复数(学生版)

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复数及其运算-讲义(学生版)

复数及其运算一、课堂目标1．熟练掌握复数的相关概念及其几何意义并能熟练运用在解题中．2．熟练掌握复数代数形式的四则运算并会运用在解题中．3．掌握实系数一元二次方程两根的关系并会应用在解题中．4．理解复数的三角形式并能进行相关运算．二、知识讲解1. 复数的概念知识精讲（1）复数的概念形如的数叫复数.其中叫做虚数单位.（）规定：①复数中，把称为实部，称为虚部.②全体复数所形成的集合叫做复数集.一般用字母表示.即.③复数通常可以用字母表示，记作，这一表示形式称为复数的代数形式.（2）复数的分类已知复数①当时，则，为实数；特别地，当，且时，为实数.②当时，为虚数；特别地，当，且时，为纯虚数.（3）复数的相等规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若..知识点睛（1）复数的分类归纳：（2）且（3）一般地，两个复数只能判断是否相等，不能比较大小（只有两复数均为实数时才比较大小）复数实数虚数纯虚数非纯虚数经典例题1.的实部是，虚部是．A.B.或C.D.2.复数与复数相等，则实数的值为（）巩固练习3.已知，则，．经典例题（1）（2）（3）4.已知复数，当实数为何值时，为实数．为虚数．为纯虚数．A.或B.或C.D.5.若复数，则实数的值是（）巩固练习6.设（），当时，为实数；当时，为纯虚数．2. 复数的几何意义知识精讲（1）几何意义（一）——复平面内容：复数复平面内的点对几何意义（一）的解释，如下图：一方面，根据复数相等的定义，复数被它的实部与虚部唯一确定，即复数被有序实数对唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点.因此，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即：复数复平面内的点.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．（2）共轭复数①概念：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数的共轭复数记为，因此，当时，有.②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.知识点睛要注意的地方：（1）“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外；（2）复平面内各象限内的点均表示虚数；（3）复平面内点的坐标是，而不是.经典例题A. B.C. D.7.已知复数，则复平面内对应的点的坐标为（）．A. B.C.D.8.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）．巩固练习A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.复数，则在复平面内对应的点所在象限为（）．A. B.C.D.10.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）．经典例题A.B.C.D.11.若复数的共轭复数是（）．A. B.C.D.12.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（）．巩固练习A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限13.设，则在复平面内对应的点位于（）．经典例题14.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．巩固练习15.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．知识精讲（2）几何意义（二）——复数的向量表示内容：复数平面向量对几何意义（二）的解释，如下图：因为平面直角坐标系中的点能唯一确定一个以原点为始点、为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中，以为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即：复数平面向量.知识精讲（3）复数的模一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模长用表示，因此.特别地：①当时，②一般地，两个互为共轭复数的模相等，即经典例题A.B. C. D.16.已知为虚数单位，则（）．巩固练习A. B. C. D.17.设为虚数单位，则复数的模（）．经典例题18.若复数满足，则的最大值是．巩固练习19.设复数满足条件，那么的最大值是．3. 复数的运算——加减法知识精讲（1）复数的加法运算法则设，是任意两个复数，则有：．（2）复数的减法运算法则①复数的相反数：一般地复数记作，并规定②设，是任意两个复数，则有：知识点睛（1）加法的运算规律：交换律：结合律：（2）关于复数的模的结论经典例题20.若（，是虚数单位），则的值为．21.设为虚数单位，复数，，则．巩固练习22.复数，其中是虚数单位，则复数的虚部是．23.已知复数，满足：，则的值为．4. 复数的运算——乘除法知识精讲复数的乘法运算法则①乘法运算法则：设，是任意两个复数，则有：②的次方：个相同的复数相乘时，称为的次方（或的次幂），并记作.知识点睛（1）复数的乘法运算律对于任意的，有==（2）复数的乘方运算律即对于任何复数及正整数、，有、、经典例题24.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．25.若，，其中为虚数单位，且，则．巩固练习26.设复数满足行，且是纯虚数，则．经典例题A. B.C.D.27.复数等于（）．巩固练习28.复数．知识精讲复数的除法运算法则①除法运算法则：设，是任意两个复数②复数的倒数：一般地，给定复数，称为的倒数.除以的商也可以看成与的倒数之积.知识点睛同实数类似，可以定义非零复数的次幂与负整数次幂，即当为非零复数且是正整数时，规定：经典例题A. B.C. D.29.若(其中为虚数单位)，则复数的虚部是（）．30.已知复数（为虚数单位），则．巩固练习31.设复数满足（是虚数单位），则复数的虚部为．5. 实数系一元二次方程在复数范围内的解集知识精讲设一元二次方程为.当时，方程有两个不相等的实数根当时，方程有两个相等的实数根引入复数后，当时，方程有两个不相等的虚数根可以发现这两个虚数根是一对共轭复数.、、且知识点睛一元二次方程的两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即引入复数后，在复数集中，实系数的二次三项式总可以分解成两个一次因式的乘积，即经典例题A. B.C. D.32.若关于的实系数一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是（）．巩固练习33.若是实系数一元二次方程的一个根，则．6.复数三角形式知识精讲（1）复数的三角形式复数可表示为，称为复数的三角形式．是复数的模．是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，称作复数的辐角.显然，任何一个非零复数的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差的整数倍，并且在范围内的辐角的值称为复数的辐角主值，记作．经典例题A.B.C.D.34.已知，则复数的三角形式为（）．巩固练习（1）（2）（3）35.将下列复数表示为三角形式：知识精讲（2）复数乘法运算的三角表示及其几何意义①乘法运算的三角表示设，，．即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．②几何意义两个复数相乘时，如下图，先分别画出对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义.知识点睛（1）复数乘法的几何意义可归纳为：模相乘，辐角相加（2）根据上述两个复数三角形式的乘法几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘，特别的，如果，则知识精讲（3）复数除法运算的三角表示及其几何意义①除法运算的三角表示设，，．即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．②几何意义与乘法类似，还能得到两个复数相除的几何意义，例如，任意一个复数除以，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转.经典例题36.设，，则．巩固练习37.计算．11三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测A.B. C. D.38.在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）．A.的虚部为B.的共轭复数为C.D.在复平面内对应的点在第三象限内39.已知复数，则下列说法正确的是（）．40.已知复满足（其中为虚数单位），则．。

