(汇总3份试卷)2021年上海市普陀区九年级上学期期末复习能力测试数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，MON ∆的顶点M 在第一象限，顶点N 在x 轴上，反比例函数k y x =的图象经过点M ，若MO MN =，MON ∆的面积为6，则k 的值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．6-
D ．12
【答案】B 【分析】先求得MON ∆的面积再得到6MP OP ⨯=，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值.
【详解】过点M 作MP x ⊥轴，交x 轴于点P ，
MO MN =，
OP PN ∴=，
MON ∆的面积是6，
162
MP ON ∴⨯=， 1262
MP OP ∴⨯=， 6MP OP ∴⨯=，
6k ∴=，
故选：B .
【点睛】
本题主要考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数k y x
=
中k 的几何意义，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．
2．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）
A．y=-3x2-1 B．y=-1
3
x2+1 C．y=
1
2
x2+3 D．y=-x2-5
【答案】C
【解析】根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系逐一判断即可. 【详解】解: A. y=-3x2-1中,﹣3＜0,二次函数图象的开口向下,故A不符合题意;
B. y=-1
3
x2+1中, -
1
3
＜0,二次函数图象的开口向下,故B不符合题意;
C. y=1
2
x2+3中,
1
2
＞0,二次函数图象的开口向上,故C符合题意;
D. y=-x2-5中, -1＜0,二次函数图象的开口向下,故D不符合题意;
故选:C.
【点睛】
此题考查的是判断二次函数图像的开口方向，掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解决此题的关键.
3．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，23），OC与⊙D相交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为（）
A．2π﹣23B．4π﹣3C．4π﹣23D．2π﹣3
【答案】A
【分析】从图中明确S阴=S半-S△，然后依公式计算即可．
【详解】∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
连接AB，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，
由题意知3
∴OA=OBtan ∠ABO=OBtan30°=23323⨯=，
AB=AO÷sin30°=4 即圆的半径为2， ∴阴影部分的面积等于半圆的面积减去△ABO 的面积，
2#2122322322
FE S S S π∆-===-⨯⨯=- 故选A.
【点睛】
辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.
4．如图，点A 是双曲线6y x
=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰△ABC ，且∠ACB=120°，点C 在第一象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k y x
=上运动，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：连接CO ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作C
E ⊥x 轴于点E ，∵连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰△ABC ，且∠ACB=220°，∴CO ⊥AB ，∠CAB=30°，则∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE ，又∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD ∽△OCE ，
∴AD DO AO EO EC CO ===tan60°3则ΔADO ΔCOE S S =3，∵点A 是双曲线6y x
=-在第二象限分支上的一个动点，∴12xy =12AD•DO=12×6=3，∴12k=12
EC×EO=2，则EC×EO=2．故选B ．
考点：2．反比例函数图象上点的坐标特征；2．综合题．
5．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连结BE，若S△DEB＝1，则S△BCE的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据三角形中位线定理和三角形的面积即可得到结论．
【详解】∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴CE＝AE．
∴DE＝1
2 BC，
∵S△DEB＝1，
∴S△BCE＝2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握并运用三角形中位线定理是解题的关键．
6．在平面直角坐标系xoy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O 为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
【答案】A
【分析】根据相似比为2,B′的坐标为（﹣6，0），判断A′在第三象限即可解题.
【详解】解：由题可知O A′：OA=2:1,
∵B′的坐标为（﹣6，0），
∴A′在第三象限,
∴A′（﹣2，﹣4）,
故选A.
【点睛】
本题考查了图形的位似,属于简单题,确定A′的象限是解题关键.
