数学物理方法知识点归纳

⎨ ∂v ( x , y ) ∂u ( x , y ) Γ
第一章 复述和复变函数 1.5 连续
通过 C —R 条件列微分方程
第二章 复变函数的积分
若函数 f (x ) 在 z 的领域内（包括 z 本
2.2 解析函数的积分
0 0 柯西定理：若函数 f(z)在单连区域 D 内是解 身 ） 已 经 单 值 确 定 ， 并 且
析的，则对于所有在这个区域内而且在两 lim z →z 0
连续。

f (z ) = f (z 0 )
， 则称 f(z) 在 z
点
个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分
B
⎰ f (z )dz 的值均相等。

A
1.6 导数
若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 柯西定理推论：若函数 f(z)在单连区域 D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于
零。

⎰ f (z )dz = 0 C
(i)
∂u ∂u ∂v ∂v
、 、 、 在点不仅存在 ∂x ∂y ∂x ∂y 二连区域的柯西定理：若 f(z)在二连区域 D
解析，边界连续，则 f(z)沿外境界线(逆时 而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。

C-R 条件为
针方向)的积分等于 f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。

⎧ ∂u ( x , y )
∂v ( x , y )
n+1 连区域柯西定理：
⎪ ∂x =
∂y ⎪ = - ⎰
f (z )dz =⎰ f (z )dz + ⎰
f (z )dz + .... + ⎰
f (z )d
⎩
⎪ ∂x ∂y Γe
Γi 1
Γi 2
Γi n
1.7 解析
若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。

解析的必要条件：函数 f(z)=u+iv 在点z 的
推论：在 f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。

2.3 柯西公式
若 f(z)在单连有界区域 D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域 D 的任何一个
领域内(i) ∂u ∂u ∂v ∂v 、
、 、 存在。

1 f (z )
∂x ∂y ∂x ∂y
(ii)C-R 条件在该点成立。

解析的充分条件：函数 f(z)=u+iv 在领域内
内点 a ，有 f (a ) = 2πi ⎰ z - a dz 其中 Γ 是境界线。

(i) ∂u ∂u ∂v ∂v
、 、 、 不仅存在而且
2.5 柯西导数公式
∂x ∂y
连续。

∂x ∂y
f (n ) (z ) = n !
⎰
f (ξ )
n +1
(ii)C-R 条件在该点成立。

1.8 解析函数和调和函数的关系 2πi 第三章 级数
C (ξ - z )
拉普拉斯方程的解都是调和函数：
3.2 复变函数项级数
∞
∂ 2u
∂x 2 ∂ 2u
+ ∂y
2 =0 外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑u k (z )
k =0
在境界 Γ 上一致收敛，那么
①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。

但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为 它们不一定满足 C —R 条件。

(i) 这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z)
(ii) 由它们的 m 阶导数组成的级数
∞
( m )
②当知道 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的 u(x,y)时， ∑u k
k =0
(z ) 在区域内也收敛，而且它们的
如何求 v(x,y)?
和等于 F (m)(z)。

d ξ
+ + - + d m
3.3 幂级数
阿贝尔(Abel)定理：如果幂级数
孤立奇点：若函数在 z=a 不可导(或无定义)，
而在去心领域 0<|z-a|<ε 解析，则 z=a 是 f(z)
∑c
k
(z - a ) k =0
在点 z 0 处收敛，则在任一
的一个孤立奇点。

圆|z-a|<=p|z 0-a|，0<p<1 内，幂级数一致收敛，并且绝对收敛。

达朗贝尔(D’Alembert)判别法:对于幂级数，
| c (z - a )k +1 | 计算下列极限 lim
k +1 k →∞ | c k (z - a ) | k
(i)当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝对收敛(ii)当极限值大于 1 时，幂级数在点 z
处发散(iii)当极限值等于 1 时，敛散性不能判断。

柯西判别法：计算极限
lim k | c k →∞
(z - a )k
|
当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝对收敛;而当极限值大于 1 时，幂级数在点 z 处发散；极限值等于 1 时，不能判断 3.4 解析函数与幂级数 定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。

第四章 留数 4.1 柯西公式的另一种形式
一阶极点留数：若 g(z)在单连区域 D 内解
Taylor 级数： f (z ) = ∑ n =0
f (n ) (a )
n ! (z - a )n 析，a 在D 内，在 D 内作一环绕点 a 的围线
C 。