小学六年级复数知识点总结

小学六年级复数知识点总结复数是英语语法中的一个重要概念，指的是表示多个人、事物或概念的形式。

在小学六年级的英语学习中，掌握复数的用法对于学生来说非常重要。

本文将总结小学六年级学生需要掌握的复数知识点，并提供相应的例子和练习，帮助学生巩固所学内容。

一、名词的复数形式1. 一般情况下，在英语中，我们需要在名词的末尾加上-s来表示复数形式。

例子：- One cat. → Two cats.- A book. → Some books.2. 以-s, -ss, -sh, -ch, -x结尾的名词，复数形式需要在末尾加-es。

例子：- One class. → Two classes.- A brush. → Some brushes.3. 以-o结尾的名词，复数形式通常需要在末尾加-es。

例子：- One tomato. → Two tomatoes.- A hero. → Some heroes.4. 以音标为[f]和[s]结尾的名词，复数形式需要在末尾加-es。

例子：- One leaf. → Two leaves.- A bu s. → Some buses.5. 以辅音字母+y结尾的名词，复数形式需要将-y改为-ies。

例子：- One baby. → Two babies.- A strawberry. → Some strawberries.6. 一些名词的复数形式是特殊的，不能根据上述规则来变化，需要特殊记忆，例如：- One man. → Two men.- A woman. → Some women.- A child. → Some children.二、不可数名词除了可数名词外，英语中还存在一类不可数名词，即不能用来计数的名词。

这些名词没有复数形式，通常用来表示一种物质、抽象概念或集合。

例子：- Water- Milk- Sugar- Happiness三、数量词+复数名词当我们用数量词来修饰名词时，需要特别注意名词的复数形式。

高二数学复数的四则运算(学生版)

学科教师辅导讲义R - D {}0取什么值时，复平面内表示复数815)z m -+）位于第一、二象限？2007i +那么10050z z +例12、证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解．【课堂总结】1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.【课后练习】一、选择题1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为（） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 2．定义运算bc ad d c ba -=,,，则符合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或z为纯虚数，则实数2D．0的实部和虚部相等，则实数（3(0,]3）∪（0，。

01牛津版英语-三年级-M1 名词复数-学生版

辅导教案学员姓名：学科教师：年级：三年级辅导科目：英语授课日期××年××月××日时间 A / B / C / D / E / F段主题M1+名词复数教学内容1.巩固M1课文重点知识点;2.掌握名词复数变换方法。

Warming up——填词游戏What’s my f avourite fruit?M1U1Vocabulary after afternoon and boy cake color cut dad draw eveningfine girl have morning Miss Mr. Mrs. New night stick table thistoday too wellExpression Hello! Good evening! I’m fine!Good morning! Good night! Fine, thanks.Good afternoon! How are you?Grammar1. 人称代词单数复数我你他她它我们你们他们I you he she it we you theyI am you are he is she is it is we are you are they areI’m You’re He’s She’s It’s we’re you’re they’re2. have/ has1. 表示：某人或某物“拥有”什么东西，强调“所属关系”，而且某人某物作为句子的主语。

2. have用在人称I，we，you，they和复数的人或物后面。

has用在人称he, she, it和单数和人或物后面。

例句：I have a son.He has a lucky dog.Vocabularybird birthday blow eight five four guess here nine no only one party seven six ten three two yummyExpression How old are you? Happy Birthday! Here you are!Grammar—基数词1 2 3 4 5 6 7 8 9 10One two three four five six seven eight nine ten11 12 13 14 15 16 17 18 19eleven twelve thirteen fourteen fifteen sixteen seventeen eighteen nineteen11-19 除了eleven, twelve, thirteen, fifteen, eighteen为特殊形式外，fourteen, sixteen, seventeen, nineteen都是由其个位数形式后添加后缀-teen构成。

专题02 复数(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)

专题02复数考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1求复数的实部与虚部（10年4考）2020·全国卷、2020·江苏卷、2018·江苏卷、2016·天津卷、2016·江苏卷、2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·北京卷1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。