7．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）
A．32cm B．23cm C．6cm D．12cm
【答案】A
【分析】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得BC的长度，圆锥的底面圆的半径＝圆锥的弧长÷2π．
【详解】AB＝122
22
==cm，
∴
90122
=62
180
BC
π
π
⨯
=
∴圆锥的底面圆的半径＝62π÷（2π）＝32cm．
故选A．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为()
A ．35
B ．43
C ．105
D ．34
【答案】D
【解析】如图，∠ABC 所在的直角三角形的对边AD=3，邻边BD=4，
所以，tan ∠ABC=
34
． 故选D ．
9．已知一元二次方程2x x 30--=的较小根为x 1，则下面对x 1的估计正确的是
A ．12<x <1--
B ．13<x <2--
C ．12<x <3
D ．11<x <0- 【答案】A 【解析】试题分析：解2x x 30--=得113x 2=，∴较小根为1113x 2-=． ∵1411313311331139<13<163<13<44<13<312<12222-----⇒⇒--⇒
⇒--⇒---， ∴12<x <1--．故选A ．
10．设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为
13，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球．（游戏用球除颜色外均相同）（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】A
【分析】利用概率公式，根据白球个数和摸出1个球是白球的概率可求得盒子中应有的球的个数，再减去白球的个数即可求得结果．
【详解】解：∵盒子中放入了2个白球，从盒子中任意摸出1个球是白球的概率为
13， ∴盒子中球的总数=1263
÷=， ∴其他颜色的球的个数为6−2=4，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了概率公式的应用，灵活运用概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
11．已知实数m ，n 满足条件m 2﹣7m+2=0，n 2﹣7n+2=0，则n m +m n
的值是（ ）
A．45
2
B．
15
2
C．
15
2
或2 D．
45
2
或2
【答案】D
【分析】①m≠n时，由题意可得m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，利用韦达定理得出m+n、mn的值，将要求的式子转化为关于m+n、mn的形式，整体代入求值即可；②m=n，直接代入所求式子计算即可.
【详解】①m≠n时，由题意得：m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，
∴m+n=7，mn=2，
n m +
m
n
=
22
n m
mn
+
=
22
m n mn
mn
+-
（）
=
2
722
2
-⨯
=
45
2
；
②m=n时，n
m
+
m
n
=2.
故选D.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分析出m、n是方程的两个根以及分类讨论是解题的关键. 12．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】根据题意知4
a
=20%，
解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解，
故选B．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．计算：(04cos60
-︒=________．
【答案】-1
【分析】根据零指数幂及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】解：原式=1-4×1
2
=-1，
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查了实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练每部分的运算法则．
14．共享单车进入昆明市已两年，为市民的低碳出行带来了方便，据报道，昆明市共享单车投放量已达到240000辆，数字240000用科学记数法表示为_____．
【答案】2.4×1
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】将240000用科学记数法表示为：2.4×1．
故答案为2.4×1．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
15．计算：2sin 245°﹣tan45°＝______．
【答案】0
【解析】原式=2121=2122⎛⨯-⨯- ⎝⎭
=0， 故答案为0.
16．如图在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点F ，D 为AC 的中点，以点D 为圆心，DC 长为半径作弧，交AB 于点E ，若2BC =，则阴影部分的面积为________．
【答案】75364
π- 【分析】过D 作DM ⊥AB ，根据=EDA ABC CBF CDE S S S S
S ++-阴影扇形扇形计算即得．
【详解】过D 作DM ⊥AB ，如下图：
∵D 为AC 的中点，以点D 为圆心，DC 长为半径作弧，交AB 于点E
∴AD=ED=CD
∴=A DEA ∠∠，2AE AM =
∵30A ∠=︒
∴=DEA=30A ︒∠∠
∴60EDC ∠=︒
∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒
∴60B ∠=︒
∵2BC =
∴tan 30BC AC =
=︒
∴12AD ED CD AC ===
∴sin 30DM AD =︒=3cos302AM AD =︒==，23AE AM == ∴60423603CBF S ππ⨯==扇形，6033602
EDC S ππ⨯==扇形，132EDA S AE DM ==1232ABC S BC AC ==
∴76=EDA ABC
CBF CDE S S S S S π++-=阴影扇形扇形
故答案为：
764
π- 【点睛】 本题考查了求解不规则图形的面积，解题关键是通过容斥原理将不规则图形转化为规则图形． 17．圆锥的底面半径是4，母线长是9，则它的侧面展开图的圆心角的度数为______ ．
【答案】160︒
【分析】首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数．
【详解】解：圆锥的底面周长是：248ππ⨯=，
设圆心角的度数是n ︒，则
98180n ππ=， 解得：160n =．
故侧面展开图的圆心角的度数是160︒．
故答案是：160︒．
【点睛】
此题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
18．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机柚取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．
【答案】500 【分析】次品率100%=⨯次品数产品总数，根据抽取的样本数求得该批产品的次品率之后再乘以产品总数即可求解.
