江苏省常州市金沙高级中学2020-2021学年高三数学理期末试题含解析

江苏省常州市金沙高级中学2020-2021学年高三数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=+sin x的图象大致是( )
参考答案：
C
2. 一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）
A．B．C．20 D．40
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：该几何体是四棱锥，如图：
其中SA⊥平面ABCD，SA=4，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=4，BC=1．
∴几何体的体积V=××（1+4）×4×4=．
故选：B
3. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A. 在区间上单调递增
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上单调递增
参考答案：
A
【分析】
函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为：
，单调递增区间：
，
单调递减区间：
，由此可见，当时，函
数在上单调递增，故本题选A.
4. 在等差数列中，已知，则其前9项和的值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数
（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D
．
参考答案：
B
∵f（﹣x）+f（x）=x2
∴令F（x）=f（x）﹣x2，∴f（x）﹣x2=﹣f（﹣x）+ x2
∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，
∵F′（x）=f′（x）﹣x，
且当x≤0时，f′（x）＜x，
∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，
∵F（x）为奇函数，
∴F（x）在R上单调递减，
∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，
∴f（x）+﹣x2≥f（1﹣x）+x﹣x2，
即F（x）≥F（1﹣x），
∴x≤1﹣x，
x0≤，
∵ 为函数的一个不动点
∴g（x0）=x0，
即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．
∵h′（x）=e x- ，
∴h（x）在R上单调递减．
∴h（x）min=h（）= ﹣a≤0即可，
∴a≥．
故选：B
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
6. 已知函数至多有一个零点，则实数m的取值范围是
A．（一∞，0） B．(一∞，0]
C．(一∞，0] (e3，+∞) D．（一∞，e3）参考答案：
D
当时，的零点等价于函数与函数的交点。

设切点为,则
当时，有一个交点,当时，没有交点.
7. 定义行列式运算=a1b2﹣a2b1，将函数f（x）=的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．
【分析】利用新定义直接求出f（x）的表达式，图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，
【解答】解：f（x）==，它的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，函数为：，∴t+=π时，t最小，所
以t的最小值为：，
故选C．
8. 若右边的程序框图输出的是126，则条件①可为( )
A． B． C． D．参考答案：
B
略
9. 已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=( )
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
参考答案：
A
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．
【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量==（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
10. 已知函数，且，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f （x ）=（a∈R）的图象与直线x ﹣2y=0相切，当函数g （x ）=f （f （x ））﹣t 恰
有一个零点时，实数t 的取值范围是 ．
参考答案：
{
0}
【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先利用函数f （x ）=
（a∈R）的图象与直线x ﹣2y=0相切，求出a ，再作出f （x
）的图
象，利用当函数g （x ）=f （f （x ））﹣t 恰有一个零点时，即可实数t 的取值范围．
【解答】解：由题意，f′（x ）=，
取切点（m ，n ），则n=
，m=2n ，
=，
∴m=
，a=e ．∴f（x ）=
，
f′（x ）=，
函数f （x ）在（0，e ）上单调递增，（e ，+∞）上单调递减， f （1）=0，x→+∞，f （x ）→0， 由于f （e ）=1，f （1）=0，
∴当函数g （x ）=f （f （x ））﹣t 恰有一个零点时，实数t 的取值范围是{0}， 故答案为：{0}．
12. 已知
为第二象限角，，则的值为 ]
参考答案：
2
由展开得，平方得，所以
，从而
，因为
为第二象限角，故
，因此
，因为
，
，所以
，
，则
13. 已知正项等比数列{}的前n 项和为
，且
，则
= __________.
参考答案：
略
14. 从等腰直角的底边
上任取一点，则为锐角三角形的概率
为 ；
参考答案：
15. （几何证明选做题）如图所示，、是半径为的圆的两条弦，它们相交于
的中点，，，则
.
参考答案：
略
16. 过点（2，﹣2）的抛物线的标准方程是．
参考答案：
y2=2x或x2=﹣2y
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点代入即可．
解答：解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax，将点（2，﹣2）代入可得a=2，
故抛物线的标准方程为y2=2x
②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将点（2，﹣2）代入可得b=﹣2
故抛物线的标准方程为x2=﹣2y
故答案为：y2=2x或x2=﹣2y
点评：本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键
17. 已知向量，都是单位向量，且，则的值为 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
参考答案：
【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程．
【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为
一般参数方程；
（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．
【解答】解：（1）直线的参数方程为，即．
（2）把直线代入x2+y2=4，
得，t1t2=﹣2，
则点P到A，B两点的距离之积为2．
19. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14
分。

