2022届高考数学提分题及答案解析

2022年高考数学考前提分题
1．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，2AB＝BC＝AA1，点M为棱C1D1上的动点．（1）求三棱锥D﹣A1B1M与长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积比；
（2）若M为棱C1D1的中点，求直线DB1与平面DA1M所成角的大小．
【分析】（1）设2AB＝BC＝AA1＝2，直接求出三棱锥D﹣A1B1M与长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积，然后相比即可；
（2）求出各棱长，设B1到平面DA1M的距离为h，由等体积法可知ℎ=2√2
3，进而得到
所求线面角．
【解答】解：不妨设2AB＝BC＝AA1＝2，
（1）∵V D−A
1B1M =13×12×1×2×2=23，V ABCD−A
1B1C1D1
=1×2×2=4，
∴V D−A1B1M
V ABCD−A1B1C1D1=
2
3
4
=
1
6
，
∴三棱锥D﹣A1B1M与长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积比为1：6；
（2）易知，DA1=√22+22=2√2，DM=√22+(1
2
)2=√172，DB1=√12+22+22=
3，A1M=√22+(12)2=√172，
∴S△DA
1M
=12×2√2×(√172)2−(√2)2=3√22，
设B1到平面DA1M的距离为h，则由V D−A
1B1M =V B
1−DA1M
，可得
1
3
×
3√2
2
ℎ=
2
3
，
∴ℎ=2√2 3，
设直线DB1与平面DA1M所成角的大小为θ，则sinθ=
ℎ
DB1
=
2√2
3
3
=2√29，
∴直线DB1与平面DA1M所成角的大小为arcsin 2√2 9．
【点评】本题考查常见几何体体积以及线面角的求法，考查等体积法的运用，考查逻辑
推理能力及运算求解能力，属于中档题．
2．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ABEF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD =12BC ＝2，AB 与EF 平行并且相等，AF =√2BF =2√2．
（1）证明：CD ⊥BF ；
（2）在线段CE 上是否存在点M ，使得二面角F ﹣BD ﹣M 的平面角余弦值为
√33？若存在，求出CM CE 的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由勾股定理证明BF ⊥AB ，结合面面垂直的判定定理，即可得到BF ⊥平面ABCD ，进一步证明CD ⊥BF ；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设CM →=λCE →
，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BDF 和平面BDM 的法向量，由向量的夹角公式建立等式，求解λ即可．
【解答】解（1）证明：∵AB =2，BF =2，AF =2√2，
∴AB 2+BF 2＝AF 2，∴BF ⊥AB ，
又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，BF ⊂平面ABEF ， ∴BF ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，
∴CD ⊥BF ；
（2）由（1）可知，BF ⊥平面ABCD ，且AB ⊥BC ，
以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B （0，0，0），D （2，2，0），F （0，0，2），E （﹣2，0，2），C （0，4，0）， ∴BD →=(2，2，0)，BF →=(0，0，2)，
设n →=(x ，y ，z)是平面BDF 的法向量，
则{n →⋅BD →=0n →⋅BF →=0
⇒{2x +2y =02z =0，令x ＝1，则n →=(1，−1，0)， 设CM →=λCE →=λ(−2，−4，2)=(−2λ，4λ，2λ)，
∴M （﹣2λ，4（1﹣λ），2λ）
∴BM →=(−2λ，4(1−λ)，2λ)，
设m →=(x ，y ，z)是平面BDM 的法向量，
则{n →⋅BD →=0n →⋅BM →=0
⇒{2x +2y =0−2λx +4(1−λ)y +2λz =0， 令x ＝1，则y =−1，z =λ−2λ，∴m →=(1，−1，λ−2λ)，
∵二面角F ﹣BD ﹣M 的平面角余弦值为
√33， ∴|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →||m →|=2
√2√2+(λ−2λ)=√33， ∴λ=23，∴CM
CE =23
， 故在线段CE 上是否存在点M ，且CM
CE =2
3．
【点评】本题考查了面面垂直的性质定理，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
3．如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2．
（Ⅰ）求证：C 1D ∥平面ABB 1A 1；
（Ⅱ）求证：AC ⊥BC 1；
（Ⅲ）求二面角C 1﹣BD ﹣D 1的余弦值．
【分析】（Ⅰ）证明C 1D 平行于平面ABB 1A 1内的直线AB 1即可；
（Ⅱ）证明AC 垂直于平面C 1BD 内两条相交直线，得到AC ⊥平面C 1BD ，从而得到AC ⊥BC 1；
（Ⅲ）先求二面角两面的法向量，再用夹角公式计算二面角的余弦值即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为B 1C 1∥BC 、B 1C 1＝BC ，AD ∥BC 、AD ＝BC ， 所以B 1C 1∥AD 、B 1C 1＝AD ，所以四边形B 1C 1DA 为平行四边形，
所以C 1D ∥AB 1，AB 1⊂平面ABB 1A 1，C 1D ⊄平面ABB 1A 1，
所以C 1D ∥平面ABB 1A 1；
（Ⅱ）证明：因为AB 1⊥平面ABCD ，
由（Ⅰ）知C 1D ∥AB 1，所以C 1D ⊥平面ABCD ，
又因为AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥C 1D ，
因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，
又因为C 1D ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面C 1BD ，
因为C 1B ⊂平面C 1BD ，所以AC ⊥BC 1；
（Ⅲ）因为AB 1⊥平面ABCD ，所以AB 1⊥AD ，AB 1⊥AB ，
又因为ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ，
于是AD 、AB 、AB 1两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
平面C 1BD 的法向量为m →=AC →=（1，1，0），
DB →=（﹣1，1，0），DD 1→=（0，﹣1，√3），
设平面BDD 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），
则{DB →⋅n →=−x +y =0
DD 1→⋅n →=−y +√3z =0，令y =√3，则n →
=（√3，√3，1），
所以二面角C1﹣BD﹣D1的余弦值为|m→⋅n→|
|m→|⋅|n→|=
√3
√2⋅√7
=
√42
7
．
【点评】本题考查了直线与平面位置关系，线面垂直的判定定理和性质，考查了二面角的计算问题，属于中档题．。