【详解】解：51005%÷=， 100005%500⨯=（件）
【点睛】
本题主要考查了数据样本与频率问题，亦可根据比例求解.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，在一条河流的两岸分别有A 、B 、C 、D 四棵景观树，已知AB//CD ，某数学活动小组测得∠DAB=45°，∠CBE=73°，AB=10m ，CD=30m ，请计算这条河的宽度(参考数值：19sin 7320≈，29cos 73100≈，10tan 733
≈)
【答案】4007
m 【分析】分别过C ，D 作CF ⊥AE 于F ，DG ⊥AE 于F ，构建直角三角形解答即可．
【详解】分别过C ，D 作CF ⊥AE 于F ，DG ⊥AE 于F ，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
∵AB ∥CD ，
∴∠FCD=90°，
∴四边形CFGD 是矩形，
∴CD=FG=30m ，CF=DG ，
在直角三角形ADG 中，∠DAG=45°，
∴AG=DG ，
在直角三角形BCF 中，∠FBC=73°，
∴
10
37
3
CF
tan FBC tan
BF
︒
∠==∠=，
∴
10
3
C G F
D B
F==，
∵AG=AB+BF+FG=DG，
即10+BF+30= 10
3
BF，
解得：BF= 120
7
m，
则
10400
37
B
G F
D=
=，
答：这条河的宽度为400
7
m．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助辅助线构造直角三角形并解直角三角形．
20．(1)如图1，在平行四边形ABCD中，点E1，E2是AB三等分点，点F1，F2是CD三等分点，E1F1，E2F2分别交AC于点G1，G2，求证：AG1＝G1G2＝G2C．
(2)如图2，由64个边长为1的小正方形组成的一个网格图，线段MN的两个端点在格点上，请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q．(保留作图痕迹)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理证明即可．
(2)利用(1)中结论，构造平行四边形解决问题即可．
【详解】解：
(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∵DF1＝1
3
CD，AE1＝
1
3
AB，
∴DF1＝AE1，
∴四边形ADF1E1是平行四边形，∴AD∥E1F1，
∴E1G1∥BC，
∴11 3
AG AE
AC AB
==，
同法可证：221 3
CG CF
CA CD
==，
∴AG1＝CG2＝1
3 AC，
∴AG1＝G1G2＝G2C．
(2)如图，点P，Q即为所求．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键.
21．如图，AB是O的直径，AC是O的切线，切点为A，BC交O于点D，点E是AC的中点.
(1)试判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；
(2)若O的半径为2，50
B
∠=，5
AC=，求图中阴影部分的周长.
【答案】(1)直线DE与O相切；理由见解析；(2)
10
5
9
π+.
【分析】（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明
△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；
（2）根据切线长定理可得DE=AE=2.5，由圆周角定理可得∠AOD=100°，然后根据弧长公式计算弧AD的长，从而可求得结论．
【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中
∵OA=OD
∠1=∠2
OE=OE，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE=AE，
∵点E是AC的中点，
∴DE=AE=1
AC=2.5，
2
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴阴影部分的周长=1002102.5 2.551809
ππ⨯++
=+． 【点睛】 本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线、切线长定理、弧长的计算，掌握切线的性质与判定、弧长公式是解题的关键．
22．如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，75C ∠=︒，夹边BC 的长为6，求ABC ∆的面积．
【答案】△ABC 的面积是933+.
【分析】作CD ⊥AB 于点D ，根据等腰直角三角形的性质求出CD 和BD 的长，再利用三角函数求出AD 的长，最后用三角形的面积公式求解即可.