考点2复数相等（10年7考）2023·全国甲卷、2022·浙江卷、2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·浙江卷、2016·天津卷、2015·全国卷、2015·全国卷、2015·上海卷考点3复数的分类（10年2考）2017·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2015·天津卷考点4共轭复数（10年10考）2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2021·新Ⅰ卷全国考点5复数的模（10年9考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷、2019·浙江卷考点6复数的几何意义（10年8考）2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2018·北京卷、2017·全国卷、2017·北京卷、2016·全国卷考点01求复数的实部与虚部1．（2020·全国·高考真题）复数113i-的虚部是（）A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020·江苏·高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是.3．（2018·江苏·高考真题）若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．4．（2016·天津·高考真题）i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为.5．（2016·江苏·高考真题）复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是.6．（2016·全国·高考真题）设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．37．（2015·重庆·高考真题）复数()12i i +的实部为.8．（2015·北京·高考真题）复数()1i i +的实部为．考点02复数相等1．（2023·全国甲卷·高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．22．（2022·浙江·高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022·全国乙卷·高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021·全国乙卷·高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-6．（2017·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b +=，ab =．7．（2016·天津·高考真题）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a ，则ab的值为.8．（2015·全国·高考真题）若a 为实数,且2i3i 1ia +=++,则=a A ．4-B ．3-C ．3D ．49．（2015·全国·高考真题）若a 为实数且()()2i 2i 4i a a +-=-，则=a A ．1-B ．0C ．1D ．210．（2015·上海·高考真题）若复数满足，其中是虚数单位，则.考点03复数的分类1．（2017·全国·高考真题）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)2．（2017·全国·高考真题）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则R z ∈；2p ：若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈；3p ：若复数12,z z 满足12R z z ∈，则12z z =；4p ：若复数z R ∈，则R z ∈.其中的真命题为A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 3．（2017·天津·高考真题）已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii-+为实数，则a 的值为．4．（2015·天津·高考真题）i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为.考点04共轭复数1．（2024·全国甲卷·高考真题）设z，则z z ⋅=（）A ．2-B C ．D ．22．（2024·全国甲卷·高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023·全国乙卷·高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．2i-D ．2i +5．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．0D ．16．（2022·全国甲卷·高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．7．（2022·全国甲卷·高考真题）若1z =-，则1zzz =-（）A ．1-B ．1-C ．1i33-+D ．1i33--8．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021·全国乙卷·高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i -10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i+考点05复数的模1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．22．（2023·全国乙卷·高考真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2CD ．53．（2022·全国甲卷·高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·北京·高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020·全国·高考真题）若312i i z =++，则||=z （）A ．0B ．1CD ．26．（2020·全国·高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1C D ．27．（2020·全国·高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +，则12||z z -=.8．（2019·全国·高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2BC D ．19．（2019·天津·高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为.10．（2019·浙江·高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =.考点06复数的几何意义1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A ．12i+B ．2i-+C ．12i-D ．2i--5．（2019·全国·高考真题）设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2019·全国·高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=7．（2018·北京·高考真题）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（2017·全国·高考真题）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2017·北京·高考真题）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．（–∞，1）B ．（–∞，–1）C ．（1，+∞）D ．（–1，+∞）10．（2016·全国·高考真题）已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-，B ．(13)-，C ．(1,)+∞D ．(3)-∞-，。

复数的几何意义学生版

1 / 13.1.3 复数的几何意义一、基础过关1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四2．当0<m<1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4．已知复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( ) A ．实轴 B ．虚轴 C ．原点 D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________________．二、能力提升7．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( ) A ．虚轴 B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限． 10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________．11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z|＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z.三、探究与拓展14．(1)满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆 (2)已知复数(x －2)＋yi(x ，y ∈R )的模为3，求y x的最大值．。

复数学生

复数1.复数的引入：2.数的演变过程：3.虚数单位:4.复数与复数的实部与虚部：5.复数的分类：6.复数的相等：7.复数之间的关系：8.复数的几何意义：9.复平面、实轴、虚轴10.复数的模：11.共轭复数例题：例1.1(1)m m m i ++-实数取什么值时复数z=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式1：若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = .变式2：使复数为实数的充分而不必要条件是 ( )A ．z z -=B ．z z = C ．2z 为实数 D ．z z -+为实数变式3：若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2m m X ∈=( ).A ．R +B ．R -C ．R R +-D ．{}0R +例2. 实数m 取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、二象限？（3）位于直线上变式1：复数ｚ＝（ａ2－2ａ）＋（ａ2－ａ－2）ｉ对应的点在虚轴上，则（C ）A.ａ≠2或ａ≠1B.ａ≠2且ａ≠1C.ａ＝2或ａ＝0D.ａ＝0变式2：已知复数12z i =+，21z i =-，则在12z z z =⋅复平面上对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限变式3：如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在第三象限.例3.求下列复数的模及其共轭复数()1134z i =+ ()1222- 变式1：设z C ∈，满足下列条件的点z 的集合是什么图形？ ()12z= ()223z ≤≤ ()3z 的实部和虚部相等变式2：已知()2,x yi x y R +=∈，求()1x y +的取值范围；()()()22222x y -+-的取值范围变式3：已知z 1=x 2+12+x i ，z 2=(x 2+a )i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围例4.求适合下列方程的x 和(),y x y R ∈的值（1）()()26x y i x x y i +-=+-（2）()()+120x y x y i +--+=变式1：解方程210400x x -+=变式2：(4)(3)2x y i ++-≥(),x y R ∈，求,x y 的值复数的运算1.复数的加法2.复数的相反数4.复数加法与减法的几何意义5.12z z -与12z z +的模的几何意义例题例1．计算：（1）(14)(72)i i +-+；（2）(72)(14)i i -++；（3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[；（5）(14)(72)i i +--；（6）(52)(14)(23)i i i --+--+；（7）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[变式1：若(310)(2)19i y i x i -++=-，求实数,x y 的取值变式2：求证：1212z z z z +=+；1212z z z z -=-例2. 三个复数123,,Z Z Z ，其中1Z i ，2Z 是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定23,Z Z 的值。

