培英高中-度高三数学文科第二阶段考试卷

培英高中2007-2008第二阶段考试数学（文）
第Ⅰ卷 (选择题，共50分)
一．选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项
中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数x
x f -=11
)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则N M ⋂=（ ）
A ．}11|{<<-x x B.}1|{<x x C. }1|{->x x D.φ
2．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 （ ）
A B
C
D
3.函数y =-
x +b 与x
b y -=(b>0,且b ≠1)的图像可能是( )
(A) (B) (C) (D) 4．在△ABC 中，已知,1,3,3
===
b a A π
则=c （ ）
A ．1 B. 2 C.13- D.3
5．已知3)(x x f -=，则下列正确的是（ ）
A ．奇函数，在R 上为增函数
B ．奇函数，在R 上为减函数
C ．偶函数，在R 上为增函数
D ．偶函数，在R 上为减函数 6．已知==
-
∈x x x 2tan ,54
cos ),0,2(则π
（ ）
A ．247
B ．247-
C ．724
D ．7
24-
7．已知数列｛n a ｝的通项公式,503-=n a n 则其前n 项的和n S 的最小值是（ ） A ．－784 B ．－392 C ．－389 D ．－368
8．已知m ＞0，n ＞0，且满足m+n=4，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．
111≤+n
m B ．
2
11≥mn C ．2≥mn
D ．
81
12
2≤+n
m 9．在正数数列}{n a 中，21=a ，且点),(1-n n a a 在直线02=-y x 上，前n 项和n S 等于（ ） A ．22
1
-+n B ．12-n C ．222-n
D ．22
2
2-+n
10．在R 上定义运算○×：x ○×y =x (1―y )，若不等式(x ―a )○×(x +a )<1对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(―∞, ―2
1
) B ．(―
2
3,21) C ．(1，
2
3) D ．(1, +∞)
第Ⅱ卷 (非选择题共100分)
二． 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分． 11.若方程2
210ax x --=在(0,1)x ∈内恰有一解，则a 的取值范围是_______
12．在等差数列}{n a 中，若1391197533,100a a a a a a a -=++++则的值为_______
13．设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0
320420
2⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤--
14． 给出四个命题 : 则其中正确命题的序号为 ①存在一个△ABC ，使得sin A +cos A =－1; ②△ABC 中,A ＞B 的充要条件为sin A ＞sin B ; ③直线=
x 8
π
是函数)452sin(π+=x y 图象的一条对称轴；
④△ABC 中，若sin2A =sin2B ,则△ABC 一定是等腰三角形.
三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 已知函数a x x x x f ++-
++=cos )6
sin()6
sin()(π
π
的最大值为1.
（1）求常数a 的值；
（2）求)(x f 的单调递增区间； （3）求0)(≥x f 成立的x 的取值集合。

16．(本小题满分12分)如图，在ABC ∆中，AC=2,BC=1,cosC=
3。

（1）求AB 的值；（2）求)2sin(C A +的值。

17．(本小题满分12分)设{}n a 为公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项的和．已知24S 4=，35a a 32=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1
1
+=n n n a a b ，证明：数列{}n b 的前n 项和n T <61．
18．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线
()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值
的差。

19．（本小题满分14分）已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和.对于任意的
*n N ∈，都有()2
41n n S a =+.
（1）求数列{}n a 的通项公式.
（2）令n n a b -=20，问数列}{n b 的前多少项和最大？ （3）若2n n tS ≥对于任意的*
n N ∈恒成立，求实数t 的最大值.
20．（本小题满分14分）函数x
a
x x f -
=2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；
（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；
（3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值.
[参考答案]
二、填空题：本大题每小题5分，满分20分。

11．1a > 12．40 13．
2
3
14．②③ 三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：
（1）a x a x x a x x x f ++
=++=++=)6
sin(2cos sin 3cos 6
cos sin 2)(π
π
，(2分)
当1)6
sin(=+
π
x 时，12)(max =+=a x f , 所以1-=a 。