【详解】如图，作CD ⊥AB 于点D.
∵ ∠B=45°，CD ⊥AB
∴ ∠BCD=45°
∵ BC=6
∴ CD=32
在Rt △ACD 中，∠ACD=75°﹣45°=30°
∴ tan3032
︒= ∴ 3326AD == ∴ 1(326)329332
S =⨯⨯=+ ∴ △ABC 的面积是933+【点睛】
本题考查了三角函数的应用以及三角形的面积，掌握特殊三角函数的值以及三角形的面积公式是解题的关
键.
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝23，AE⊥BD于点E，求OE的长．
【答案】1
【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA＝OD，根据∠AOD＝60°可得△AOD为等边三角形，即OA＝AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．
【详解】解：∵对角线相等且互相平分，
∴OA＝OD
∵∠AOD＝60°
∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，
BD＝2DO，AB＝3AD，
∴AD＝2，
∵AE⊥BD，∴E为OD的中点
∴OE＝1
2OD＝
1
2
AD＝1，
答：OE的长度为1．
【点睛】
本题考查了矩形对角线的性质,利用矩形对角线相等是解题关键.
24．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．
(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)
【答案】(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走2)千米；(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为23)]千米．
【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少
路程．
【详解】(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝CD
BC
，BC＝80千米，
∴CD＝BC•sin30°＝80×1
2
＝40(千米)，
AC＝
CD
402
sin45︒
=(千米)，
AC+BC＝80+402(千米)，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+402)千米；
(2)∵cos30°＝BD
BC
，BC＝80(千米)，
∴BD＝BC•cos30°＝80×
3
=403
2
(千米)，
∵tan45°＝CD
AD
，CD＝40(千米)，
∴AD＝
CD
40
tan45︒
=(千米)，
∴AB＝AD+BD＝40+403(千米)，
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝80+402﹣40﹣403＝40+40(23)
-(千米)．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为[40+40(23)
-]千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
25．一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
【答案】4cm
【解析】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm ，则围成的长方体纸盒的底面长是（32-2x ）cm, 宽是（32-2x ）cm,根据底面积等于1 cm 2列方程求解.
解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm ．
由题意，得 (32-2x )(22-2x )=1．
整理，得 x 2 -25x + 84=2．
解方程，得14x =，221x =（不符合题意，舍去）．
答：剪掉的正方形的边长为4cm ．
26． “红灯停，绿灯行”是我们过路口遇见交通信号灯时必须遵守的规则.小明每天从家骑自行车上学要经过三个路口，假如每个路口交通信号灯中红灯和绿灯亮的时间相同，且每个路口的交通信号灯只安装了红灯和绿灯.那么某天小明从家骑车去学校上学，经过三个路口抬头看到交通信号灯.
（1）请画树状图，列举小明看到交通信号灯可能出现的所有情况；
（2）求小明途经三个路口都遇到红灯的概率.
【答案】（1）详见解析；共有8种等可能的结果；（2）18
【分析】此题分三步完成，每一个路口需要选择一次，所以把每个路口看做一步，用树状图表示所有情况，再利用概率公式求解．
【详解】（1）列树状图如下：
由树状图可以看出，共有8种等可能的结果，即：红红红、红红绿、红绿红、红绿绿、
绿红红、绿红绿、绿绿红、绿绿绿、
（2）由（1）可知P （三次红灯）18
=
. 【点睛】
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
27．
求的值. 【答案】4
【解析】先设t=x 2+y 2，则方程即可变形为t （t-1）-12=0，解方程即可求得t 即x 2+y 2的值．
【详解】设t=x 2+y 2，所以原式可变形为为t （t-1）-12=0，
t 2-t-12=0，（t-4）（t+3）=0，所以t=-3或t=4；
因为x 2+y 2≥0，所以x 2+y 2=4.