10、复数的运算法则学生版

个性化教学辅导教案——进门测评分_____（老师根据学生情况放题，可放学生上次错题）1、在复平面内，向量OZ 1→对应的复数为－1－i ，向量OZ 2→对应的复数为1－i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为________．2、已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 1－z 2对应的点位于第________象限．3、已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.4、若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________.5、i 是虚数单位，复数7－i3＋i＝________.复数代数形式的加减运算及其几何意义复数的加减法1．复数的加减法法则设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则z1＋z2＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ， z1－z2＝(a －c)＋(b －d)i. 2．复数加法的运算律 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [化解疑难]对复数加减法的理解1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ ，与z1－z2对应的向量是21Z Z .[化解疑难]对复数加减运算几何意义的认识(1)若复平面内任意两点Z1，Z2所对应的复数分别是z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离|Z1Z2|＝|z2－z1|.(2)复数加减法的几何意义包含两方面：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释．2复数运算的综合应用[例3] 已知z1是虚数，z2＝z1＋1z1是实数，且－1≤z2≤1.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z11＋z1，求证：ω为纯虚数．[变式训练]已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，求ω.易错题：误用判别式求解复数方程[典例] 已知关于x 的方程x2＋(k ＋2i)x ＋2＋ki ＝0有实数根，则实数k 的值为________．[成功破障]在复数范围内方程x2－5|x|＋6＝0的解的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．81．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA ，OB ，则|z1＋z2|＝( )A ．1 B. 5 C ．2 D ．3AC BD DA1．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i ，⎝⎛⎭⎫－12±32i 3＝1，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，i 的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．2．关于共轭复数的常用结论(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3．要熟记i n 的取值的周期性，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N )，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值．——出门测评分_____1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋IB ．1－IC ．ID ．－i2．已知z 1＝3＋i ，z 2＝1＋5i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点Z ( ) A ．在实轴上 B ．在虚轴上 C ．在第一象限D ．在第二象限4．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋IB ．－1－IC ．1＋ID ．1－i5．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限1．(全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．32．已知复数z ＝1－i ，则z2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－23．若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H4．(山东高考)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i5．已知复数z ＝3＋i(1－3i)2，是z 的共轭复数，则z·等于( )A.14B.12C ．1D ．2 6．设z1＝x ＋2i ，z2＝3－yi(x ，y ∈R)，且z1＋z2＝5－6i ，则z1－z2＝________. 7．已知|z|＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________.8．已知复数z1＝1＋3i ，z2＝3＋i(i 为虚数单位)．则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限．9.如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求： (1)向量AO 对应的复数； (2)向量CA 对应的复数； (3)向量OB 对应的复数．10．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i ，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB 对应的复数是z.(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．。

第4讲利用复数几何意义求与模有关的最值问题(学生版)

复数专题第4讲利用复数几何意义求与模有关的最值问题一、复数的几何意义每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.复数集C 中的数与复平面内的点建立了一一对应的关系，复数z =a +bi 在复平面内的对应点Z(a,b)二、复数模的几何意义1、向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z =a +bi 的模或绝对值，记作|z |或|a +bi |，即|z |=|a +bi |=√a 2+b 2，其中a 、b ∈R ，|z |表示复平面内的点Z (a,b )到原点的距离；2、|z 1−z 2|的几何意义：复平面中点Z 1与点Z 2间的距离，如右图所示。

示例：|z +(1+2i)|表示：点Z 到点(−1,−2)的距离小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z =x +yi ，则|z −(a +bi)|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，则|z −(a +bi)|=r 表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点.三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题如图所示，点P 在圆O 上运动，在圆上找一点P 使得PA 最小（大）如图，当P 为OA 连线与圆O 交点时，PA 最小，最小为OA −r ；当P 在AO 延长线与圆O 交点P′时，PA 最大，最大为OA +r题型一与复数有关的轨迹例z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. 设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？例2.已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( )A ．一个圆B ．线段C ．两点D ．两个圆1.若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．2.（多选）|(3+2i )−(1+i)|表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模3.满足条件|z －2i|＋|z ＋1|＝5的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆4.在复平面内，已知定点M 与复数m =1+2i ，那个点Z 与复数z =x +yi ，问：满足不等式|z −m |≤2的点Z 的集合是什么图形？题型二模长最值问题例1.已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为（）A．1 B．2 C． 5 D．3例2.已知|z|＝2，求|z＋1＋3i|的最大值和最小值．例3.若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．1.已知复数z的模为1，则2z+的最大值为__________.2.已知复数z，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．3.若z C∈，且4z=，则1z i+-的取值范围是________.4.已知复数z满足等式1i1z--=，则3z-的最大值为______5.若z C∈且342z i++≤，则z的取值范围为__________．6.若cos sinz iθθ=+(R iθ∈，是虚数单位)，则22z i--的最小值是（）A. C.1 D.。

专题10.2---复数--学生版

专题10.2复数练基础1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（）A．310-B．110-C．110D．3102．（2020·全国高考真题（文））（1–i）4=（）A．–4B．4C．–4iD．4i3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D ．1i+4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i +5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（）A ．–34i-B ．34i-+C ．34i-D ．34i+8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．39．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i，则z z ⋅=（）C．3D．510．（2019·全国高考真题（文））设3i12iz -=+，则z =（）A．2C．D．1练提升1．（2010·山东高考真题（文））已知2a ib i i+=+，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（）A．-1B．1C．2D．32．（全国高考真题（理））复数212ii+-的共轭复数是()A．i -B．ｉC．35i-D．35i 3．（2018·全国高考真题（理））设1i2i 1iz -=++，则||z =（）A．0B．12C．14．（2009·重庆高考真题（理））已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz的共轭复数是（）A．2i-B．2i+C．2i--D．2i-+5．（2017·山东高考真题（理））已知R a ∈，i 是虚数单位，若z a =+，4z z ⋅=，则a =（）A．1或1-或C．6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（）A ．2i-B ．2i-+C ．2i+D ．2i--7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =+（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos 3,sin 3cos 3+-B ．z的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O 为坐标原点），设||OZ r = ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =+，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．练真题1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（）A ．4B ．2C ．-2D ．-42．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A．0B．1C．D．24．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （）A．0B．1D．25.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i，则在复平面内z 对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.（2018·江苏高考真题）若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．。

