2018-2019学年高二数学必修四教学案：第三章 章末小结与测评

一、三角恒等变形公式 1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2
α＝1；商数关系：tan α＝sin αcos α
.
(2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin 2
α＋cos 2
α＝1；切化弦；sin α±cos α平方整体代换．
2．和(差)角公式
(1)公式C α－β，C α＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式S α－β，S α＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；T α±β的符号规律为“分子同，分母反”．
(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．
3．二倍角公式
(1)分别令公式C α＋β，S α＋β，T α＋β中的α＝β，即得公式C 2α，S 2α，T 2α.
(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．
(3)公式变形
升幂公式：cos 2α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α，1＋cos 2α＝2cos 2
α，1－cos 2α＝2sin 2
α.
降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2.
4．半角公式
半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由α
2所在的象限确定相应三角函数
值的符号．
二、公式的应用途径
(1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的．
(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开．
(3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论．如 ①1－sin 2
α＝cos 2
α，1－cos 2
α＝sin 2
α；
②tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， 1－tan αtan β＝tan α＋tan β
tan （α＋β）
；
③sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α
2sin α；
④sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2
α＝1＋cos 2α2；
⑤2tan α＝tan 2α(1－tan 2
α)等． 三、常见的三角恒等变形
(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型． (2)应用公式进行三角函数式的化简． (3)应用公式进行三角函数式的证明． 注意的问题 (1)“1”的代换
在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”．例如，1＝sin 2α＋cos 2α，1＝tan π4
，1＝cos 2α＋2sin 2α，1＝2cos 2
α－cos 2α等．
(2)辅助角公式
辅助角公式几乎高考必考，即a sin α＋b cos α＝
a 2＋
b 2sin(α＋φ)(tan φ＝b
a
)．常见的有以下几个：
sin α±cos α＝2sin(α±π4)，3sin α±cos α＝2sin(α±π
6)，sin α±3cos α
＝2sin(α±π
3
)．
四、三角恒等变形技巧
常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”
入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化．
[典例1] (江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π
12)的值为________．
[解析] 因为α为锐角，cos(α＋π6)＝4
5，
所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝24
25，
cos2(α＋π6)＝7
25
，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4
＝
22×1725＝172
50
. [答案]
172
50
[借题发挥] 1.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．
2．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝α＋(α－β)，β＝α＋β2－α－β2，(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，(α＋π4)＋(β－π4)＝α
＋β，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细地观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程．
[对点训练]
1．已知sin(π4－α)sin(π4＋α)＝26(0<α<π
2
)，求sin 2α的值．
解：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋α＝cos ⎝ ⎛⎦
⎥⎤π4＋α，
∴
26＝sin(π4－α)sin(π4＋α)＝sin(π4＋α)cos(π
4
＋α) ＝12sin(π
2＋2α) ＝1
2cos 2α， ∴cos 2α＝
23.∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴sin 2α＝73
.
[典例2] 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－11
14，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.
[解] ∵0°<α<90°，且tan α＝sin α
cos α＝43，
sin 2
α＋cos 2
α＝1， ∴cos α＝17，sin α＝43
7
.
∵cos(α＋β)＝－11
14，0°<α＋β<180°，
∴sin(α＋β)＝
1－（－1114）2＝53
14
.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝1
2.
又∵0°<β<90°，∴β＝60°.
[借题发挥] 1.“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角．
2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，π
2
)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－π2，π
2
)，选择求所求角的正弦函数值．
[对点训练]
2．在△ABC 中，如果4sin A ＋2cos B ＝1，2sin B ＋4cos A ＝33，则角C 的大小为________． 解析：由4sin A ＋2cos B ＝1， 2sin B ＋4cos A ＝33， 两边平方相加得sin(A ＋B )＝12.
如果A ＋B ＝π6，则B <π
6
，
∴cos B >1
2与条件4sin A ＋2cos B ＝1矛盾．
∴A ＋B ＝5π6，C ＝π
6.