【点睛】
此题考查换元法解一元二次方程，解题关键在于设t=x2+y2.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，抛物线2144
y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）
A ．3
B 41
C ．72
D ．4
【答案】C 【分析】根据抛物线解析式可求得点A （-4,0），B （4,0），故O 点为AB 的中点，又Q 是AP 上的中点可知OQ=12
BP ，故OQ 最大即为BP 最大，即连接BC 并延长BC 交圆于点P 时BP 最大，进而即可求得OQ 的最大值.
【详解】∵抛物线2144
y x =-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0），B （4,0），即OA=4.
在直角三角形COB 中 2222345+=+=OC OB
∵Q 是AP 上的中点，O 是AB 的中点 ∴OQ 为△ABP 中位线，即OQ=12
BP 又∵P 在圆C 上，且半径为2，
∴当B 、C 、P 共线时BP 最大，即OQ 最大
此时BP=BC+CP=7
OQ=12BP=72
. 【点睛】
本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ 最大转化为求BP 最长时的情况.
2．下列一元二次方程中两根之和为﹣3的是（ ）
A ．x 2﹣3x+3＝0
B ．x 2+3x+3＝0
C ．x 2+3x ﹣3＝0
D ．x 2+6x ﹣4＝0
【答案】C
【分析】利用判别式的意义对A 、B 进行判断；根据根与系数的关系对C 、D 进行判断．
【详解】A ．△=(﹣3)2﹣4×3＜0，方程没有实数解，所以A 选项错误；
B ．△=32﹣4×3＜0，方程没有实数解，所以B 选项错误；
C ．方程x 2+3x ﹣3=0的两根之和为﹣3，所以C 选项正确；
D ．方程x 2+6x ﹣4=0的两根之和为﹣6，所以D 选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，
x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a
=．也考查了判别式的意义． 3．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定a ★b ()()211,42.a b a b b a b a
⎧+>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，那么函数2y x =★的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】先根据所给新定义运算求出分段函数解析式，再根据函数解析式来判断函数图象即可.
【详解】解：∵a ★b ()()211,42.a b a b b a b a
⎧+>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩， ∴2y x =★()()2112,422.x x x x
⎧+>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ∴当x>2时，函数图象在第一象限且自变量的值不等于2，当x ≤2时，是反比例函数，函数图象在二、四象限.
故应选C.
【点睛】
本题考查了分段函数及其图象，理解所给定义求出分段函数解析式是解题的关键.
4．下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
【答案】B
【解析】试题分析：A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；
C．“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误．
故选B．
考点：随机事件．
+÷的值是（）
5．如图，数轴上的点可近似表示(3630)6
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】先把代数式进行化简，然后进行无理数的估算，即可得到答案．
=
【详解】解：(3630)635
<<，
∵253
<，
∴5356
∴点C符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，无理数的估算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
6．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5 C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5
【答案】A
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣1．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．
7．已知平面直角坐标系中，点()1,2P -关于原点对称的点的坐标是（ ）
A ．()1,2-
B ．()1,2--
C ．()1,2-
D ．()1,2
【答案】C
【解析】∵在平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点P （1，-2）关于原点的对称点坐标为（-1，2），
故选C.
