2019年高考数学(理科)一本“培养优选练”小题对点练8解析几何(1)Word版含解析

小题对点练(八) 解析几何(1)
(建议用时：40分钟)
(对应学生用书第120页)
一、选择题
1．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．6
D ．1或2
D [由l 1⊥l 2，得a (3－a )－2＝0，
即a ＝1或a ＝2，故选D.]
2．椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点分别为点F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点(非左右顶点)，则△PF 1F 2的周长为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
C [由x 29＋y 25＝1知，a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，
所以△PF 1F 2周长为2a ＋2c ＝6＋4＝10，
故选C.]
3．已知直线l ：4x ＋3y －20＝0经过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的一个焦点，且与其一条渐近线平行，则双曲线C 的实轴长为( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
C [由题意得b a ＝43，c ＝5，又a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝3,2a ＝6，故选C.]
4．(2018·宣城市第二次调研)若方程x 2k －3＋y 2
k －5
＝1(k ∈Z )表示双曲线，则该双曲线的离心率为( )
A ．1 B. 2 C.22 D ．2
B[因为方程x2
k－3＋
y2
k－5
＝1表示双曲线，
所以(k－3)(k－5)＜0，所以3＜k＜5，
因为k∈Z，所以k＝4，所以x2
1－
y2
1＝1，所以e＝2，选B.]
5．(2018·济南市一模)已知椭圆C：x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且
两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()
A.x2
36＋
y2
32＝1 B.
x2
9＋
y2
8＝1
C.x2
9＋
y2
5＝1 D.
x2
16＋
y2
12＝1
B[∵椭圆长轴为6，焦点恰好三等分长轴，∴2a＝6，a＝3，∴6c＝6，c
＝1，b2＝a2－1＝8，∴椭圆方程为x2
9＋
y2
8＝1，故选B.]
6．(2018·天津高考)已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦
点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()
A.x2
4－
y2
12＝1 B.
x2
12－
y2
4＝1
C.x2
3－
y2
9＝1 D.
x2
9－
y2
3＝1
C[由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为
双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以
c
a＝2，所以
a2＋b2
a2＝4，所以
a2＋9
a2
＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x2
3－
y2
9＝1，故选C.]
7．若圆x2＋y2＋4x－2y－a2＝0截直线x＋y＋5＝0所得的弦长为2，则实数a的值为()
A．±2 B．－2
C．±4 D．4
A[圆x2＋y2＋4x－2y－a2＝0化为标准方程(x＋2)2＋(y－1)2＝a2＋5，则圆
心(－2,1)到直线x＋y＋5＝0的距离d＝4
2
＝22，则弦长为2a2＋5－8＝2，化
简得a 2＝4，故a ＝±2.]
8．与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
B [O 1(－2,2)，r 1＝1，O 2(2,5)，r 2＝4，
∴|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴圆O 1和圆O 2外切，
∴与圆O 1和圆O 2都相切的直线有3条．故选B.]
9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的
面积为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B.32 C.12 D ．1
C [由题意得c a ＝32，2ab ＝12⇒a 2＝12，b 2＝3，利用点差法得直线l 的斜
率为－b 2x 中a 2y 中＝－3×(－2)12×1＝12，选C.] 10．已知函数y ＝f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，设抛物线E ：y 2＝4x 上任意一点M 到准线l 的距离为d ，则d ＋||MA 的最小值为( )
A ．5 B.10 C. 5 D. 2
C [当x ＋1＝0时，y ＝－1，故A (－1，－1)，设抛物线焦点为F (1,0)，根据抛物线的定义可知，d ＋||MA 的最小值为||AF ＝ 5.]
11．中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，∠OP A ＝90°，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，63 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)，
设P (x ，y )，点P 在以OA 为直径的圆上．圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22，化
简为x 2－ax ＋y 2＝0，
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－ax ＋y 2＝0，x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，可得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0.
则x ＝ab 2c 2，因为0<x <a ，所以0<ab 2
c 2<a ，
即c 2>b 2＝a 2－c 2，可得22<e <1，故选B.]
12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的
任意一点，则OP →·FP
→的最大值为( ) A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
C [由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2).OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20
＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14
(x 0＋2)2＋2. 又因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP
→取得最大值，最大值为6，故选C.]
二、填空题
13．若圆C 过点()0，－1，()0，5，且圆心到直线x －y －2＝0的距离为22，
则圆C 的标准方程为________．
x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73 [由题意可设圆心C ()a ，2，则||
a －2－22＝22⇒a ＝0或a ＝8，所以半径等于0＋32或82＋32，即圆C 的标准方程为x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73.]
14．已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
3＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为________．
3
2 [由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方
程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，
又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.]
15．(2018·安阳模拟)抛物线M ：y 2
＝2px (p ＞0)与椭圆N ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)有相同的焦点F , 抛物线M 与椭圆N 交于A ，B ，若F ，A ，B 共线，则椭圆N 的离心率等于________．
2－1 [由题意，知F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，c ＝p 2，即p ＝2c .由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和x 轴垂直，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝2b 2a ，又由抛物线的
定义知|AB |＝2p ，所以2b 2a ＝4c ，即c 2＋2ac －a 2＝0，e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－
1.]
16．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．
y ＝±22x [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2b
2＝1，x 2＝2py ，
得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，
∴y 1＋y 2＝2pb 2
a 2.
又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，
∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，即y 1＋y 2＝p ，
∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .]。