答案：π
6
[典例3] 化简：2cos 2
α－1
2tan （π4－α）sin 2
（π4＋α）
.
[解] 法一：原式＝
2cos 2
α－1
2sin （π
4－α）
cos （π4
－α）
·sin 2
（π4＋α）
＝
2cos 2
α－1
2sin （π
4－α）
cos （π4
－α）
·cos 2
（π4－α）
＝2cos 2
α－1sin （π2－2α）
＝cos 2αcos 2α＝1.
法二：原式＝
cos 2α
2×1－tan α1＋tan α（22sin α＋22
cos α）2
＝
cos 2α
cos α－sin αcos α＋sin α
（sin α＋cos α）
2
＝cos 2α
（cos α－sin α）（cos α＋sin α）
＝
cos 2αcos 2α－sin 2
α＝cos 2α
cos 2α
＝1. [借题发挥]
1．三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方、去根号．
2．由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中， 应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数式的化简与证明．
[对点训练]
3．求证：tan （α＋β）－tan α1＋tan βtan （α＋β）＝sin 2β
2cos 2
α
.
证明：tan(α＋β)－tan α＝sin （α＋β）cos （α＋β）－sin α
cos α
＝sin （α＋β）cos α－sin αcos （α＋β）
cos （α＋β）cos α
＝
sin β
cos （α＋β）cos α
.
1＋tan βtan(α＋β)＝1＋sin βcos β·sin （α＋β）
cos （α＋β）
＝cos βcos （α＋β）＋sin βsin （α＋β）
cos βcos （α＋β）
＝
cos （α＋β－β）cos βcos （α＋β）＝cos α
cos βcos （α＋β）
.
∴左边＝sin βcos βcos （α＋β）cos 2αcos （α＋β）＝sin 2β
2cos 2
α＝右边．
[典
例4] (山东高考)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝(3A cos x ，A
2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n
的最大值为6.
(1)求A ；
(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．
[解] (1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A
2cos 2x
＝A (
32sin 2x ＋1
2
cos 2x ) ＝A sin(2x ＋π
6)．
因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π
6
)．
将函数y ＝f (x )的图像向左平移π
12
个单位后得到
y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋π12＋π6
＝6sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π3的图像；
再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π
3)的图像．
因此g (x )＝6sin(4x ＋π
3
)．
因为x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，
故g (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]． [借题发挥]
1．以向量为背景，综合考查向量、三角恒等变形、三角函数的性质是近几年高考的热点问题．解决此类问题要注意三角恒等变形中由于消项、约分、合并等原因，可能使函数定义域发生变化，所以要在变换前注意三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．
2．三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝
A cos(ωx ＋φ)的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．
[对点训练]
4．(广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝ 2.
(1)求A 的值；
(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．
解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，
f ⎝
⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因
为β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
所以sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－15
17×35＝－13
85
.
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．计算sin 21°cos 9°＋sin 69°sin 9°的结果是( )
2
A.
32 B.12
C ．－12
D ．－32
解析：选B 原式＝sin 21°cos 9°＋sin(90°－21°)sin 9° ＝sin 21°cos 9°＋cos 21°sin 9° ＝sin 30°＝12
.
2．(辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22
C.
2
2
D ．1 解析：选A ∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2
＝2， ∴sin 2α＝－1.
3．(重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2
－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
解析：选A 依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.
则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝3
1－2＝－3.
4．若tan α＝2，则2sin α－cos α
sin α＋2cos α的值为( )
A ．0 B.5
4
C ．1 D.3
4
解析：选D 原式＝2tan α－1
tan α＋2
＝
2×2－12＋2＝3
4
. 5．(山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )
A.35
B.4
5 C.
74 D.34
解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2
θ＝916，所以sin θ＝34.
6．已知sin(π4－x )＝3
5，则sin 2x 的值为( )
A.725
B.16
25 C.
1425 D.1925
解析：选A sin 2x ＝cos(
π
2
－2x ) ＝cos 2(π4－x )＝1－2sin 2(π
4－x )
＝1－1825＝7
25
.