8．抛物线y=x 2+kx ﹣1与x 轴交点的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．以上都不对 【答案】C
【分析】设y=0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x 轴有几个交点．
【详解】解：∵抛物线y=x 2+kx ﹣1，
∴当y=0时，则0=x 2+kx ﹣1，
∴△=b 2﹣4ac=k 2+4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y=x2+kx ﹣与x 轴交点的个数为2个，
故选C ．
9．如图图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】试题解析：A 、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；
B 、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；
C 、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故此选项不合题意；
D 、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D ．
10．对于两个不相等的实数,a b ，我们规定符号{,}Max a b 表示,a b 中的较大值，如：{3,6}6Max =，按照这个规定，方程44{,}x Max x x x --=
的解为（ ）
A ．2
B ．1-
C ．2+或2-
D ．2或2--【答案】D
【分析】分两种情况讨论：①x x >-，②x x <-，根据题意得出方程求解即可． 【详解】44-x x
有意义，则0x ≠ ①当x x >-，即0x >时，由题意得
44-x x x
=， 去分母整理得2440x x -+=，
解得122x x ==
经检验，122x x ==是分式方程的解，符合题意；
②当x x <-，即0x <时，由题意得
44--x x x
=， 去分母整理得2440x x +-=，
解得12x =-+，22x =--，
经检验，12x =-+，22x =--是分式方程的解，但0x <，
∴取2=--x
综上所述，方程的解为2或2--
故选：D ．
【点睛】
本题考查了新型定义下的分式方程与解一元二次方程，理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 11．相邻两根电杆都用锅索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P 离地面（ ）
A．2.4米
B．8米
C．3米
D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面距离
【答案】A
【分析】如图，作PE⊥BC于E，由CD//AB可得△APB∽△CPD，可得对应高CE与BE之比，根据CD∥PE 可得△BPE∽△BDC，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【详解】如图，作PE⊥BC于E，
∵CD∥AB，
∴△APB∽△CPD，
∴
63
42 AB AP BE
CD PC CE
====，
∴
3
5 BE
BC
=，
∵CD∥PE，
∴△BPE∽△BDC，
∴PE BE CD BC
=，
∴
3 45 PE
=，
解得：PE＝2.1．
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；正确作出辅助线构建相似三角形并熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
12．如图，在△ABC 中，E,G 分别是AB ，AC 上的点，∠AEG=∠C ，∠BAC 的平分线AD 交EG 于点F ，若32
AF DF =，则( )
A ．35AE BE =
B ．23EF FG =
C ．35EF C
D = D ．23
EG BC = 【答案】C
【分析】根据两组对应角相等可判断△AEG ∽△ACB ，△A EF ∽△ACD,再得出线段间的比例关系进行计算即可得出结果.
【详解】解：（1）∵∠AEG=∠C ，∠EAG=∠BAC ，
∴△AEG ∽△ACB.
∴C
E AC A EG B =. ∵∠EAF=∠CAD ，∠AEF=∠C ，
∴△AEF ∽△ACD ． ∴,AF AC A AE E D F CD == 又
32AF DF =，∴35AF AD =. ∴3=.5
AE EF EG AF AC AD CD BC === 故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解答本题，要找到两组对应角相等，再利用相似的性质求线段的比值.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．在一个不透明的袋子中只装有n 个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是
13，那么n 的值为_____． 【答案】1．
【分析】根据概率公式列方程计算即可.
【详解】解：根据题意得
143
n n =+ ， 解得n ＝1，
经检验：n ＝41是分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】
题考查了概率公式的运用，理解用可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解答本题的关键. 14．如图已知二次函数y 1＝x 2+c 与一次函数y 2＝x +c 的图象如图所示，则当y 1＜y 2时x 的取值范围_____．
【答案】0＜x ＜1．
【解析】首先将两函数解析式联立得出其交点横坐标，进而得出当y 1＜y 2时x 的取值范围．
【详解】解：由题意可得：x 2+c ＝x +c ，
解得：x 1＝0，x 2＝1，
则当y 1＜y 2时x 的取值范围：0＜x ＜1．
故答案为0＜x ＜1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与一次函数，正确得出两函数的交点横坐标是解题关键．
15．在△ABC 中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交直线AB 于点P ，当△PQB 为等腰三角形时，线段AP 的长为_____． 【答案】53
或1． 【解析】当△PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P 在线段AB 上时，如图1所示．由三角形相似（△AQP ∽△ABC ）关系计算AP 的长；
②当点P 在线段AB 的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B 为线段AP 的中点，从而可以求出AP ．
【详解】解:在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
∵∠QPB 为钝角，
∴当△PQB 为等腰三角形时，
当点P 在线段AB 上时，如题图1所示：
∵∠QPB 为钝角，
∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB=PQ ，
由(1)可知,△AQP ∽△ABC ， ∴
,PA PQ AC BC = 即3,54PB PB -= 解得：43
PB =， ∴45333AP AB PB =-=-=；。