令 f(z)=g(z)/(z-a)则有：
e z
= 1 + z + z 2 ... 2! z n ... n !
⎰f (z )dz = 2πi Re sf (a ) C
sin z = z -
z 3 + 3! z 5 ... (-1)n
5! z 2n +1
(2n + 1)!
Re sf (a ) = lim(z - a ) f (z )
z →a
cos z = 1 + z 2! + z 4
4! z
2 + ... +
z 3
z 2n (2n )! + ...
z n +1 一阶极点留数的一种算法:
φ (z )
φ (a )
ln(1 + z ) = z - +
2 - ... + (-1)n
3 n + 1
如果 f (z ) =
ψ (z )
那么 Res f (a ) =
ψ '(a )
3.5 解析函数与双边幂级数
定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。

环形区域内的解析函数可展成双边幂级数
m 阶极点的留数公式 Re sf (a ) =
1
m -1 m -1 [(z - a )
f (z )]| f (z ) =
∑c
k
k =-∞
(z - a )k
(m - 1)! dz
4.2 用级数分析来分析留数定理 z =a c =
1
f (ξ )
d ξ
称为
Laurant 系数 ∞
k
k
2πi ⎰γ
(ξ - a )
f (z ) =
∑
c k
(z - a )
k =-∞
3.8 孤立奇点
非孤立奇点：若函数 f(z)在 z=a 点的无论多么小的领域内，总有除 z=a 以外的奇点， 则z=a 是 f(z)的非孤立奇点。