7．若α，β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝3
5，则cos β的值为( )
A.255
B.25
25
C.
255或2525 D ．－2525
解析：选B 由sin α＝255，α为锐角知cos α＝55.
∵sin α＝255>sin(α＋β)＝3
5，
∴α＋β∈(π
2，π)，
∴cos(α＋β)＝－4
5
.
∴cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin αsin (α＋β)＝25
25.
8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2
x 的图像的一个对称中心是( ) A ．(π3，－32) B ．(2π3，－32)
C ．(2π3，32)
D ．(π3，32
)
解析：选D y ＝12sin 2x ＋3（1＋cos 2x ）2
＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋3
2 ＝sin(2x ＋π3)＋32
，
当x ＝π3时，sin (2×π3＋π
3)＝0.
∴(π3，3
2
)是函数图像的一个对称中心．
9．(江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )
A.15
B.14
C.13
D.12
解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2
θtan θ＝4，
∴4tan θ＝1＋tan 2
θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θ
sin 2 θ＋cos 2
θ
＝
2tan θ1＋tan 2
θ＝2tan θ4tan θ＝1
2
. 法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2
sin 2θ
∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝1
2
.
10．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x cos x sin 6
5π的递增区间是( )
A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π10，k π＋35π(k ∈Z )
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π20，k π＋720π(k ∈Z ) C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π10，2k π＋35π(k ∈Z ) D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－25π，k π＋π10(k ∈Z ) 解析：选D y ＝cos 2x cos π5＋sin 2x sin π5＝cos(2x －π
5)．
∴2k π－π≤2x －π
5≤2k π，k ∈Z .
∴k π－25π≤x ≤k π＋π
10
，k ∈Z .
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，则tan(π
4＋α)等于________．
解析：由已知得tan α＝－3
4
，
所以tan(π
4＋α)＝1－341＋34＝17
.
答案：17
12．已知sin θ2＋cos θ2＝23
3
，那么cos 2θ的值为________．
解析：(sin θ2＋cos θ2)2＝1＋sin θ＝43，sin θ＝13，cos 2θ＝1－2sin 2
θ＝79.
答案：7
9
13．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos A ＋2cos B ＋C
2
取得最大值，且
这个最大值为________．
解析：cos A ＋2cos
B ＋C
2＝cos A ＋2sin A
2
＝1－2sin 2
A 2＋2sin A
2
＝－2sin 2
A 2＋2sin A
2
－1 ＝－2(sin A 2－12)2＋3
2，
当sin A 2＝1
2
，即A ＝60°时，
得(cos A ＋2cos B ＋C
2)max ＝32
. 答案：60° 3
2
14．已知α是第二象限角，且sin α＝15
4，则sin （α＋π
4）
sin 2α＋cos 2α＋1＝________．
解析：∵α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2
α＝－14
.
sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）
2cos α（sin α＋cos α）＝2
2
2cos α＝－ 2.
答案：－ 2
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)化简
sin （2α＋β）
sin α
－2cos(α＋β)．
解：法一：原式＝sin[（α＋β）＋α]
sin α－2cos(α＋β)
＝sin （α＋β）cos α＋cos （α＋β）sin α
sin α－2cos(α＋β)
＝sin （α＋β）cos α
sin α－cos(α＋β)
＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α
sin α
＝
sin[（α＋β）－α]sin α＝sin β
sin α
.
法二：原式＝
sin 2αcos β＋cos 2αsin β－2（cos αcos β－sin αsin β）sin α
sin α
＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－sin 2αcos β＋2sin 2
αsin βsin α.
＝（1－2sin 2
α）sin β＋2sin 2
αsin βsin α
＝sin β
sin α
. 16．(本小题满分12分)已知sin(5π＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，tan β＝1
2.
(1)求tan(α－β)的值； (2)求sin(2α＋π
3)的值．
解：(1)由条件得sin α＝3
5.
又α∈(π2，π)，所以tan α＝－3
4.
