北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

北京市门头沟区2021届新高考数学考前模拟卷（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3a B ．b ＝6a
C ．b ＝9a
D ．b ＝12a
【答案】C 【解析】 【分析】
两复数相等，实部与虚部对应相等. 【详解】
由3(21)ai b a i +=--，
得312b a a
=⎧⎨=-⎩，即a 13=，b ＝1．
∴b ＝9a ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查复数的概念，属于基础题.
2．已知函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t
+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+
【答案】C 【解析】 【分析】
先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程
2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而
()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数
51()1ln(2)048h a a a a ⎛
⎫=-
--<< ⎪⎝
⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围.
由题可得：221
()ax x f x x
-+='（0x >），
因为函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，
于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪+=>⎨⎪
⎪=>⎪⎩
解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦
因为()()()12122f x f x x x +-+()2
2
11122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+
()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦5
1ln(2)4a a
=---.
设51()1ln(2)048h a a a a ⎛
⎫=-
--<< ⎪⎝
⎭， 2
54()04a h a a -'=
>，故()h a 在10,8⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭
， 所以112ln 2t <-+，
所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度. 3．设函数()()
2
1
ln 11f x x x
=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞U C ．()1,1- D ．()()1,00,1-U
【答案】B
【分析】
由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】
由题意知：()f x 定义域为R ，
()()()
()()2
2
11
ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--
=+-
=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()2
1
ln 11f x x x
=+-
+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，2
1
1y x =
+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，
由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，
x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .
故选：B . 【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 4．已知i 是虚数单位，则复数2
4
(1)
i =-（ ） A ．2i B ．2i -
C ．2
D ．2-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的基本运算求解即可. 【详解】
22
4422(1)2i
i i i i ===---.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.
5．函数1
()ln 1
f x x x =
--的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】
设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1
f x x x =
--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1
()1g x x '=-，当
(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在
(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.
【点睛】
本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断. 6．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）
A ．
π90
B ．
π180
C ．
π270
D ．
π360
【答案】A 【解析】 【分析】
设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n ︒
,则每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n
︒,由割圆术可得圆的面积为2
21360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n n
π
︒=,当180n =时即可为所求. 【详解】
由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n
︒
, 所以每个等腰三角形的面积为
21360sin 2r n ︒, 所以圆的面积为2
21360sin
2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090
ππ
︒=︒==, 故选:A 【点睛】
本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.
7．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点
(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数
C ．()y f x =的图像关于直线2
x π=对称
D ．()y f x =【答案】D 【解析】 【分析】
通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】
解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；
D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]
1,1t ∈-则()322g t t t =-，()2
26g t t '=-，[1t ∈-，
⎛
单调递增，在1,3⎛--
⎝⎭和,13⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减；
且g =⎝⎭
()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．
8．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．
1
2
B ．
13
C ．
16
D ．
112
【答案】B 【解析】 【分析】
求得基本事件的总数为222
422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为22
2
42222
6C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1
3
m p n ==，故选B. 【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO
=，则·OM ON u u u u r u u u r
的
取值范围是（ ）
A ．[]0,2
B ．0,⎡⎣
【答案】D 【解析】 【分析】
设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22
(2)8x y +-=，
写出点M
的参数方程，则·os OM ON θ=u u u u r u u u r ，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON u u u u r u u u r
结果. 【详解】 设(,)M x y ，则
∵
MA MO
=，()0,2A -
=
∴2222(2)2()x y x y ++=+
∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程
∴点M
的参数方程为2x y θθ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）
则由向量的坐标表达式有：
·os OM ON θ=u u u u r u u u r
又∵cos [1,1]θ∈-
∴·[OM ON θ=∈-u u u u r u u u r
故选：D 【点睛】
考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法
10．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12
π
个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题
①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12
x π
=
③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭
其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=-
-+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】
由题,2
1cos 2()sin 2
x f x x -==
, 则向右平移12
π
个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛
⎫-- ⎪
⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝
⎭ cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭Q ,()g x ∴的值域为[0,1],①错误；
当12
x π
=时,206
x π
-
=,所以12
x π
=
是函数()g x 的一条对称轴,②正确；
当3
x π
=
时,226x ππ-
=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫
⎪⎝⎭
,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛
⎫'=-∈- ⎪⎝
⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在
1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个. 故选:C 【点睛】
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.