复数综合学生版--高一下学期备战期末专题训练

期末专题06复数综合一、单选题1.(2022春·江苏南京·高一统考期末)i 2022的值为()A.1B.-1C.iD.-i2.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知复数z =1+2i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )．A.2B.-2C.2iD.-2i3.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知i 为虚数单位，若复数z 满足1-i z =2，则z 的虚部为()A.-1B.-iC.1D.i4.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)已知复数z 满足z =1+i ，则在复平面内z 对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(2022春·江苏南通·高一统考期末)若(-1+i )z =3+i ，则|z |=()A.22B.8C.5D.56.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)已知复数z 满足z =3-i2+i，则z 的虚部是()A.-iB.iC.-1D.17.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知zi =1-2i ，则在复平面内，复数z 对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)设i 为虚数单位，若复数1-i 1+ai 是实数，则实数a 的值为()A.-1B.0C.1D.29.(2022春·江苏南通·高一统考期末)设复数z 满足z ⋅i =1+2i (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是()A.2B.-2C.1D.-110.(2021春·江苏南京·高一金陵中学校考期末)已知i 是虚数单位，z (1+i )=2i ，则复数z 所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知复数z 1=-2i ,z 2=cos θ+i sin θ，则z 1+z 2 的最大值为()A.1B.2C.3D.312.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)设z 是复数z 的共轭复数，若z ⋅z +10i =5z ，则z2+i=()A.2 B.35+45i C.2或45+35i D.2或35+45i13.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)已知i 是虚数单位，a ∈R ，若复数a -i1-2i为纯虚数，则a =()A.-2B.2C.-12D.1214.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)计算21-i2的结果是()A.2iB.-2iC.iD.-i15.(2022春·江苏扬州·高一期末)设i 是虚数单位，复数z 1=i 2022，复数z 2=54+3i，则z 1⋅z 2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知复数z=1-2i ，其中i 为虚数单位，则z =()A.3B.5C.3D.517.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)若复数z 满足2-i z =i 2022，则z 的虚部为()A.15i B.15C.23i D.2318.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知复数z 1=i1-i (i 是虚数单位)，若复数z 与z 1在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z 为( ).A.1-i2B.1+i 2C.-1-i 2D.-1+i 219.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知复数满足i ⋅z =4-3i ，其中i 为虚数单位，则z ⋅z=()A.1B.5C.7D.2520.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)复数z 满足i ⋅z =-1+i ，则|z |=()A.5B.2C.1D.221.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)下列命题为真命题的是()A.若z 1，z 2为共扼复数，则z 1⋅z 2为实数B.若i 为虚数单位，n 为正整数，则i 4n +3=iC.复数-2-i 在复平面内对应的点在第三象限D.复数5i -2的共轭复数为-2-i22.(2022春·江苏南京·高一统考期末)下列有关复数的说法正确的是()A.若复数z =z，则z ∈R B.若z +z=0，则z 是纯虚数C.若z 是复数，则一定有z 2=z 2D.若z 1,z 2∈C ，则z 1⋅z 2 =z 1 ⋅z 223.(2022春·江苏常州·高一统考期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式e iθ=cos θ+i sin θ(i 为虚数单位，e 为自然对数的底数)，这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是()A.e 3i 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B.e i π+1=0C.12+32i3=-1 D.cos θ=e iθ+e -iθ224.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)关于复数z =cos2π3+i sin 2π3(i 为虚数单位)，下列说法正确的是()A.z =1B.z在复平面上对应的点位于第二象限C.z 3=1D.z 2+z +1=025.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)已知复数z =a +bi (其中i 为虚数单位，a ∈R ,b ∈R )则下列说法正确的有()A.若z =z，z ∈R B.若zz∈R ，则z ∈RC.若z =1z，则z =1D.若z 2=z2，则z =026.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix =cos x +i sin x (e 是自然对数的底，i 是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数z 1=e ix 1，z 2=e ix 2，z 3=e ix 3在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，且e ix 的共轭复数为e ix=e -ix ，则下列说法正确的是()A.cos x =e ix +e -ix 2B.e 2i 表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限C.e ix 1+e ix 2+e ix 3=e ix 1+e ix 2+eix 3D.若Z 1，Z 2为两个不同的定点，Z 3为线段Z 1Z 2的垂直平分线上的动点，则z 1-z 3 =z 2-z 327.(2022春·江苏苏州·高一统考期末)设i是虚数单位，复数z1=a+bi a,b∈R，z2=1+2i，请写出一个满足z1z2是纯虚数的复数z1=.28.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知i为虚数单位，且复数z满足：z⋅i=1-2i，则复数z的模为．29.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)已知复数z满足z =2，z2的虚部为-2，z所对应的点A在第二象限，则z=．30.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知复数z=-1-2i，其中i为虚数单位，若z，z2在复平面上对应的点分别为M，N，O为坐标原点，则线段MN长度为.31.(2022春·江苏南通·高一统考期末)设i为虚数单位，复数z=cosθ+i sinθθ∈R的最大值为，则z-1．32.(2022春·江苏扬州·高一期末)如果复数z满足z+i=2，那么z+i+1的最小值是．+z-i33.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知复数z=m2+5m-6+(m-1)i,m∈R．(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值．34.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)已知复数z1=1+2i，z2=3-4i.(1)若复数z1+λz2在复平面内对应的点在第二象限，求实数λ的取值范围；(2)若复数z=z1⋅μ+z2(μ∈R)为纯虚数，求z的虚部.35.(2022春·江苏南京·高一统考期末)已知复数z1=1-3i，z2=a+i，a∈R，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知z1⋅z2为“理想复数”．(1)求实数a；(2)定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2=z1+z2z2,z1 ≥z2z1+z2z1,z1 <z2，求z1⊗z2．36.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)已知复数z 1=1+i ，z 2=x +yi ，其中x ，y 为非零实数．(1)若z 1⋅z 2是实数，求xy的值；(2)若z 2=z 1 ，复数z =z 1z 22022+m 2-m -1 -m +1 i 为纯虚数，求实数m 的值；(3)复平面内，定点M 与z 1对应，记满足z 2-z 1 =z 2 的z 2对应的点的轨迹为曲线L ，求点M 到L 的最小值．37.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知复数z 1=1+2i ，z 2=3-4i .(1)在复平面内，设复数z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2，求点Z 1，Z 2之间的距离；(2)若复数z 满足1z =1z 1+1z 2，求z .38.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)已知复数z1满足2z1=1+3i+z1(1)求z1 ；(2)若复数z2的虚部为2，且z2z1在复平面内对应的点位于第四象限，求复数z2实部a的取值范围．39.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)已知复数z同时满足下列两个条件：①z的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；②1<z+2z≤4．(1)求出复数z；(2)求z +2-i2+i.40.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知复数z满足z-1为纯虚数，(1-2i)⋅z为实数，其中i为虚数单位．(1)求复数z；(2)若x⋅z+y⋅z =z⋅z ，求实数x，y的值．。