（1）（本小题满分7分）:矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为1.
（Ⅰ）求矩阵的另一个特征值；（Ⅱ）设，求.
（2）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线被
曲线截得的弦长.
（3）设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若存在实数使成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）（本小题满分7分）:矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为1.
（Ⅰ）求矩阵的另一个特征值；（Ⅱ）设，求.
解：（Ⅰ）矩阵的特征多项式，…1分
又矩阵的一个特征值为1，，，……2分
由，得，所以矩阵的另一个特征值为2. …3分（Ⅱ）矩阵的一个特征值为，对应的一个特征向量为，……4分
另一个特征值为，对应的一个特征向量为，……5分
∵，∴. ……7分（2）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；ks5u
（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长.
解析：（Ⅰ）曲线可化为即，……1分
所以曲线在极坐标系中的方程为，……2分ks5u
由于包含的情况，∴曲线在极坐标系中的方程为. …3分
（Ⅱ）直线的方程可化为...4分圆的圆心到直线的距离为 (5)
分又圆的半径为，直线被曲线截得的弦长…7分
（3）设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若存在实数使成立，求实数的取值范围．
解析：（Ⅰ）当时，由得，所以；
当时，由得，所以；
当时，由得，所以. ……2分ks5u
综上得：不等式的解集. ……3分ks5u
（Ⅱ），4分由柯西不等式得
，当时取“=”，
略
20. 已知椭圆W：（b＞0）的一个焦点坐标为．
（Ⅰ）求椭圆W的方程和离心率；
（Ⅱ）若椭圆W与y轴交于A，B两点（A点在B点的上方），M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由椭圆W：（b＞0）的一个焦点坐标为，求出a，b，由此能求出椭圆W的方程和离心率．
（Ⅱ）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E（，y0），从而直线AE的方程为y﹣
1=，令y=﹣1，则C（，﹣1），从而G（，﹣1），由点M在椭圆P 上，得到⊥，由此能求出∠OEG．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆W：（b＞0）的一个焦点坐标为，
∴a=2，c=，∴b==1，
∴椭圆W的方程为+y2=1．
离心率e=．
（Ⅱ）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E（，y0），
又A（0，1），∴直线AE的方程为y﹣1=，令y=﹣1，则C（，﹣1），
又B（0，﹣1），G为BC的中点，∴G（，﹣1），
∴=（），=（，y0+1），
=（﹣）+y0（y0+1）
=﹣++y0，
∵点M在椭圆P上，则+y02=1，
∴=4﹣4y02，
==1﹣y0﹣1+y0=0，
⊥，
∴∠OEG=90°．
21. 已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
参考答案：
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：计算题．
分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．
（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．
解答：解：（I）∵，∴，
∴圆C的直角坐标方程为，
即，∴圆心直角坐标为．
（II）∵直线l的普通方程为，
圆心C到直线l距离是，
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是
点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
22. 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE 交圆于点D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
参考答案：
【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）如图所示，连接DE．由于DB垂直BE交圆于点D，可得∠DBE=90°．即DE为圆的直径．由于∠ABC的角平分线BE交圆于点E，利用同圆中的弧圆周角弦之间的关系可得∠DCB=∠DBC，DB=DC．
（II）由（I）利用垂径定理及其推论可得：DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．连接OB，OC，可得OB⊥AB．在Rt△BOM中，可得∠OBM=30°，∠BOE=60°．进而得到
∠CBA=60°．∠BCE=30°，∠BFC=90°．即可得到△BCF外接圆的半径=．
【解答】（I）证明：如图所示，连接DE．
∵DB垂直BE交圆于点D，∴∠DBE=90°．
∴DE为圆的直径．
∵∠ABC的角平分线BE交圆于点E，
∴，
∴，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC．
（II）解：由（I）可知：DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．
连接OB，OC，则OB⊥AB．
在Rt△BOM中，OB=1，BM=BC=．
∴∠OBM=30°，∠BOE=60°．
∴∠CBA=60°．
∴．
∴∠BFC=90°．
∴△BCF外接圆的半径==．。