11．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+
【答案】C
【分析】
根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】
解：0.22lg0.3lg0.3
+log 0.3log 0.3+lg0.2
lg 2
a b =+=
55
lg 0.3lg
lg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯=
=--⨯⨯ ()
0.22lg 0.3lg 0.3
log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2
lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3
lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2
10
lg 0.3lg
3lg 5lg 2
ab =⨯=⨯-⨯⨯==
⨯⨯-⨯-=
⨯⨯=-
⨯
显然510
lg
lg 23
<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，
所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】
本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.
12．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）
A ．250cm
B ．260cm
C ．295cm
D ．305cm
【答案】B 【解析】
»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆
心角，再利用弧长公式即可求解. 【详解】
如图所示，»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，
则643258AB cm =⨯=
15CD cm =
设弧AB 所在圆的半径为r ，则
222()r r CD AC =-+
22(15)129r =-+
解得562r cm ≈
129
sin 0.23562
AOD ∠=
≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈
所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526
x x π
≈⇒<
所以弧长5622946
π
<⨯≈.
故选：B 【点睛】
本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA u u u r ，OB uuu r
，则12
z z =_______.
【答案】12i -+ 【解析】
试题分析：由坐标系可知122,z i z i =--=12212z i i z i
--∴==-+ 考点：复数运算
14．已知函数()2e (e)ln e
x
f x f x '=-，则函数()f x 的极大值为 ___________． 【答案】2ln 2 【解析】 【分析】
对函数求导，通过赋值，求得()f e '，再对函数单调性进行分析，求得极大值. 【详解】
()()21
ef e f x x e '-'=
，故()()21ef e f e e e
'-'= 解得()1f e e '=
，()2x f x Inx e =- ，()21f x x e
='- 令()0f x '=，解得2x e =
函数在()0,2e 单调递增，在()2,e +∞单调递减， 故()f x 的极大值为()222222f e In e In =-= 故答案为：22In . 【点睛】
本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量()f e '. 15．()6
2x y -的展开式中，24
x y 的系数为_______（用数字作答）.
【答案】60 【解析】 【分析】
根据二项式定理展开式通项，即可求得2
4
x y 的系数. 【详解】
因为()
616r
r r
r T C x -+=，
所以4r =，
则所求项的系数为(4
4
6
60C =.
故答案为：60 【点睛】
本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.