第2讲复数的概念与运算(学生版)

第二讲复数的概念与运算真题展示2022新高考一卷第一题若i(1)1z -=，则z z +=（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2知识要点整理1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i ，规定：①=-1，即i 是方程+1=0的根；②实数可以和数i 进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.在此规定下，实数a 与i 相加，结果记作a +i ；实数b 与i 相乘，结果记作b i ；实数a 与b i 相加，结果记作________.注意到所有实数以及i 都可以写成________的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念我们把形如________的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a +b i|a ,b ∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C 中就有解x =i 了.(3)复数的表示复数通常用字母z 表示，即z =a +b i(a ,b ∈R).以后不作特殊说明时，复数z =a +b i 都有a ,b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的________与________.(4)复数的分类对于复数a +b i ，当且仅当b =0时，它是实数；当且仅当a =b =0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数；当a =0且b ≠0时，它叫做________.显然，实数集R 是复数集C 的________，即R C.复数z =a +b i 可以分类如下：复数，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.2．复数相等在复数集C={a+b i|a,b∈R}中任取两个数a+b i，c+d i(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+b i与c+d i 相等当且仅当________，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.3．复数的几何意义(1)复平面根据复数相等的定义，可得复数z=a+b i有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+b i可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.(2)复数的几何意义——与点对应由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+b复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.(3) 复数的几何意义——与向量对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+b i，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+b i平面向量，这是复数的另一种几何意义.4．复数的模向量的模r叫做复数z=a+b i的模或绝对值，记作|z|或|a+b i|.如果b=0，那么z=a+b i 是一个实数a，它的模等于________（就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+b i|=r=(r0,r∈R).5．共轭复数(1)定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用________表示，即若z=a+b i，则________.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.(2)几何意义互为________的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)性质=z.②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.6．复数的模的几何意义(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R)的模|z|就是复数z =a +b i 在复平面内对应的点Z (a ,b )到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.(2)复数z 在复平面内对应的点为Z ，r 表示一个大于0的常数，则满足条件|z |=r 的点Z 组成的集合是以________为圆心，________为半径的圆，|z |<r 表示圆的内部，|z |>r 表示圆的外部.三年真题一、单选题1．已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（） A ．1B ．5C ．7D ．253．设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．若1z =-+，则1zzz =-（）A．1-B ．1-C ．13-D ．13-5．(22i)(12i)+-=（） A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -6．若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．7．已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-8．复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +10．设i 43i z =+，则z =（） A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +11．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （） A ．1-B ．1C ．3-D ．312．设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -13．已知2(1)32i z i -=+，则z =（） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --14．已知2i z =-，则()i z z +=（） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +二、填空题15．已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为_______．16．i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________．三年模拟一、单选题1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知复数z 满足2z z +=，且4i z z -=-，则z =（）AB C ．2D2．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知i 是虚数单位，复数2i 12iz =+，则复数z 的虚部为（） A ．2i 5B ．25C ．1i 5-D ．15-3．（2023·广西·南宁二中一模（文））若341i 2i i 1iz -++=+，则z 的虚部为（）A ．52B ．52- C ．52i D ．5i 2-4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知复数z 的共轭复数为z ，若()2i 23i z -=-，则z =（） A ．47i 55+B ．47i 55-C ．74i 55+D ．74i 55-5．（2022·四川南充·一模（理））若复数z 满足i 1z ⋅=+，则z =（） A ．1B ．5C ．7D ．256．（2022·全国·模拟预测）复数()21i 2i+-在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2022·四川成都·一模（理））如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12z z +=（）A ．1B 5C ．3D ．58．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））设复数3i1iz +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（） A ．-3B ．-1C ．3D ．59．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则||z =（）A ．2BC ．D ．10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则|1|z -=（）A ．2BC ．D ．11．（2021·河南三门峡·一模（理））复数z 满足(2i)4z z +=-，则z =（） A ．3i + B ．3i -+ C ．1i -+ D ．1i --二、填空题12．（2022·上海宝山·一模）设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.13．（2022·上海普陀·一模）若()i 1i z =⋅-（其中i 表示虚数单位），则Im z =______．14．（2022·上海长宁·一模）复数z 满足11iz =+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点Z 到原点O 的距离为___________15．（2022·上海虹口·一模）设m ，n ∈R ，i 为虚数单位，若1是关于x 的二次方程20x mx n ++=的一个虚根，则m n +=______．16．（2022·上海杨浦·一模）设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．。

