玻璃杯移动问题的数学模型

玻璃杯移动问题的数学模型
玻璃杯移动问题的数学模型
方创彬1，郑碧珍2，潘龙飞3
1 韶关学院2001级计算机系本（4）
班， 广东 韶关512005
2 韶关学院2001级数学与应用数
学（1）班，广东 韶关512005
3 韶关学院2002级信息技术教育
（3）班，广东 韶关512005
[摘要]：本文通过对各种玻璃杯移动问题进行了分析,找出了如何简单的解决这一类的模型.我们对“每次只能一块儿移动一对相邻的杯子”、“杯子的颜色为黑白两种,要是相邻的杯子是这两种颜色,则移动它们时,要交换位置.”、“某种颜色的杯子有n 只，另一种杯子有1+n 只”以及三种颜色的杯子是如何移动的，一一给出解答，得出了对于n 只杯子有n 大于一定数值下的移动次数，并得到定理1、定理2等. 由本文的定理2可以把各类玻璃杯的移动进行解答，轻松的找到移动的方法，解答了多种不同的移动方法的可解性.虽然这一模型所得的不一定是最少的移动次数，但给出了解决这一大类型问题的一般解法. 关键词：玻璃杯；移动方法；交错排列；
1 问题的提出
对于杯子的移动问题，自古以来都有着许许多多的不同移动方法，简单的如将10只玻璃杯，左边5只内有汽水，右边5只空着，你如何以最少的移动次数将这排杯子变成满杯与空杯相互交错.还有困难的多的古典难题：每次只能一块儿移动一对相邻的杯子，使结果成交错排列.它们的普遍解是什么呢？能否将3>=n 时的解题过程公式化.
由这一难题还可以产生许多奇异的变相问题，如下面的几个问：
(1) 仍然是同时移动两只相邻的杯子，但是如果颜色不同则要在移动过程中交换位置，这样一对黑白的杯子就变成了一对白黑排列，请找出它的普遍解.
(2)某种颜色的杯子少一只，即某种颜色的杯子有n只，又有何不同.
(3) 使用三种不同颜色的杯子，按照通常的方法移动一对相邻的杯子，使得所有这三种颜色交相辉映，有何普遍解？
2 模型的假设
(1) 在移动过程中,不能交换相邻的杯子.
(2)一对杯子一次的移动后,原来的两个位置应
该是空的.
(3)一种颜色的杯子数为n只,另一种颜色的杯
子即为1+n只
3 问题的分析
题目给出了几种移动方案，我们要对这几种(特别是前面的情况)进行分析，求出它们的相同点，加以归纳.如一般的模型我们有定理1，对“每次只能一块儿移动一对相邻的杯子”我们得到了定理2，即当n对杯子时（5≥n），可以在)4
+n次
6-
(3
内把这一模型移完等等.这些都是通过我们对多种移动方案所总结出来的，对问题的解答有着一定的作用.
4 模型的建立与求解
下面我们来逐步的对问题进行求解，对于简单的“一排有10只玻璃杯，左边5只内有汽水，右边5只空着”问题，我们可以将其扩展为这样的模型：有n 2只杯子，n 只满杯挨着n 只空杯，若要使其变成满杯和空杯交错排列，需如何移动. 对于这个简单的问题我们有：
定理1：一般地，如果有n 2只杯子，n 只满杯，n 只空杯，需要：
（1） 如果n 为奇数,则将21-n
对杯子互换位置,
方法是k 2号杯子与)2(n k +号杯子互换位置即可;
（2） 如果n 为偶数,则将2
n 对杯子互换位置,方法是k 2号杯子与)12(-+n k 号杯子互换位置即可.
就可以将它们变成交错排列,(其中 ,3,2,1=k ) 证明: 对于n 为奇数.
┅
┅ n 1-n n
如图可知,当将k 2与)2(n k +号杯子)3,2,1( =k 互换,总共21-n
对,可使结果成交错排列.
同样的,对于n 为偶数
可知将k 2与)12(-+n k 号杯子),3,2,1( =k 互换,总共2
n
对,可使结果成交错排列.
证毕.
下面我们来看看对于:“每次只能一块儿移动一对相邻的杯子.”这一问题.
以3=n 为例,解题过程如下图所示:
┅ ┅ n n
只要移动3次即可完成要求.
而对1=n时,没有意义,2=n时,无解.
当4=n时,可得到如下移动.
由以下分析,为了更容易的求出杯子的移动次数,我们有这样的定理:
定理2: 对于n对两种颜色的杯子,如果从左右各有n只同样颜色的杯子,移动到交错排列有m次,则反过来,从交错排列到左右同色的移动也要m 次.
这一定理是很明显的,我们用上一个例子来说明,见下图即可知是成立的,无需证明.
由定理2,以后在求解各类移动问题时,都可以将其步骤相反过来解答.
现在我们只要在4=n的基础上再加上4次移动就可以得到5=n的移法，即只要将多出的一对杯子先放到一边（先完成4=n的移动），再将靠近中间的同一种颜色的两只杯子（不管是哪一种颜色的杯子）放到同一种颜色的最边上，将多出的一对杯子代换它的位置，就可以得到了5=n的移法，总的要多加3次移动.所以对5≥n的模型都可以在n的基础上再移动3次来做到.