16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(21)3n n S a +=，若108a ka =，则k =______________. 【答案】9 【解析】 【分析】
用1n -换(21)3n n S a +=中的n ，得11233(2)n n S a n --=+≥，作差可得13(2)n n a a n -=?，从而数列{}n a 是等比数列，再由28
10
a k q a ==即可得到答案. 【详解】
由233n n S a =+，得11233(2)n n S a n --=+≥，两式相减，得1233n n n a a a -=-， 即13(2)n n a a n -=?；又11233S a =+，解得13a =-，所以数列{}n a 为首项为-3、 公比为3的等比数列，所以28
10
9a k q a ===. 故答案为：9. 【点睛】
本题考查已知n a 与n S 的关系求数列通项的问题，要注意n 的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为B ，圆22:4C x y '+=与y 轴的正半轴交于点A ，与
C 有且仅有两个交点且都在C 轴上，
||||2
OB OA =
（O 为坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点31,2D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，不过D 点且斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线DM 与直
线DN 的斜率互为相反数.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）根据条件可得2a =
，进而得到b =
（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+，联立22
12
14
3y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，分别表示出直线DM 和直线DN 斜率，相加利用根与系数关系即可得到. 【详解】
解：（1）Q 圆2
2
:4C x y '
+=与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上，所以2a =，
又||||OB OA =Q
，2b ∴=
，解得b =C 的方程为22143x y +=；
（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+，联立22
12
1
4
3y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得22444120x mx m -+-=， 则(
)(
)2
2
2
(4)444124840m m m ∆=--⨯-=->，解得22m -<<，
设点()11,M x y ，()22,N x y ，
则12x x m +=，2
123x x m =-，
所以12121212331313
2222221111DM
DN
y y x m x m k
k x x x x -
--+--+-+=
+=+=++++ ()()()()()
2212121212(2)233223
01111x x m x x m m m m m x x x x -+-++--+-+-==++++，
故直线DM 与直线DN 的斜率互为相反数. 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程，属于中档题． 18．已知函数()()1ln f x x x x λλ⎛⎫
=+-∈
⎪⎝⎭
R . （1）当1x >时，不等式()0f x <恒成立，求λ的最小值；
（2）设数列()*
1N n a n n =∈，其前n 项和为n S ，证明：2ln 24
n n n
a S S -+>. 【答案】（1）12
；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）()2'
2
x x f x x
λλ
-+-=，分12λ≥，102λ<<，0λ≤三种情况推理即可； （2）由（1）可得()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
+<=
⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭
，即()()
11ln 1ln 221n n n n +-<
++，利用累加法即可得到证明. 【详解】
（1）由()()1ln f x x x x λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ，得()2
'
2
x x f x x
λλ-+-=. 当1
2
λ≥
时，方程20x x λλ-+-=的2140λ∆=-≤，因此2x x λλ-+-在区间()1,+∞ 上恒为负数.所以1x >时，()'
0f
x <，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递减.
又()10f =，所以函数()0f x <在区间()1,+∞上恒成立； 当1
02
λ<<
时，方程20x x λλ-+-=
有两个不等实根，且满足121x x =<<=
所以函数()f x 的导函数()'
f x
在区间11,
2λ⎛+ ⎪⎝
⎭
上大于零，函数()f x 在区间
⎛ ⎝
⎭上单增，又()10f =，所以函数()f x
在区间⎛ ⎝
⎭
上恒大于零，不满足题意；
当0λ≤时，在区间()1,+∞上()1ln ln f x x x x x λ⎛⎫
=+-≥
⎪⎝⎭
，函数ln y x =在区间()1,+∞ 上恒为正数，所以在区间()1,+∞上()f x 恒为正数，不满足题意； 综上可知：若1x >时，不等式()0f x <恒成立，λ的最小值为
1
2
.
（2）由第（1）知：若1x >时，()()1111ln 22x x x x x x +-⎛⎫<-
-= ⎪⎝⎭
. 若*n ∈N ，则()111111121ln 112121n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
+<=
⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭
， 即()()
11ln 1ln 221n n n n +-<
++成立. 将n 换成1n +，得()()()()11
ln 11ln 121211n n n n ++-+<
+⎡⎤⎣⎦+++⎡⎤⎣⎦
成立，即
()()()()
11
ln 2ln 12122n n n n +-+<
+++，
以此类推，得()()()()
11
ln 3ln 22223n n n n +-+<
+++，
()()11
ln 2ln 212214n n n n
--<
+-，
上述各式相加，得11111ln 2ln ln 2212214n n n n n n n
-=<+++++++-L ， 又21111
12212n n S S n n n n -=++++++-L ，所以2ln 24
n n n a S S -+>. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.
