高考数学大一轮复习 9.6双曲线教师用书 理 苏教版

§9.6双曲线
1．双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<F1F2时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>F1F2时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
巧设双曲线方程
(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2
b 2＝t (t ≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2
n
＝1 (mn <0)．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程x 2m －y 2
n
＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y
n
＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1
e 22
＝
1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )
1．若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心
率为__________________________________________________________________． 答案
5
解析 由题意得b ＝2a ，又a 2
＋b 2
＝c 2
，∴5a 2
＝c 2
.
∴e 2
＝c 2
a
2＝5，∴e ＝ 5.
2．(2013·福建改编)双曲线x 2
4－y 2
＝1的顶点到其渐近线的距离d ＝________.
答案
25
5
解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y ＝±12x 的距离d ＝25
＝25
5.
3．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 2
16
＝1有相同的渐近线，且C 1的右
焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2
解析 与双曲线x 24－y 216＝1有相同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 2
16＝λ，即x 24λ－y 2
16λ
＝
1.
由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14
，则a 2＝1，b 2
＝4.
又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.
4．(2014·北京)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________． 答案 x 2
－y 2
＝1
解析 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上， 且c ＝2，a ＝1，则b 2
＝c 2
－a 2
＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2
－y 2
＝1.
题型一 双曲线的定义及标准方程
例1 (1)与双曲线x 2
－2y 2
＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________． (2)已知圆C 1：(x ＋3)2
＋y 2
＝1和圆C 2：(x －3)2
＋y 2
＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 思维点拨 解(2)时，考虑定义法． 答案 (1)y 22－x 2
4＝1
(2)x 2
－y 2
8
＝1(x ≤－1)
解析 (1)设与双曲线x 2
2－y 2
＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 2
2－y 2
＝k ，将点M (2，－2)代
入得k ＝22
2－(－2)2
＝－2.
所以双曲线方程为y 22－x 2
4
＝1.
(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件，
得MC 1－AC 1＝MA ，
MC 2－BC 2＝MB ，
因为MA ＝MB ，
所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，
所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于C 1C 2.
又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2
＝8.
故点M 的轨迹方程为x 2－y 2
8＝1(x ≤－1)．
思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求
出a 、b 、c 的值与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝λ (λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．
(1)(2014·天津改编)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝
1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为____________．
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个
焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________． 答案 (1)x 25－y 220＝1 (2)x 242－y 2
3
2＝1
解析 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以
b a
＝
2.
又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0.所以c ＝5.
由⎩⎪⎨⎪⎧
b a ＝2，
c ＝a 2＋b 2＝5
得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＝5，b 2
＝20.
故双曲线方程为x 2
5－y 2
20
＝1.
(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则|PF 1－PF 2|＝8.
由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 2
32＝1.
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)(2013·浙江改编)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1与双
曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________． (2)(2014·广东改编)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 2
25
－
y 2
9－k
＝1与曲线
x 2
25－k
－y 2
9
＝1的________相等．
思维点拨 (1)依题意可求出a 、c 的值．
(2)分别表示出两方程对应的a 、b 、c 的值比较即可． 答案 (1)
6
2
(2)焦距 解析 (1)F 1F 2＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1.
∵AF 2＋AF 1＝4，AF 2－AF 1＝2a ， ∴AF 2＝2＋a ，AF 1＝2－a . 在Rt△F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 2
1＋AF 2
2＝F 1F 2
2，
即(2－a )2
＋(2＋a )2
＝(23)2
， ∴a ＝2，∴e ＝c a
＝
32
＝
62
. (2)因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线
x 225－y 2
9－k
＝1的实半轴长为5，虚半轴
长为9－k ，焦距为225＋9－k ＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y
2
9＝1的
实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为225－k ＋9＝234－k ，离心率为
34－k 25－k
，
故两曲线只有焦距相等．
思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或
a 2化为e 的关系式，进而求解．
(2)方程x 2a 1－y 2b 1＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1，当a 1＋b 1＝a 2＋b 2时焦距相等．当a 1b 1＝a 2
b 2时渐近线相同．
(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x 2a 2－y 2
b
2＝0.
(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知双曲线
C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2
，则C 的渐近线方程为________． (2)过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条
渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →
，则此双曲线的离心率为________． 答案 (1)y ＝±1
2x (2)2
解析 (1)由e ＝c a ＝
5
2
知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2
知b ＝k .所以b a ＝12
.
