高二数学 课时提升卷(三) 1.1.3

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高二数学课时提升卷(三)
四种命题间的相互关系
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真
假情况是( )
A.原命题真,逆命题假
B.原命题假,逆命题真
C.原命题与逆命题均为真命题
D.原命题与逆命题均为假命题
2.(2013·枣庄高二检测)命题p:“若x2-3x+2≠0,则x≠2”,若p为原命题,则p
的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法:
①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,
则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.
其中,说法不正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
4.(2013·威海高二检测)命题“如果a,b都是奇数,则ab必为奇数”的逆否命
题是( )
A.如果ab是奇数,则a,b都是奇数
B.如果ab不是奇数,则a,b不都是奇数
C.如果a,b都是奇数,则ab不是奇数
D.如果a,b不都是奇数,则ab不是奇数
5.关于原命题“在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则△ABC是钝角三角形”的叙述:
①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.
其中,正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的逆否命题为
,是命题(填真、假).
7.下列命题:①“若k>0,则方程x2+2x+k=0有实根”的否命题;②“若>,则a<b”的逆命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题,其中是假命题的是.
8.有下列三个命题:
①“全等三角形的面积相等”的否命题;
②“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;
③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.
其中所有真命题的序号为.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.写出原命题“已知集合A,B,若A∪B≠B,则A不是B的子集”的逆命题、否命
题、逆否命题,分别判断四种命题的真假.
10.证明:已知x>0,y>0,若x+y>2,则与至少有一个小于2.
11.(能力挑战题)若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q<.
(1)判断上述命题的真假,并说明理由.
(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b<2”,是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,如a=3,b=-2,满足条件,可是结论不成立.
2.【解析】选B.命题p的逆命题:“若x≠2,则x2-3x+2≠0”,假命题;
否命题:“若x2-3x+2=0,则x=2”,假命题;
逆否命题:“若x=2,则x2-3x+2=0”,真命题.
3.【解析】选B.①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.
4.【解析】选B.命题“若p,则q”的逆否命题为“若﹁q,则﹁p”.
故“如果a,b都是奇数,则ab必为奇数”的逆否命题为“如果ab不是奇数,则a,b不都是奇数”.
5.【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.
【解析】选C.在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,
则-cos(B+C)=2sinBsinC,得
cosBcosC+sinBsinC=0,
得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,
即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题. 逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,
如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,
cosA=cos15°=,
sinB=sin15°=,sinC=sin150°=,
2sinBsinC=≠cosA.
6.【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的逆否命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.
答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真
7.【解析】因为方程x2+2x+k=0没有实根⇔Δ=4-4k<0⇔k>1,推不出k≤0,所以“若k>0,则方程x2+2x+k=0有实根”的否命题为假;“若>,则a<b”的逆命题为“若
a<b,则>”.因为>⇔>0⇔或⇔或所以逆命题显然为假;“梯形不是平行四边形”为真,所以其逆否命题也为真.所以是假命题的是①②.
答案:①②
【误区警示】在判断②时,易由a<b得<,即<,从而得出逆命题为真的错误.其错误的原因是忽视了不等式性质成立的条件.
【变式备选】命题“若不存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点不共线”的逆否命题是,是命题(填真、假).
【解析】命题“若不存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点不共线”的逆否命题是“若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ”,是真命题.
答案:若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ真
8.【解析】命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的逆命题:“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题,因此命题①是假命题;命题②的逆命题是“若x2+2x+q=0有实根,则q≤1”,是真命题;命题③是假命题.
答案:②
9.【解析】原命题:已知集合A,B,若A∪B≠B,则A不是B的子集,真命题;
逆命题:已知集合A,B,若A不是B的子集,则A∪B≠B,真命题;
否命题:已知集合A,B,若A∪B=B,则A⊆B,真命题.
逆否命题:已知集合A,B,若A⊆B,则A∪B=B,真命题.
10.【解题指南】根据原命题和它的逆否命题真假性相同,可以转化为证明原命题的逆否命题,也可利用反证法证明原命题.
【证明】将要证的命题“已知x>0,y>0,若x+y>2,则与至少有一个小于2”视为原命题,只需证明其逆否命题,即证明:已知x>0,y>0,若与都不小于2,则x+y≤2.
若≥2,≥2,则1+x≥2y,
1+y≥2x,所以1+x+1+y≥2y+2x,
所以x+y≤2,这就证明了逆否命题的正确性,所以原命题得证.
【拓展提升】含有“不”或“至少”的命题的证明方法
有些命题的条件或结论中含有“不”“至少”“至多”等词语,直接证明命题非常困难,根据原命题与逆否命题具有相同的真假性,可以转化为证明原命题的逆否命题,从而间接完成原命题的证明,这里体现了“正难则反”的思想.能用上述方法证明的命题,都可以运用反证法证明.
11.【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ=4p2+4q<0,得q<-p2,
∴p+q<p-p2=-(p-)2+≤,
∴p+q<.
(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q<,则方程x2+2px-q=0没有实数根.
逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+q<,但原方程有实数根x=-1.
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