19．某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，,A B 两点为喷泉，圆心O 为AB 的中点，其中OA OB a ==米，半径10OC =米，市民可位于水池边缘任意一点C 处观赏． （1）若当23
OBC π∠=
时，1
sin 3BCO ∠=，求此时a 的值；
（2）设2
2
y CA CB =+，且22232CA CB +≤． （i ）试将y 表示为a 的函数，并求出a 的取值范围；
（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB ∠的最大值不小于6
π
，试求,A B 两处喷泉间距离的最小值．
【答案】 (1)203a =(2)(i)2
2002y a =+，(0,4]a ∈；(ii)40203-【解析】 【分析】
（1）在OBC ∆中，由正弦定理可得所求；
（2）（i ）由余弦定理得2
2
2
2
10020cos ,10020cos AC a a AOC BC a a BOC =+-∠=+-∠，两式相加可得所求解析式．（ii ）在ABC ∆中，由余弦定理可得
2222222
222
442cos 12100CA CB a CA CB a a ACB CA CB CA CB a +-+-∠=≥=-
⋅++，根据ACB ∠的最大值不小于6π可得关于a 的不等式，解不等式可得所求． 【详解】
（1）在OBC ∆中，由正弦定理得sin sin OC OB
OBC BCO =∠∠，
所以1102033293
OC sin BCO OB sin OBC sin π⨯
⋅∠=
==∠， 即203
a =
． （2）（i ）在AOC ∆中，由余弦定理得2210020cos AC a a AOC =+-∠， 在BOC ∆中，由余弦定理得2210020cos BC a a BOC =+-∠， 又AOC BOC π∠=-∠ 所以2222002CA CB a +=+， 即2
2002y a =+．
又2222002232CA CB a +=+≤，解得04a <≤，
所以所求关系式为2
2002y a =+，(]
0,4a ∈．
（ii ）当观赏角度ACB ∠的最大时，cos ACB ∠取得最小值． 在ABC ∆中，由余弦定理可得
2222222
222
442cos 12100CA CB a CA CB a a ACB CA CB CA CB a
+-+-∠=≥=-⋅++， 因为ACB ∠的最大值不小于
6
π
，
所以22211002
a a -≤
+
，解得20a ≥-，
经验证知(]200,4-，
所以240a ≥-
即,A B
两处喷泉间距离的最小值为40- 【点睛】
本题考查解三角形在实际中的应用，解题时要注意把条件转化为三角形的边或角，然后借助正余弦定理进行求解．解题时要注意三角形边角关系的运用，同时还要注意所得结果要符合实际意义．
20．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111
n n
T S S S S =
+++⋯⋯+，证明：12n T <…． 【答案】（Ⅰ）2n
n a =，*n N ∈；（Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由12a =，且1322,,3a a a 成等差数列，可求得q ，从而可得本题答案； （Ⅱ）化简求得n b ，然后求得1
n
S ，再用裂项相消法求n T ，即可得到本题答案. 【详解】
（Ⅰ）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(
)*
n N ∈，1
2a
=，可设公比为q ，0q >，
又1322,,3a a a 成等差数列，
所以312223a a a =+，即222432q q ⨯=+⨯， 解得2q =或12
q =-
（舍去），则112n n n a a q -==，*n N ∈； （Ⅱ）证明：22log log 2n
n n b a n ===，
1
(1)2n S n n =
+，12112(1)1n
S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，
则12311111111112(1)2(1)22311
n n T S S S S n n n =
+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++， 因为11012n <
≤+，所以112121n ⎛
⎫≤-< ⎪+⎝⎭
即12n T ≤<. 【点睛】
本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，
直线l 与椭圆交于,C D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6. （1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线,AC BD 的斜率分别为12,k k . ①若213k k =，求证：直线l 过定点；
②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断1
2k k 是否为定值，并说明理由.