即渐近线方程为y ＝±1
2
x .
(2)如图，∵FB →＝2FA →
， ∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.
又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴b a
＝tan 60°＝3， ∴e 2
＝1＋(b a
)2
＝4，∴e ＝2. 题型三 直线与双曲线的位置关系
例3 已知双曲线C ：x 2
－y 2
＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；
(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，
则方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－y 2
＝1，
y ＝kx －1有两个不同的实数根，
整理得(1－k 2
)x 2
＋2kx －2＝0.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1－k 2
≠0，Δ＝4k 2
＋81－k
2
>0，
解得－2<k <2且k ≠±1.
双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，
由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2
)x 2
＋2kx －2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝－2k 1－k 2
，x 1x 2
＝－2
1－k 2
.
当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，
S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12
(|x 1|－|x 2|)
＝1
2
|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，
S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD
＝12(|x 1|＋|x 2|)＝1
2|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝1
2|x 1－x 2|＝2，
∴(x 1－x 2)2
＝(22)2
，
即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±
6
2
时，△AOB 的面积为 2. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为
(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．
解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2
＋b 2
＝c 2
，得b 2
＝1， ∴双曲线C 的方程为x 2
3－y 2
＝1.
(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，
将y ＝kx ＋2代入x 2
3－y 2
＝1
，
得(1－3k 2
)x 2
－62kx －9＝0.
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
1－3k 2
≠0，
Δ＝361－k 2
>0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2
<0，
x A x B ＝－91－3k 2
>0，
解得3
3
<k <1. ∴当
3
3
<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k
1－3k 2，
∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝22
1－3k
2.
∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k 2，2
1－3k 2)．
设直线l 0的方程为y ＝－1
k
x ＋m ，
将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝42
1－3k 2.
∵
33
<k <1，∴－2<1－3k 2
<0. ∴m <－22.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．
忽视“判别式”致误
典例：(14分)已知双曲线x 2
－y 2
2＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两
点，且点P 是线段AB 的中点？
易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．
规范解答
解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[3分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[5分]
由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 2
2＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2
≠0)．① [8分]
∴x 0＝
x 1＋x 22＝k 1－k
2－k
2. 由题意，得
k 1－k
2－k
2
＝1，解得k ＝2.[10分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2
－4x ＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[13分]
∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[14分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．
(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．
(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.
方法与技巧
双曲线标准方程的求法
(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2
n
＝1 (mn >0)，这样
可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2
＋By 2
＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2
－a 2y 2
＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；
(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ (λ≠0)，据其他条件
确定λ的值． 失误与防范
1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2
＝b 2
＋c 2
，而在双曲线中c 2
＝a 2
＋b 2
.
2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．
3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方
程是y ＝±a b
x .
4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)
1．(2013·北京改编)若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为________．
答案 y ＝±2x
解析 由e ＝3，知c ＝3a ，则b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±b
a
x ，y ＝±2x .
2．(2013·湖北改编)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2
sin 2θ－y 2
cos 2
θ＝1与C 2：y 2
cos 2θ－x
2
sin 2θ＝1的________相等． 答案 焦距
解析 双曲线C 1、C 2的焦距均为2sin 2
θ＋cos 2
θ＝2.
3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________． 答案
3
解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴
垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2
a 2－1)＝
b 4a 2，∴y ＝±b 2a
，故AB ＝2b 2a ，依题意得2b
2
a
＝4a ，
∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a
2＝e 2
－1＝2，∴e ＝ 3. 4．(2014·江西改编)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相
交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为________． 答案
x 2
4
－y 2
12
＝1 解析 由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝a ，y ＝－b
a x ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ，
y ＝－b ，∴A (a ，－b )．
由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴
a －4
2
＋－b 2
＝4，即(a －4)2
＋b 2
＝16.
而a 2
＋b 2
＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 2
12
＝1.
5．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂
直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 (1,2)
解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2
a
)，E (a,0)，
∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →
>0，
即EA →·EB →
＝(－c －a ，b 2a
)·(－c －a ，－b 2
a
)>0，
整理得3e 2
＋2e >e 4
，∴e (e 3
－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)．
6．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 2
4－x 2
＝1具有相同渐近线，则C 的方程为
________；渐近线方程为________． 答案
x 2
3
－y 2
12
＝1 y ＝±2x 解析 设双曲线C 的方程为y 2
4－x 2
＝λ (λ≠0)，
将点(2,2)代入上式，得λ＝－3， ∴C 的方程为x 23－y 2
12＝1，
其渐近线方程为y ＝±2x .