复数题型归纳总结(学生版)

复数题型归纳总结一、复数基本概念z=a+bi 实部虚部纯实数纯虚数共轭复数复数模例1.已知复数z=(2−i)2−6，则|z|=（）A．√17B．17C．5D．25例2.复数z=2−4i1+i，则z的虚部为（）．A．3B．−3C．−3i D．−1例3（多选）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是A．若x，y∈C，则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1B．(a2+1)i(a∈R)是纯虚数C．若z12+z22=0，则z1=z2=0D．当m=4时，复数lg(m2−2m−7)+(m2+5m+6)i是纯虚数二、复数运算1.分母有理化2.复数方程解法3.设一般式4.i幂运算例1.若复数z=1+i−2i3，则|z|=（）A．√5B．√6C．√10D．2√3例2.若复数z满足z⋅(1+i)=i+3（i是虚数单位），则z̅的模长等于（）A．1B．√2C．√3D．√5例3.若复数z满足z+2z̅=3+i（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限三、复平面例1（多选）.设z̅=(1−i)z−1，其中z̅为z的共轭复数，则（）A．z的实部为2B．z̅的虚部是−2C．|z|=√5D．在复平面内，3−i z对应的点在第二象限例2.已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A．z2=|z|2B．若z=(1−2i)2，则复平面内z对应的点位于第二象限C．若|z|=1，则|z−1−i|的最大值为√2+1D．若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=10四、几何意义例1（多选）. 已知z 是复数，且z+1z−1为纯虚数，则（） A ．|z ̅|=1B ．z ⋅z =1C ．z 在复平面内对应的点在实轴上D ．|z −2−2i |的最大值为2√2+1 例2. 已知复数z 满足|z |=1，则|z −3+4i |的取值范围是 . 例3.若z =x +yi(x,y ∈R)，则复平面内满足|z −i|⩽√3的点Z 的集合的图形面积是 .五、复数性质综合例1. 已知复数z 1,z 2，下列说法正确的是（）A ．若|z 1|=|z 2|，则z 12=z 22B ．|z 1z 2|=|z 1||z 2|C ．|z 1−z 2|≤|z 1|+|z 2|D ．|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2| 例2. 在复平面内，复数z 1,z 2对应的点分别是(a,b ),(b,a ).已知z 1≠z 2,z 1z 2≠0，则（） A ．1z =2z B ．|z 1+z 2|=|z 1−z 2| C ．|z 1+z 2|=|z 1−z 2| D ．|z 1z 2|=|z 1z 2| 例3. 设z 1,z 2,z 3为复数，下列命题正确的是（）A ．|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|B ．|z 1|2=z 12C ．若z 1+z 2∈R ，则z 1−z 2为纯虚数D ．若z 2=z 3，且z 1≠0，则|z 2z 1|=|z3z 1|例4. 已知复数z 1,z 2，则下列结论正确的有（）A ．z 12=|z 1|2B ．z 1+z 2=z 1+z 2C ．|z 1z 2|=|z 1|⋅|z 2|D ．|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2| 例5. 已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（） A ．z 2=|z|2B ．若z =(1−2i)2，则复平面内z 对应的点位于第二象限C ．若|z|=1，则|z −1−i|的最大值为√2+1D ．若1−3i 是关于x 的方程x 2+px +q =0(p,q ∈R)的一个根，则q =10 例6. 已知z 1,z 2是两个虚数，则下列结论中正确的是（） A ．若z 1=z 2̅̅̅，则z 1+z 2与z 1z 2均为实数B ．若z 1+z 2与z 1z 2均为实数，则z 1=z 2̅̅̅C ．若z 1,z 2均为纯虚数，则z1z 2为实数 D ．若z1z 2为实数，则z 1,z 2均为纯虚数。

第2讲复数方程的根学生版

第2讲复数⽅程的根学⽣版第2讲复数⽅程的根知识精讲1.复数的平⽅根：在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满⾜：dic bi a +=+2)(则称bi a +是di c +的⼀个平⽅根.2.复数的⽴⽅根：如果复数21,z z 满⾜312z z =，则称21z z 是的⽴⽅根；⽤待定系数法，依据复数相等条件求解。

3.-1的平⽅根为i±1的⽴⽅根有i i 2321,2321,1--+-。

记i 2321+-=ω，则：1,,2ωω都是1的⽴⽅根；?ωωωω-=+==++1,1,012；实系数⼀元⼆次⽅程在复数集C 中解的情况:设⼀元⼆次⽅程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且,１、当240b ac ?=->时，⽅程有两个不相等的实数根，42b x a -±=２、当240b ac ?=->时，⽅程有两个不相等的实数根，2b x a =-3、当240b ac ?=-<时，⽅程有两个不等的虚数根，i ab ac a b x 2422-±-=说明：1、实系数⼀元⼆次⽅程20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中恒有解；2、若实系数⼀元⼆次⽅20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中有虚根，则虚根成对出现(互为共轭虚数)；3、根与系数的关系依然适⽤，即不论?的正负，恒有ac x x a b x x =-=+2121,；4、对于任意⼆次三项式都有212()()ax bx c a x x x x ++=--，(0)a ≠，其中21,x x 是⽅程20ax bx c ++=的⼆根。

5、两个虚数共轭的充要条件是两个虚数的和、积都是实数.注：复系数⼀元⼆次⽅程根与系数的关系依然适⽤，但不能根据判别式判断解的情况，且虚根通常也不是成对出现（⾮共轭），通常利⽤复数相等的⽅法来求解。

例题解析1.设C z ∈，且i z 432+=，求z 。

复数的概念(学生版)