故tan (α－β)＝－34－1
2
1＋（－34）×
1
2＝－2.
(2)由条件得sin α＝3
5
.
又α∈(π2，π)，得cos α＝－4
5.
所以sin 2α＝2×35×(－45)＝－24
25，
cos 2α＝(－45)2－(35)2＝7
25
.
故sin(2α＋π3)＝－2425×12＋725×32＝73－24
50.
17．(本小题满分12分)(北京高考)已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2x
sin x
.
(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．
解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{}x ∈R |x ≠k π，k ∈Z . 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x
sin x
＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin(2x －π
4)－1，
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π
2，x ≠k π(k ∈Z )，
得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π
8
(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．
18．(安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．
解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．
(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4
＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2
ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋
2.
因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π
2ω＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π
8时，f (x )单调递增； 当
π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π
2
时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8，π2上单调递减．
模块综合检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)
1．已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α的值等于( )
A ．－35 B.3
5
C.45 D ．－45 解析：选C sin α＝
4
（－3）2＋42
＝4
5
. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－
33 B.3
3
C ．－ 3 D. 3
解析：选D 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ
＝ 3.
3．已知cos α＝35，0＜α＜π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )
A.15
B.1
7
C ．－1
D ．－7
解析：选D 因为cos α＝35＞0，0＜α＜π，所以0＜α＜π
2，sin α＞0，所以sin α＝
45，故tan α＝43，所以tan(α＋π
4)＝tan α＋tan
π
4
1－tan α·tan π4＝4
3＋11－
4
3
＝－7. 4．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移1
2个单位
D ．向右平移1
2
个单位
解析：选C y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位后即变成y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝cos(2x ＋1)的图像．
5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
C ．(－∞，－2)
D ．(－2，2)
解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝1
2，此时a ，b 方向相同夹角为0°，所以要使a
与b 的夹角为锐角，则有a ·b ＞0且a ，b 不共线．由a ·b ＝2＋k ＞0得k ＞－2，且k ≠1
2，即实
数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞，选B.
7．函数y ＝sin (ωx ＋φ)(x∈R ，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )
A ．ω＝π2，φ＝π
4
B ．ω＝π3，φ＝π
6
C ．ω＝π4，φ＝π
4
D ．ω＝π4，φ＝5π
4
解析：选C ∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π
4.
又∵π4×1＋φ＝π2，
∴φ＝π4.
8．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22
cos(π－α)等于( )
A.225 B ．－2
5 C.
25 D ．－225
解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)
＝
22sin α＋22cos α＋22cos α＝2
2
sin α＋2cos α.
∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－3
5.
∴
22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25
.
10．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是( )
A ．2
B ．1＋ 2
C ．π
D ．4
11．设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)的最小正周期为π，且f(－
x)＝f(x)，则( )
A ．f(x)在⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
单调递减
B ．f(x)在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，
3π4单调递减 C ．f(x)在⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
单调递增 D ．f(x)在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，
3π4单调递增 解析：选A y ＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin (ωx ＋φ＋π
4)，由最小正周期为π
得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π
4
，
所以y ＝2cos 2x ，在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减．
.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 13．已知cos x ＝2a －3
4－a ，x 是第二、三象限的角，则a 的取值范围为________．
解析：－1＜cos x ＜0，－1＜2a －3
4－a ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧2a －34－a ＜0，2a －3
4－a ＞－1.
∴－1＜a ＜3
2.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－1，32 14．已知e 1、e 2是夹角为2π
3
的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数
k 的值为________．
解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 2
1＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 2
2＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54
. 答案：54
15．y ＝3－
2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的定义域为________． 解析：∵2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6≥0，
∴2k π－π2≤3x ＋π6≤2k π＋π
2，
∴23k π－2π9≤x ≤23k π＋π
9
(k ∈Z )，
函数的定义域为{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π
9，k ∈Z }．
答案：{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π
9，k ∈Z }
16．有下列四个命题：
①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；
③函数y ＝sin 2
x －sin x
sin x －1
是奇函数；
④函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数．
其中正确命题的序号为________．
解析：α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的
最小正周期为T ＝
2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±1
2
，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠2k π＋π
2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数
y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π2
＝－
sin(π
2
－x )＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．
答案：④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)化简：sin （540°－x ）
tan （900°－x ）·
1tan （450°－x ）tan （810°－x ）·cos （360°－x ）
sin （－x ）
.
