人教版选修1-2 第三章 复数(学生版)

教学辅导教案
学生姓名年级高二学科数学
上课时间教师姓名
课题人教版选修第三章复数综合复习
1．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是() A．ac2<bc2B．a2>ab>b2 C．
1
a<
1
b D．
b
a>
a
b
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是()
A．a－b>0 B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋
1
b，b＋
1
c，c＋
1
a()
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
4．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：
1
a＋b
＋
1
b＋c
＝3
a＋b＋c
．
1．2
1
||12
z z z z
z
=++
若，且为负实数，求复数．
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2．计算：()()()()
221323123129100
100+-++-++i i i i ．
3．||1
|(23)|z z i =-+已知，求的最值．
4．1z z z
-若为纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹．
（一）数系的扩充和复数的概念
1．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数
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i -的虚部是3-，而不是3i -．
2．复数相等的充要条件
a bi c di a c +=+⇔=且()
b d a b
c
d =∈R ，，，
注意事项：
（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩
实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小．
（二）复数的几何意义
1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：
复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应的关系．
即复数集{}a bi a b =+∈C R ，|11-su u u u u u u u r 对应 坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，
2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0）,对应复数0．
即：复数z a bi =+11-su u u u u u u u r 对应 复平面内的点(,)z a b .
3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：
即：复数z a bi =+11-su u u u u u u u r 对应 平面向量Oz u u r ．
在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点z 或向量Oz u u r ，这给研究复数运算的几
何意义带来了方便．
4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+，复数z a bi =+的模也称为复数的绝对值．
5．13.22i i ω=-
+关于复数与 ①i i i i i i i i i n n n n 4142243344411++++===-==-==，，，
②ωωωωω322110==++=，，；
【例题5】复平面内，O 为坐标原点，向量uuu r OA 对应的复数是3－2i ．如果点A 关于原点的对称
点为B ，求出B 对应的复数．
考点四 复数的比较与相等
【例题6】若不等式222
34310m m m i m m i --<-++()()成立，求实数m 的值．
考点五：复数的模的考查
【例题7】已知复数z 满足z +|z |=2+8i ，求z ．
1．下列命题中正确的有（ ）个．
（）若则100122212z z z z +===；（）若，则2001212||||z z z z +===
（）若，则322||z z ==±；（）若，则4392||z z ==
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．||||2|1|z z i z i z i -++=++若复数满足，则的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．5 3．1334i z i
+=+复数的共轭复数为（ ）
1．24
12(43)(12)||(1)
i i z z i -⋅-+=-设，求．
2．对于复数，，若，则，中至少有一个等于z z z z z z z z 1212121211||||||||,-=- 请证明．
3．2(21)30x x i x m i m --+-==若关于的方程有实根，则实数____________．
4．设为虚数，为实数，且z z z
ωω=+-<<112． （1）求|z|的值以及z 的实部的取值范围；
（2）11z u u z
-=+设，求证：为纯虚数； （3）2u ω-求的最小值．
归纳总结
1．复平面内的点与复数的对应关系
（1）复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
（2）在复平面内确定复数对应点的步骤
①由复数确定有序实数对，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )确定有序实数对(a ，b )．
②由有序实数对(a ，b )确定复平面内的点Z (a ，b )．
2．共轭复数的应用
（1）已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z ．解此类题的常规思路为：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
（2）共轭复数的常用性质
①z ·z ＝|z |2＝|z |2；
②1212z z z z +=+，1212z z z z -=-，1212z z z z ⋅=⋅，1122
()z z z z =(z 2≠0)； ③若z ∈R ，则z ＝z ，反之亦成立；若z 为纯虚数，则z ＋z ＝0，反之亦成立．
1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个分别为,21,2,21i i i --+-+那么第四个顶点对应的复数是（ ）
A ．i 21-
B ．i +2
C ．i -2
D ．i 21+-
2．若复数（m 2－3m －4）＋（m 2－5m －6）i 是虚数，则实数m 满足（ ）
A ．1m ≠-
B ．6m ≠
C ．1m ≠-或6m ≠
D ．1m ≠-且6m ≠
3．下列命题中，假命题是（ ）
A ．两个复数不可以比较大小
B ．两个实数可以比较大小
C ．两个虚数不可以比较大小
D ．一虚数和一实数不可以比较大小
4．在复平面内，复数z =sin 2＋i cos 2对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）
一、（第1天）
1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．当23
<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为
B ，则向量OB →对应的复数为( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i
4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．
5．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________．
6．（1）当复数z 1＝sin π3－icos π6
，z 2＝2＋3i ，试比较|z 1|与|z 2|的大小． （2）求满足条件2≤|z |<3的复数z 在复平面上表示的图形．
二、（第2天）
1．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32
i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．12 D ．14
2．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·
z －3i z ＝1＋3i ，求z ．。