【答案】（1）22
1
43x y +=；（2）①证明见解析；②12
31k k = 【解析】 【分析】
（1）由题意焦距为2，设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，解得2
0b y a
=±，从而四边形ACBD
的面积2
26222ABC
b S a b a
∆===g ，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143
x y +=，得222
11(34)16120k x k ++-=，推
导出212186(34k C k --+，12112)34k k +，222
286
(34k D k -+，
22212)34k k -+，由此猜想：直线l 过定点(1,0)P ，从而能证明P ，C ，D 三点共线，直线l 过定点(1,0)P ．
②由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22
143
x y +=，得
22(34)690m y my ++-=，推导出122634m y y m +=-
+，122
9
34
y y m =-+，由此推导出1
11121212122212112222(2)(1)1(2)(3)332y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---=====+++-（定值）．
【详解】
（1）由题意焦距为2，可设点0(1,)C y ，代入椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>，
得2
02211y a b +=，解得2
0b y a =±， ∴四边形ACBD 的面积2
26222ABC
b S a b a
∆===g ，
23b ∴=，24a =，
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +=．
（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，
联立直线与椭圆的方程22143
x y +=，得222
11(34)16120k x k ++-=，
211211612234k x k -∴-=+，解得2
11216834k x k -=+，从而11112112(1)34k y k x k =+=+，
212186(34k C k -∴-+，12112)34k k +，同理可得222
2
86
(34k D k -+，22212)34k k -+， 猜想：直线l 过定点(1,0)P ，下证之：
213k k =Q ，12
22
12221222
12121234348686113434PC PD
k k k k k k k k k k -
++∴-=------++
121111
22222
2
1211114124364401449143691414k k k k k k k k k k k k =
+=+=-=------， P ∴，C ，D 三点共线，∴直线l 过定点(1,0)P ．
②
1
2
k k 为定值，理由如下： 由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，
代入椭圆标准方程：22
143
x y +=，得22(34)690m y my ++-=，
1,2
y ∴=，
122634m y y m ∴+=-
+，12
29
34
y y m =-+， ∴1
111212121
22212112222(2)(1)(2)(3)32y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---====+++- 22222
2222963()34343499333434
m m m
y y m m m m m y y m m -----++++=
=-+-+++
2
222313493334m
y m m y m -++==-++（定值）． 【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题． 22．已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；
（2）若不等式2
2()m x x f x --„在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）{|02}x x <<；（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为22()m x x f x ++„在R 上恒成立，分别求函数2
()2g x x x =+与()f x 的最小值，
根据能同时成立，可得2
2()x x f x ++的最小值，即可求解. 【详解】
（1）①当2x <-时,不等式()3f x x <+可化为123x x x ---<+,得4
3
x >-
，无解； ②当-2≤x≤1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+得x>0,故0<x≤1; ③当x>1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+,得x<2,故1<x< 2. 综上，不等式()3f x x <+的解集为{|02}x x << （2）由题意知2
2()m x x f x ++„在R 上恒成立，
所以()2min 2()x m x x f x ++…
令2()2g x x x =+，则当1x =-时，min ()1g x =-
又当21x -剟
时，()f x 取得最小值，且min ()3f x = 又1[2,1]-∈-
所以当1x =-时，()f x 与()g x 同时取得最小值.
所以()2min 2()
132x x f x ++=-+= 所以2m ≤，
即实数m 的取值范围为(,2]-∞
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.
23．已知函数2()cos 2
a f x x x =+（a ∈R ），()f x '是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
存在唯一的极小值点；
（2）已知函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1a ≤
【解析】
【分析】
（1）设1()()cos g x h x x x '==
-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，再利用零点存在性定理即可解决；
（2）函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可. 【详解】
（1）由已知，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x
-=+，
当0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'()g x 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续 不断.所以'()g x 在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上有唯一零点α， 当(0,)x α∈时，'()0g x <；当,2x α⎛
π⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'()0g x >； ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛
⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在唯一的极小 值点，即()h x '在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点； （2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥，
∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=，
即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤， 因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 令'2()22cos24()m x a x x p x =--=，
∵sin 22x x ≤，
∴'
()4sin 280p x x x =-≤， '
()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-， 当1a ≤时，'()0m x ≤，则()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'
()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， '(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=
与题意不符，舍去.
综上，a 的取值范围是1a ≤
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.。