复数的概念一、单选题1．设复数()()13i,z x x x R =++-∈，则z 的最小值为（）A ．1B ．2C ．D ．4 2．复数z 满足1i z =-，则||z =（）A ．2B ．12 C D 3．已知1i()z m m m m ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭R ，下列关于复数z 的描述中，不正确的是（） A ．z 不可能是实数B ．z 不可能是纯虚数C ．Rez Imz 0⋅>D ．Imz 2≥4．已知i 为虚数单位,四边形OABC 是复平面内的平行四边形,其中(0,0)O ,(1,0)A ,(B -,若点C 对应的复数为z ,则z 等于A ．3-+B ．3-C ．3-D ．3+ 5．已知复数z 满足11z -=，则12z i --的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．若复数z 满足2i z +为纯虚数，且1z =，则z 的虚部为（）A ．BC ．D 7．已知复数21i z =+ ①在复平面内z 对应点的坐标为(1，－1)；②复数的虚部为i -；③复数的共轭复数为i 1-；④||z =⑤复数z 是方程2220x x +=-在复数范围内的一个根.以上5个结论中正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．已知i 为虚数单位，m ∈R ，若复数（2-i ）（m+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数1mi i -的虚部为（） A ．1 B ．i C ．1-D ．i -二、多选题9．已知复数12z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为2iB ．zC ．复数z 的共轭复数12i z =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限10．下列命题，其中不正确的是（）A ．已知复数z a bi =+，a ，b ∈R ，则仅当0a =时z 为纯虚数B ．已知复数()242a a i ++-()a R ∈为实数，则2a =-C ．已知复数2z i =-，则2z =D ．已知复数12i z =-+，则复数z 对应的点在第四象限11．已知复数z 满足1i 3z -+=，则（）A ．复数z 虚部的最大值为2B ．复数z 实部的取值范围是[]2,4-C ．1i z ++的最小值为1D ．复数z 在复平面内对应的点位于第一、三、四象限12．已知复数122i z =-（i 为虚数单位），复数2z 满足2i 1z -=，则下列结论正确的是（）．A ．1z 在复平面内所对的点在第四象限B ．21z z -在复平面内对应的点在第一象限C ．12z z -1D．12z z +1三、填空题13．若复数()()293z a a i =-+-为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值为______.14．若2i i a b +=-其中,i ∈a b R,是虚数单位，则22a b +=______ 15．已知复数z 的共轭复数z ，满足i 1z -=，则22i z +-的最大值为_______16．i 表示虚数单位，则220201...i i i ++++=______．四、解答题17．如图，已知复平面内平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为2+2i ，BC 对应的复数为4-4i .（1）求D 点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD 的面积.18．设R m ∈，复数22(34)(328)i z m m m m =--++-，其中i 为虚数单位. （1）当m 为何值时，复数z 是虚数？（2）当m 为何值时，复数z 是纯虚数？（3）当m 为何值时，复数z 所对应的点在复平面内位于第四象限？19．已知复数()226215i 3m m z m m m --=+--+当m 为何实数时， (1)z 是虚数？(2)z 是纯虚数？20．在复平面上，作出表示下列复数的向量：112z i =+，212i z =-，32i z =，44z =-．21．在①z 在复平面上对应的点在直线0x y -=上，②0z >，③z 为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知复数()()()22569i z m m m m =-++-∈R ．（1）若______，求m 的值．（2）若053z z m =+-，且0z =()()0sin icos z θθθ-+∈R 的最大值．22．已知复数()()2227656i 1m m z m m m m -+=+--∈-R ，试求实数m 的值或取值范围，使得z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.。

复数的形式及其应用提高(学生版)

数学讲义复数的形式及其应用提高学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位复数在自招跟竞赛中更多地是作为一种处理问题的工具出现。

复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式，所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系，由此，该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容。

本节课将主要介绍单位根的性质以及复数相关的综合应用。

知识梳理1. 代数基本定理：任何n 元一次多项式在复数域上必有一个零点。

注：由代数基本定理立知：任何n 元一次多项式在复数域上必有n 个零点。

（允许有重零点）2. 复数的开方:若有(*)n i z re θω== ，我们考虑复数z 的开方，即求ω. 根据棣莫弗公式，容易知道：2()ink nk rek θπω+∈=Z 满足方程(*)。

又根据代数基本定理，方程(*)将有且只有n 个根。

因此，方程(*)的所有根为：20,1,2,,1ink nk rek n θπω+==-，此即复数z 的所有n 次方根。

3. 单位根的定义与性质:特别地，我们称1的n 次方根为n 次单位根.根据前述的复数开方公式易知，n 次单位根共有n 个，分别为：2(0,1,2),1,k ink en k πε=-= .容易知道：1kk εε= ，因此n 个n 次单位根可以表示为：21111,,1,,.n εεε-关于n 次单位根，我们有以下性质（请同学给出具体证明）：（1） 1.()k k ε=∈Z （2）.(,)k j k j k j εεε+=∈Z （3）2110(2,1)n k k k k n εεεε-=≥++++≠（4）设m ∈Z ，那么：121,;10,.m m mn n m n m n εεε-⎧++++=⎨⎩当是的倍数当不是的倍数例题精讲复数单位根的性质与应用例1：【试题来源】【题目】已知{}181A z z==和{}481B w w ==均为1的复数根的集合，{},C zw z A w B =∈∈也为1的复数根的集合，问：集合C 中有多少个不同的元素？【难度系数】3例2：【试题来源】【题目】设22=cos sini n nεππ+ ，求证：（1）()()()21111n n εεε----= ；（2）1(1)sin2sinsin2n n nn nnπππ--= . 【难度系数】3例3：【试题来源】设101n A A A - 是正n 边形，它的外接圆O 半径为1 ，求证：自圆O 上任意一点P 到各顶点的距离的平方和为定值。