7．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别
交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________． 答案
52
解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b
a x .
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，
x －3y ＋m ＝0
得A (
am 3b －a ，bm
3b －a
)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－b a x ，
x －3y ＋m ＝0
得B (
－am a ＋3b ，bm
a ＋3b
)， 所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2
m
9b 2－a
2)．
设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2
＝4b 2
. 在双曲线中，c 2
＝a 2
＋b 2
＝5b 2
， 所以e ＝c a ＝
52
. 8．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若
PF 1＋PF 2＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．
答案
3
解析 不妨设PF 1>PF 2，
则PF 1－PF 2＝2a ， 又∵PF 1＋PF 2＝6a ， ∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a .
又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，
由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴F 1F 2＝23a ， ∴双曲线C 的离心率e ＝23a
2a
＝ 3.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．
(1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为x 2－y 2
＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42
－(－10)2
＝6， ∴双曲线方程为x 2
－y 2
＝6.
(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32
－m 2
＝6，∴m 2＝3，
又双曲线x 2
－y 2
＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→
＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2
－(23)2
＋m 2
＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)解 12F MF S V ＝1
2
×43×|m |＝6.
10．已知椭圆C 1的方程为x 2
4＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2
的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →
>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．
解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)，
则a 2
＝3，c 2
＝4，再由a 2
＋b 2
＝c 2
，得b 2
＝1. 故C 2的方程为x 2
3－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 2
3－y 2
＝1，
得(1－3k 2
)x 2
－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得
⎩⎨
⎧
1－3k 2
≠0，Δ＝－62k
2
＋361－3k
2
＝361－k
2
>0，
∴k 2≠13且k 2
<1.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－9
1－3k 2.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)
＝(k 2
＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2
＋7
3k 2－1
.
又∵OA →·OB →
>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，
∴3k 2
＋73k 2－1>2，即－3k 2
＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2
<1，
故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－
33∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫33，1. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，
若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________． 答案
3＋1
解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，PF 2－PF 1＝2a ， △MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a
＝
23－1
＝3＋1.
2．(2013·重庆改编)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝
⎛⎦
⎥⎤
233，2 解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于
等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2
a 2≤3.又e 2
＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43
<e 2≤4，
∴
23
3
<e ≤2. 3．设过双曲线x 2
－y 2
＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若
PQ ＝7，则△F 2PQ 的周长为________．
答案 26
解析 如图，由双曲线的定义可得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
PF 2－PF 1＝2a ，QF 2－QF 1＝2a ，
将两式相加得PF 2＋QF 2－PQ ＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为
PF 2＋QF 2＋PQ
＝4a ＋PQ ＋PQ ＝4×3＋2×7＝26.
4．(2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 2
16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等
于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44
解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且PQ ＝QA ＋PA ＝4b ＝16，
由双曲线定义，得PF －PA ＝6，QF －QA ＝6. ∴PF ＋QF ＝12＋PA ＋QA ＝28， 因此△PQF 的周长为
PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.
5．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，
且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53
解析 由定义，知PF 1－PF 2＝2a . 又PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝2
3a .
在△PF 1F 2中，由余弦定理，
得cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2
－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2
.
要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝5
3，
即e 的最大值为5
3
.
6．已知离心率为4
5
的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴
为虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连结BP 交椭圆于点
M ，连结PA 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →
，求四边形ANBM 的面积． 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
且满足⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－
b 2a ＝45，
2a 2＋b 2＝234，
解方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝25，b 2
＝9.
∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 2
9＝1.
(2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，AB ＝10， 设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →
得M 为BP 的中点， ∴P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)．
将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2025＋y 2
9＝1，2x 0
－52
25－4y
2
9
＝1，
消去y 0，得2x 2
0－5x 0－25＝0.
解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝33
2.
由此可得M (－52，33
2)，∴P (－10,33)．
当P 点坐标为(－10,33)时， 直线PA 的方程是y ＝33
－10＋5(x ＋5)，
即y ＝－335(x ＋5)，代入x 2
25＋y
2
9＝1，
得2x 2
＋15x ＋25＝0.
∴x ＝－5
2或－5(舍去)，
∴x N ＝－5
2
，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴．
∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×33
2
＝15 3.。