则有 Res f (a ) = c -1
多连区域的柯西定理:如果在围线 C 的内部
∞∞ ∞ + k k 2
1 π
2 a
l 2
π ∞
⎪ ∞
~
ikx ~
D 1 m ⎰ n
包含 n 个孤立奇点，利用多连区域的柯西
定理就有 ⎰
f (z )dz = 2πi
∑Re sf (a
k
)
6.1 傅里叶级数 三角函数系的正交性 2π 周期-展开定理：
C
4.3 无限远点的留数 k =1
f (x ) = C 0 + ∑(C m cos mx + D m sin mx )
m =1
Re sf (∞) = - 1 f (z )dz = -c
C =
1
π f (ξ )d ξ
2πi ⎰
-1
2π ⎰-π
定理 1：如果当 z →∞时，若 zf(z)→0,则Resf(∞)=0 C = 1 π
f (ξ ) cos m ξd ξ π -π n
D = 1
π f (ξ ) sin m ξd ξ
定理 2：
∑ R esf(a k ) + Re sf (∞) = 0
m
π ⎰-π
k =1
任意周期 2l-展开定理： 4.4 留数定理计算型积分 f (x ) = C + ∑ (C cos m
π
x + D sin m π
x )
2π 第一种类型：
R (cos ϕ, sin ϕ)d ϕ 型
0 m
m =1
l m
l
C = 1
l
f (ξ )d ξ
积分 0
2l ⎰-l
令 z = e i ϕ
d ϕ = dz / iz
1 l m π
cos ϕ =
1 (z + z -1 ) sin ϕ = 1 (z - z -1) C m = l ⎰-l f (ξ ) cos l
ξd ξ
2 2
m = ⎰-l f (ξ ) sin m π ξd ξ ⎰ R (cos ϕ, sin ϕ )d ϕ = ⎰
f ( z )dz =
l l
|z |=1
6.2 傅立叶积分
｛在单位圆内各个奇点的留数之和｝ ∞
f ( x ) = ⎰0
[C (k ) cos kx + D (k ) sin kx ]dk
第二种类型： ⎰ -∞
f ( x )dx 型积分
⎧C (k ) = 1 π ⎨
⎰- ∞ f (ξ ) cos k ξd ξ ⎪D (k ) = 1 ⎰∞ f (ξ ) sin k ξd ξ
注意，需要满足条件 lim zf (z ) = 0
⎩⎪ π -∞
z →∞
∞
C(k)是偶函数，D(k)是奇函数
傅里叶公式
⎰ f ( x )dx = 2πi ｛在上半平面的奇点留 -∞
数之和｝ （界限上的乘以 0.5）
令 f (k ) ≡ 1 [C (k ) - iD (k )]
2
∞
第三种类型： ⎰
f ( x )e imx dx 型积分
则 f ( x ) = ⎰ ~ f (k )e
dk -∞
lim f (z ) = 0
-∞
~ 1 ∞
ik ξ
注意需要符合条件 z
∞ ⎰ f ( x )e imx dx = 2πi ｛f(z)e imz 在上半平
f (k ) = 2π ⎰-∞
f (ξ )e d ξ
f (k ) = F [ f ( x )]
-∞
面的奇点留数之和｝ f ( x ) = F -1 ~
[ f (k )]
4.7 围线积分方法
泊松积分： 6.3 傅立叶变换
线性定理
∞ e -ax 2
cos bxdx = e -b 2
/ 4a F [C f + C f ] = C F [ f ] + C F [ f ]
⎰0
1 1
2 2
1 1
2 2
菲涅尔积分： ⎰∞ cos x 2dx = ⎰∞
sin x 2dx = 1 导数定理
F [ f '(x )] = ikF [ f (x )]
0 0 2第六章 积分变换
∞ π 2 ∞
→∞ ⎰
∞
⎰x t
f ( ∞ ⎰ n
( p ) p (0) p (
d n
f (x ) F [
dx n
]
(ik )n
F [ f (x )]
e at
sh ωt ↔
ω
( p - a )2 - ω 2
（用来求逆变
积分定理
换）
延迟函数的象函数 F [ x f (ξ )d ξ ] = 1
ik
F [ f (x )] φ (t )H (t ) ↔ φ ( p )
φ (t -τ )H (t -τ ) ↔ e - p τ φ ( p )
延迟定理
F [ f (x - x 0 相似定理
)] = e -ikx 0 F [ f (x )]
卷积定理
L [⎰0 φ1 (τ )φ2 (t -τ )d τ ] = L [φ1 (t )]L [φ2 (t )]
F [ f (ax )] = 1 ~ k
)
a a
卷积定理
象函数的导数
(-t )n
φ(t ) ↔
d n φ ( p )
dp n
F [⎰ f (ξ ) f (
x - ξ )d ξ ] = 2π~ ~
-∞ 1
2 f 1 (k ) f 2 (k 积分公式：
6.4 拉普拉斯变幻
⎰
∞
φ ( p )dp = ⎰
∞
φ (t )
dt
φ ( p ) = ∞
φ (t )e - pt dt
0 0
t
注意当 t<0 时， φ
(t ) =0 φ ( p ) =L[ φ (t ) ] φ (t ) =L -1[ φ ( p ) ] φ (t ) ←→ φ ( p ) 线性性质：
a φ (t ) +
b φ (t ) = a φ~ ( p ) + b φ~
( p )
1
2 1 2
导数的象函数： d φ(t )
↔ p φ ( p ) - φ(0) dt
d n φ (t ) ↔ p n φ - n -1φ - n -2
φ ' dt 积分的象函数 t
φ (t )dt ↔ 0
φ ( p )
p
t n ↔ n ! p n +1
象函数的位移定理：
e at
φ(t ) ↔ φ ( p - a )
由此可得
e at cos ωt ↔
at
p - a ( p - a )2 + ω 2 ω
e sin ωt ↔
( p - a )2 + ω 2 e at ch ωt ↔
p - a
( p - a )2 - ω 2
= ⎰
∂u ( ) = ∇ ⃗ a u (r ,t )
∂t
∂2u ( `) = ⃗ r , t a 2∇2u (r , t ) ∂t 2
热传导方程第二类边值问题
边界条件 [α∂u
+βu]
∂n ∑
=已知函数
X ' (x ) + λX (x ) = 0 本征值和本征函数系
第十章 勒让德多项式微分方程的幂级数解法 二阶齐次线性常微分方程
d 2 y (z ) + dz 2 p (z ) dy (z )
dz
+ q (z ) y (z ) = 0
将试解 y (z ) = ∑C k (z - z 0 ) k =0
代入方程，
勒让德多项式
对y (x)或y (x)乘以适当常数，使得 x l 的最
