可得27＝14＋128，
29＝15＋145，…，按此规律，则211＝________，2
n
＝________(n ＝5,7,9,11，…)．
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 16＋166 1n ＋12＋1n (n ＋1)
2
解析 由25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋1
45得，当n ＝5,7,9时，等号右边第一个分数的分母分
别为3,4,5，第二个分数的分母分别是等号左边分数的分母与等号右边第一个分数分母的乘积．
16.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2
4.类比到空间，有两个棱长
为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
考点 类比推理的应用
题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案
a 3
8
解析 解法的类比(特殊化)，可得两个正方体重叠部分的体积为a 3
8.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用
解 假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n . ∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数．
∴左边为有理数，右边为无理数，m ＝(3＋1)n 不成立，矛盾． ∴假设不成立，即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项．
18．(12分)已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2
－ab . 考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证c －c 2
－ab <a <c ＋c 2
－ab ，
只需证－c 2－ab <a －c <c 2
－ab ，
即证|a －c |<c 2
－ab ，
只需证(a －c )2<(c 2－ab )2
，
只需证a 2－2ac ＋c 2<c 2
－ab ，
即证2ac >a 2
＋ab ，因为a >0，所以只需证2c >a ＋b . 因为2c >a ＋b 已知，所以原不等式成立．
19．(12分)已知A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，(1＋tan A )·(1＋tan B )＝2.求证：A ＋B
＝45°.
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
证明 因为(1＋tan A )(1＋tan B )＝2， 展开化简为tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . 因为A ＋B ≠90°，tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B
1－tan A tan B
＝1，
又因为A ，B 都是锐角，
所以0°<A ＋B <180°，所以A ＋B ＝45°.
20．(12分)某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：
①1＋3<22；②2＋4<23；③3＋5<2 4.
(1)已知2∈(1.41,1.42)，3∈(1.73,1.74)，5∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)； (2)请将此规律推广至一般情形，并证明． 考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数对(组)的应用
解 (1)验证①式成立：∵3<1.74，∴1＋3<2.74， ∵2>1.41，∴22>2.82，∴1＋3<2 2.
(2)一般结论为：若n ∈N *
，
则n ＋n ＋2<2n ＋1，证明如下： 要证n ＋n ＋2<2n ＋1，
只需证(n ＋n ＋2)2<(2n ＋1)2
， 即证2n ＋2＋2n ·n ＋2<4n ＋4， 即证n ·n ＋2<n ＋1，
只需证n (n ＋2)<n 2
＋2n ＋1，即证0<1，显然成立．
故n ＋n ＋2<2n ＋1.
21．(12分)在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c
＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论． 考点 类比推理的应用
题点 平面几何与立体几何之间的类比
解 类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，p d ，且相应各面上的高分别为h a ，h b ，h c ，h d . 则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d
＝1. 证明：p a h a ＝1
3S △BCD ·p a
1
3S △BCD ·h a
＝
V P －BCD
V A －BCD
，
同理有p b h b ＝
V P －CDA V B －CDA ，p c h c ＝V P －BDA V C －BDA ，p d h d ＝V P －ABC
V D －ABC
，
又V P －BCD ＋V P －CDA ＋V P －BDA ＋V P －ABC ＝V A －BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝
V P －BCD ＋V P －CDA ＋V P －BDA ＋V P －ABC
V A －BCD
＝1.
22．(12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－1a ，a >0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )的表达式．
(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4. (3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 考点 数学归纳法证明数列问题
题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)∵f (1)＝log 162＝1
4
，f (－2)＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋1(a ＋1)2
＝14，－2b ＋1(－2a ＋1)2
＝1，
解得a ＝1，b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－13，b ＝－89舍去， ∴f (x )＝1
(x ＋1)2(x ≠－1)．
(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝3
4
，
x 2＝[1－f (1)][1－f (2)]＝34×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－19
＝23
，
x 3＝23(1－f (3))＝23
×⎝
⎛
⎭⎪⎫1－116＝58
，
x 4＝5
8
×⎝
⎛⎭⎪⎫1－125
＝35
.
(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝5
8
，
x 4＝35＝610
，…，
由此可以猜想x n ＝n ＋2
2(n ＋1)
.
证明：①当n ＝1时， ∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，
∴猜想成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)
成立，
即x k＝k＋2
2(k＋1)
，则当n＝k＋1时，
x k＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))·(1－f(k＋1)) ＝x k·(1－f(k＋1))
＝
k＋2
2(k＋1)
·
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
1－
1
(k＋1＋1)2
＝
k＋2
2(k＋1)
·
(k＋1)(k＋3)
(k＋2)2
＝1
2
·
k＋3
k＋2
＝
(k＋1)＋2
2[(k＋1)＋1]
.
∴当n＝k＋1时，猜想也成立，
根据①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝n＋2
2(n＋1)
都成立．。