变换积分区间公式雅可比

变换积分区间公式雅可比
一、雅可比行列式与积分变换。

1. 雅可比行列式的定义。

- 在多元函数的变量替换中，雅可比行列式起着关键的作用。

设x = x(u,v)，y=y(u,v)是从uv平面的区域D^*到xy平面的区域D的一一映射（变换），则雅可比行列式J=(∂(x,y))/(∂(u,v))=<=ftbegin{array}{ll}(∂ x)/(∂ u)(∂ x)/(∂ v) (∂ y)/(∂ u)(∂ y)/(∂
v)end{array}right。

- 例如，对于极坐标变换x = rcosθ，y = rsinθ，则
J=(∂(x,y))/(∂(r,θ))=<=ftbegin{array}{ll}cosθ - rsinθ sinθrcosθend{array}right=r。

2. 利用雅可比行列式进行二重积分变换。

- 二重积分∬_D f(x,y)dxdy，通过变换x = x(u,v)，y = y(u,v)，可变为
∬_D^*f(x(u,v),y(u,v))| J| dudv。

- 例如，计算∬_D e^x^2 + y^2dxdy，其中D是x^2+y^2≤slant 1。

利用极坐标变换x = rcosθ，y = rsinθ，D变为D^*:0≤slant r≤slant1,0≤slantθ≤slant2π。

- 由于J = r，原积分∬_D e^x^2 + y^2dxdy=∫_0^2πdθ∫_0^1e^r^2r dr。

3. 三重积分的变量替换与雅可比行列式。

- 设x = x(u,v,w)，y = y(u,v,w)，z=z(u,v,w)是从uvw空间的区域Ω^*到xyz空间的区域Ω的一一映射（变换），雅可比行列式
J=(∂(x,y,z))/(∂(u,v,w))=<=ftbegin{array}{lll}(∂ x)/(∂ u)(∂ x)/(∂ v)(∂ x)/(∂ w) (∂ y)/(∂ u)(∂ y)/(∂ v)(∂ y)/(∂ w) (∂ z)/(∂ u)(∂ z)/(∂ v)(∂ z)/(∂ w)end{array}right。

- 三重积分∭_Ωf(x,y,z)dxdydz=∭_Ω^*f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))| J| dudvdw。

- 例如，对于球坐标变换x = rsinφcosθ，y = rsinφsinθ，z = rcosφ，雅可比行列式J = r^2sinφ。

二、变换积分区间与雅可比行列式的关系。

1. 积分区间的变换。

- 在进行变量替换时，不仅函数表达式会发生变化，积分区间也会相应地改变。

以二重积分的极坐标变换为例，在直角坐标系下积分区域D是关于x和y的区域，经过x = rcosθ，y = rsinθ的变换后，D变为D^*，其关于r和θ的范围就是新的积分区间。

- 例如，若D是由x^2+y^2= 4所围成的圆域，在直角坐标系下D={(x,y)mid - 2≤slant x≤slant2,-√(4 - x^2)≤slant y≤slant√(4 - x^2)}。

通过极坐标变换后，D^*变为{(r,θ)mid0≤slant r≤slant2,0≤slantθ≤slant2π}。

2. 雅可比行列式在确定新积分区间中的作用。

- 雅可比行列式的值决定了在变量替换过程中面积（对于二重积分）或体积（对于三重积分）元素的缩放比例。

在确定新的积分区间时，要根据变量替换的映射关系以及原积分区域的边界条件来确定。

- 例如，在上述极坐标变换的例子中，雅可比行列式J = r。

当我们从直角坐标下的积分区域D转换到极坐标下的D^*时，r的取值范围0≤slant r≤slant2是根据圆
x^2+y^2=4（即r^2=4，所以r = 2）确定的，而θ的取值范围0≤slantθ≤slant2π是因为圆绕原点一周对应的角度范围。

同时，由于雅可比行列式J = r，在计算积分时要在被积函数中乘以r，并且积分区间变为D^*的范围。