（4分）
（2）令Z k k x k ∈+
≤+
≤-
,22622π
ππ
π
π，（6分） 解得：Z k k x k ∈+≤≤-,3
2322π
πππ 所以，)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈+-],3
2,322[π
πππ.（8分） （3）由0)(≥x f 得2
1
)6sin(≥+πx ，（10分）
所以，Z k k x k ∈+
≤+≤+,6
52662π
ππππ（12分） 解得：Z k k x k ∈+≤≤,3
222π
ππ 所以，0)(≥x f 成立的x 的取值集合},3
222|{Z k k x k x ∈+≤≤π
ππ。

（14分）
17解（Ⅰ）()2
a a 4S 414+=
＝()24a a 232=+，…2分
由⎩⎨⎧==+35a a 12a a 3
232解得7a ,5a 32==．或5a ,7a 32==，…4分，
∵d>0，∴7a ,5a 32==，于是3a ,2a a d 123==-=，…6分
∴()1n 21n 23a n +=-+=．…8分 （Ⅱ）()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+=++=
3n 211n 21213n 21n 21b n …10分
∴61)32131(21321121
7151513121<+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=n n n T n …12分
18.解：2()32f x x ax b '=++，………………….1分
由于()f x 在2x =处有极值，∴(2)0f '=即1240a b ++= ① …………………3分
又 ∵1x =处的切线平行于32y x =--，∴(1
)3f '=-即320a b ++= ②…………5分
解①②得3,0a b =-=，∴32()3f x x x c =-+ ……………………7分 令2
()360f x x x '=-=，得120,2x x ==， ……………9分
由于在0x =附近，()f x '左正，右负；而在2x =附近，()f x '左负，右正， 所以(0)f 是函数的极大值，(2)f 是函数的极小值,…………………12分 于是3
2
(0)(2)(232)4f f c c -=--+=，
故函数的极大值与极小值的差为4。

………………………14分
19.解：(1)
2111144(1), 1.S a a a ==+∴= (1分)
当2n ≥时,()()2
2
1144411n n n n n a S S a a --=-=+-+,
()22112n n n n a a a a --∴+=-,又{a n }各项均为正数,12n n a a -∴-=. (3分) ∴数列{}n a 是等差数列, 2 1.n a n ∴=-(4分)
(2)n a b n n 22120-=-=（5分）
,0191>=b 且数列}{n b 是递减数列，
由⎩⎨
⎧≤≥+001
n n b b 得221
219≤≤n ,(7分)
所以n=10,即数列}{n b 的前10项最大。

(8分)
(3) 2n S n =,(9分)
若2n
n tS ≥对于任意的*
n N ∈恒成立,则22min n t n ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭
.令22n
n b n =,.当3
n ≥时,22122
2(1)1(1)21
n n b n n n n n
b n n n ++-+==>+++. (12分) 又12382,1,9b b b ===，∴{}228min min 9
n n b n ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭.∴ t 的最大值是8
9.(14分)
21．解：（1）当1-=a 时, ∈x ]1,0(,∴x
x x f 1
2)(+
=22≥,……………2分 当且仅当x x 12=
,即]1,0(2
2∈=x 时取等号……………3分 ∴函数)(x f y =的值域为),22[∞+； ……………4分
（2）若函数
)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有
)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2
121>+-x
x a
x x 只要212x x a -<即可， …………………………6分 由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ，
故a 的取值范围是]2,(--∞； …………………………8分
另解：函数)(x f y =在定义域上是减函数
0)('≤⇔x f 在∈x ]1,0(上恒成立。

即02)(2≤+='x
a
x f ,所以，22x a -≤ …………………………6分 当∈x ]1,0(，)0,2[22-∈-x ,2-≤∴a 。

…………………………8分
（3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1,0(上单调递增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；…………………………10分
由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1,0(上单调递减，无最大值，
当1=x 时取得最小值a -2；…………………………12分
当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a -上单调减，在]1,[22a
-上单调增，无最大值， 当2
2a
x -= 时取得最小值a 22-. …………………………14分。