1
高项系数为C l = (2l )! 2l (l !)2
时的多项式称为
勒让德多项式，此时相应的 C l-2n 为
C l -2n
= (-1)n
(2l - 2n )! n !2l (l - n )!(l - 2n )!
∞ k
k m
(2l - 2k )!
P (x ) = ∑(-1)k x l
l k !2l (l - k )!(l - 2k )! k =0
k = [ l
](高斯函数) m
2
导数表达式
1 d l
2 l
P l (x ) =
2l
l ! dx l
(x -1) 围线积分表达式
1 1
(ξ 2
-1)l
P l (z ) =
2πi 2l
⎰
C
(ξ - z )l +1
d ξ
定积分表达式
P (cos θ ) = 1 ⎰π
[cos θ + i sin θ cos ϕ]l d ϕ
l π
性质
P (- x ) = (-1)l P ( x )
l
l
⎧P 2n +1 (0) = 0 ⎪ ⎨⎪P (0) = (-1) n (2n )!
⎩ 2n 22n n !n !
P l (1) = 1
P (-1) = (-1)l
l
| P l (cos θ ) |≤ 1
勒让德方程的本征方程
∇2u (r ,θ ,ϕ) = ∇2u (r ,θ ) = 0 u (r ,θ ,ϕ) = R (r )Θ(θ )Φ(ϕ) R (r ) Θ(θ ) Φ(ϕ ) 非本征函数 本征函数 本征函数 r l , r -(l +1)
1,m=0
P l (cos θ ) u (r ,θ ) = ∑∞
(a r l + b 1 )P (cos θ )
l l
r
l +1
l
l =0
∞
2l +1 1
f (x ) = ∑ f l P l (x ), f l =
2
⎰
-1
f (x )P l
l =0
∞
g (θ ) = f (cos θ )v = ∑ g l P l (cos θ ),
l =0
g = 2l +1 π
g (θ )P (cos θ )sin θd θ
l
2
⎰
l
母函数
⎧
∑∞
r
l
P (cos θ ), r 1
⎪ l = ⎨ l =0
1 - 2r cos θ + r 2
⎪∑∞
1 P (cos θ )⎪⎩ = r l +1 l l 0
⎧
∑∞
r l P
( x ), r < 1 1
⎪ l = ⎨ l =0
∞ 1 - 2rx + r 2
⎪∑ 1 P ( x ), r > 1
⎪⎩ = r l +1 l l 0
递推公式
(n+1) P n +1 (x ) -(2n+1)x P n ( x ) +n
P n -1 ( x ) =0
P n ( x ) = P n '+1 (x ) -2x P n '(x ) + P n '-1 (x )
P n '+1 (x ) =x P n '(x ) +(n+1) P n ( x )
x P n '(x ) - P n '-1 (x ) =n P n ( x )
P n '+1
(x ) - P n '-1 (x ) =(2n+1) P n ( x ) 刘维尔方程
d [k (x ) dy
] - q ( x ) y - λw (x ) y = 0
dx dx
勒让德方程
d
(1- x 2 ) dy
+ l (l +1) y = 0
dx dx 权函数：w(x)=1 本征函数：P l (x) 1
正交性： ⎰-1 P l (x )P k (x )dx = 0, l ≠ k
1 2 l ⎰-1 l 2l +1 模： N = [P (x )]2 dx =
广义傅立叶级数展开 贝塞尔函数
v 阶贝塞尔函数 v 阶贝塞尔方程的特解
∞
(-1)k x v +2k
J v (x ) = ∑ k !Γ(v + k +1) ( 2 )
k =0
d dR (ρ ) 2 m 2 [ρ ] + (ω ρ - )R (ρ ) = 0 d ρ d ρ ρ
自然边界条件
k (ρ ) |ρ =0 = ρ |ρ =0 = 0
边界条件：
[α dR (ρ ) + βR (ρ )] = 0
d ρ ρ =b
本征函数： R n (ρ ) = J m (ωn ρ ) 本征值：
αωJ m
' (ωb ) + βJ m (ωb ) = 0 的解 ω
b
正交性： ⎰0 J m (ωn ρ )J m (ω j ρ )ρd ρ = 0
b
n
⎰0
m n
模： N 2
=
J 2 (ω ρ )ρd ρ =
∞ (-1)k x -v
∑ k !Γ(-v + k +1) 2 J (x ) =
( )-
v
+2k
k =0
递推关系
d
[x v J ( x )] = x v
J ( x ) dx
v v -1
d [x -v J (x )] = - x -v J (x )
dx
v v +1
J (x ) + J (x ) = 2v J (x )
v -1 v +1 x
v
J v -1 (x ) - J v +1 (x ) = 2J v ' (x ) 整阶贝塞尔函数
∞ (-1)k x
m +2k
J m (x ) = ∑
k !Γ(m + k +1) ( 2 )
k =0
奇偶性： J (-x ) = (-1)m J (x )
m m
线性相关性: J - (x ) = (-1)m
J (x ) m m
渐进性质 当|x|>>1 时
J (x ) ≈ 2 cos(x - m π - π ) + O (x -3/ 2 ) m
n π 2 4 b 2 m 2 {[J ' (ω b )]2
+ (1- )[J ' (ω b )] a m n (ω b )2
m n
n
展开定理
∞
f (ρ) = ∑ f n J m (ωn ρ )
n =1
f = 1 b
f (ρ )J (ω ρ )ρd ρ n N 2 ⎰0 m n n
x ( z -1 )
∞
母函数： e
2 z
= ∑ J (x )z m
m
m =-∞
加法公式：
∞
J m (a + b ) = ∑ J k (a )J m -k (b )
k =-∞
平面波用柱面波展开公式
∞
e ikr cos ϕ = ∑ J (kr )i m e im ϕ m
m =-∞
∞
e -ikr sin θ = ∑ J (kr )(-1)m e
im θ m m =-∞ ∞
e ikr sin ξ = ∑ J (kr )e im ξ m
m =-∞
积分表达式 J (x ) =
1 ⎰
π e ix sin ξ -im ξ d ξ
m 2π -π
= 1 ⎰π
cos(m ξ - x sin ξ )d ξ
2π -π 围线积分表达式
x ( z - 1
) J (x ) = 1 ⎰ e
2 z
dz m 2πi v z m +1。