-
1
于是：当n对杯子时（5≥n），可以在)4
+n次内
(3
6-
把这一模型移完.
通过以上问题的分析和定理,我们开始解决提出的几个变相问题:
(1)假设杯子的颜色为黑白两种,要是相邻的杯子是这两种颜色,则移动它们时,要交换位置. 当有一对杯子时,无意义;
当有两对杯子时,要移动三次
当有三对杯子时, 要移动五次,且只需在两对杯子的基础上加上两步.
当有四对杯子时,可以移动五次,但如果用两次两对杯子的称动方法,是需要移动六次.
由此我们可以总结出这一类的模型是可以解的,每一个移动方式都可以用4
n的移动来完成
=
2
n后面的模型.
≥
5
用前面所推导的方法，同样可以解决这一问题.当5≥n时，也只需在1-n的基础上再移动3次，就能得到所解决方法.
于是：当有n对杯子时)5
+n次内把
5-
(≥
(3
n，可以在)4
这一模型移完.
(2)“某种颜色的杯子有n只，另一种杯子有n只”的移动方法.
+
1
当1=n时,须移动1次.
当2=n时,须移动3次.
我们用1=n时的结果再进行推导,有这样的移动: 当3=n时,须移动4次.
但当我们用到2=n的模型来推导3=n时就要移动5次,对于4≥n的移法,可以通过以上的方法从n 的模型推导到1+n的模型,所以这一类移法是可以解的. 推理过程还是以上面两个总结相同.
于是：当4≥n时，可以在)3
+n次内把它移完.
(3
3-
(3)对两种不同颜色的杯子我们已经有了一定的解法,接下来就是关于三种颜色的杯子是如何移动的? 1=n时没有意义,2=n时,求不到它的移动方法,现在来看看当3=n时是怎么移动的.同样的运用定理2,有如下的反推过程.
我们用表示三种不同的颜色
用了六次移动来完成这一问题.在这个的基础上来解4=n的模型, 因为这一模型每次都要增加三个杯子，所以如果用（1）的方法来推导4≥n的情况是行不通的，我们要用新的推导才能知道它到底有什么相同点. 让看下面的图形变化：1
2
3
4
上面的1步是由3=n 的原图前面加上三个不同的杯子，然后将其移动相对里面的两只杯子向外移，等待3=n 的移动完成后再将它移回原位，就有了1这一步，这一过程要用两次移动.从2步是可以进行推导的，如果把杯子扩大到n (n 为
偶数)，则移动次数为)12
22(+++n n
，总的移动可以为n +5(n 为偶数)次.当n 为奇数，有下面这样的移动：
得到的移动次数为17
-
+
+
n(5≥n,且n
+n
15-
=
2(
8
)(
)4
2
4
为奇数)，这就是说这一类的模型也是可以找到普遍解的.
与用两种不同颜色的杯子来移动的模型,此种三色移动问题更有它的实际意义,从三种推到四种不同颜色的杯子,或是更多的颜色来移动,这是达得我们进一步分析了解的.但是随着颜色的增多,相对的模型的求解也会有一定程度的增加.通过我们对多个这类问题的移动和试验,最后都可以得出所要的结果.这种交错排列的要求,只要总结出它的规律,一步步的移动下出是可以实现排列的.
5 模型的推广与评价
在上述各变相问题中改用一次同时移动3只或更多的杯子,我们同样可以通过以上的移动方法来求得所需的次数,又假如是第一次移动1只杯子,第二次移动2只杯子,第三次移动3只杯子,依次下去,等等;给定某种颜色的杯子n个,另一种颜色的杯子也为n个,用上面的移动方法我们也可以求出移动次数.由本文所得出的定理,可以让各类不同移动要求的问题得到较为方便的解答,特别是一些较为难的移动过程.由于存在着各种
各样的移动方案，所以不可能一一给以解答，本文所求的几个模型的普遍解并不一定是它的最少移动次数解，只是给出了它有可能的移动次数，把一类一类的模型加以归纳，得出多种模型的移动公式.这有利于对不同的情况进行统一.
6 参考文献:
[1] 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，2001
[2] 谭永基，数学模型，复旦大学出版社，1997
[3] 王朝阳，离散数学，中国矿业大学出版社，2001
[4] 贾希辉，概率论与应用统计，科学出版社，2002
The Math model of glass move problem
1
Zheng3
Pan
Longfei
Bizhen
Chuangbin
Fang2
( 1.Department of computer, 2001grade , Class 4, Shaoguan 512005, Guangdong,;
2.Department of mathematics, 2001 grade, Class 1, Shaoguan 512005, Guangdong;
3.Department of mathematics, 2002 grade,
Class 3, Shaoguan 512005, Guangdong; ) Abstract: this text construe all sorts of glass move problem, and fine out how solve this sort of model. There are some problem like:“You can move one pair of border upon glasses one time”and“There are black and white glass, if the border upon glasses’ color is different. They must change for their place when move.”,“If there are n glasses in a sort of glass, other one is
n+1 glasses”. Along with how to move three sort of glasses. we solve they one by one. And educe theorem one and theorem two, etc. From the theorem two, we can solve many glass move model. Maybe it is not all the least move times, but it give us a way of commonly solve for this model.。