解：原式＝sin （180°－x ）tan （－x ）·1tan （90°－x ）tan （90°－x ）·cos x sin （－x ）＝sin x －tan x
·tan
x ·tan x ·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
1tan x ＝sin x .
18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35.
(1)求sin α的值；
(2)求式子
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2
－αsin ()
α＋π
·tan （α－π）
cos （3π－α）
的值．
解：(1)∵|OP |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫452
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－352
＝1，
∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－3
5.
(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1
cos α.
由(1)得sin α＝－3
5，P 在单位圆上，
∴由已知得cos α＝45，∴原式＝5
4
.
19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin(2x －π6)＋2cos 2
x .
(1)求f (x )的最小值及最小正周期； (2)求使f (x )＝3的x 的取值集合．
解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2
x ＝sin 2x ·cos π6＋cos 2x sin π6＋sin
2x ·cos π6－cos 2x ·sin π
6
＋cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，
∴f (x )min ＝2×(－1)＋1＝－1， 最小正周期T ＝2π|ω|＝2π
2
＝π.
(2)∵f (x )＝3，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，
∴2x ＋π6＝2k π＋π
2，k ∈Z ，
∴x ＝k π＋π
6
，k ∈Z ，
∴使f (x )＝3的x 的取值集合为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z
∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，整理得x ＋2y ＝0.
∴y ＝－1
2
x .
即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 由(1)知x ＝－2y ，将其代入上式， 整理得y 2
－2y －3＝0. 解得y 1＝3，y 2＝－1. 当y ＝3时，x ＝－6，
21．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π
2)的图像与y
轴交于点(0，1)．
(1)求φ的值；
(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合． 解：(1)因为函数图像过点(0，1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝1
2
.
因为0≤φ≤π2，所以φ＝π
6.
(2)由(1)得y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，
∴当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π
2
＋2k π，k ∈Z ，
即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin(πx ＋π6)是增函数，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调
递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z .
(3)由y ≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12，
∴
π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π
6
＋2k π，k ∈Z ， 即2k ≤x ≤2
3
＋2k ，k ∈Z ，
∴y ≥1时，x 的集合为{x |2k ≤x ≤2
3
＋2k ，k ∈Z }．
22．(本小题满分12分)已知M (1＋cos 2x ，1)，N (1，3sin 2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，且y ＝
(O 为坐标原点)．
(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )；
(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图像可由y ＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像经过怎样的变换而得到；
(3)函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求y ＝g (x )的表达式，并比较g (1)和g (2)的大小．
解：(1)y ＝f (x )＝＝(1＋cos 2x ，1)·(1，3sin 2x ＋a )＝3sin 2x ＋cos 2x
＋1＋a ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a .
(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 所以f (x )的最大值为3＋a ＝4，解得a ＝1，
此时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2，其图像可由y ＝2sin(x ＋π6)的图像经纵坐标不变横坐标缩小
为原来的1
2
倍，再将所得图像向上平移2个单位得到．
(3)设M (x ，y )为y ＝g (x )的图像上任一点，
由函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，得M (x ，y )关于x ＝1的对
称点M ′(2－x ，y )在y ＝f (x )的图像上，所以y ＝g (x )＝f (2－x )＝2sin[2(2－x )＋π
6]＋1＋a ＝
2sin(－2x ＋4＋π6)＋1＋a ，g (1)＝2sin(2＋π6)＋1＋a ，g (2)＝2sin π6＋1＋a ＝2sin 5π
6
＋1＋a .
∵
π2＜2＋π6＜5π
6
＜π， ∴g (1)＞g (2)．。