04复数.学生版

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复数综合学生版--高一下学期备战期末专题训练

期末专题06复数综合一、单选题1.(2022春·江苏南京·高一统考期末)i 2022的值为()A.1B.-1C.iD.-i2.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知复数z =1+2i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )．A.2B.-2C.2iD.-2i3.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知i 为虚数单位，若复数z 满足1-i z =2，则z 的虚部为()A.-1B.-iC.1D.i4.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)已知复数z 满足z =1+i ，则在复平面内z 对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(2022春·江苏南通·高一统考期末)若(-1+i )z =3+i ，则|z |=()A.22B.8C.5D.56.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)已知复数z 满足z =3-i2+i，则z 的虚部是()A.-iB.iC.-1D.17.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知zi =1-2i ，则在复平面内，复数z 对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)设i 为虚数单位，若复数1-i 1+ai 是实数，则实数a 的值为()A.-1B.0C.1D.29.(2022春·江苏南通·高一统考期末)设复数z 满足z ⋅i =1+2i (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是()A.2B.-2C.1D.-110.(2021春·江苏南京·高一金陵中学校考期末)已知i 是虚数单位，z (1+i )=2i ，则复数z 所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知复数z 1=-2i ,z 2=cos θ+i sin θ，则z 1+z 2 的最大值为()A.1B.2C.3D.312.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)设z 是复数z 的共轭复数，若z ⋅z +10i =5z ，则z2+i=()A.2 B.35+45i C.2或45+35i D.2或35+45i13.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)已知i 是虚数单位，a ∈R ，若复数a -i1-2i为纯虚数，则a =()A.-2B.2C.-12D.1214.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)计算21-i2的结果是()A.2iB.-2iC.iD.-i15.(2022春·江苏扬州·高一期末)设i 是虚数单位，复数z 1=i 2022，复数z 2=54+3i，则z 1⋅z 2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知复数z=1-2i ，其中i 为虚数单位，则z =()A.3B.5C.3D.517.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)若复数z 满足2-i z =i 2022，则z 的虚部为()A.15i B.15C.23i D.2318.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知复数z 1=i1-i (i 是虚数单位)，若复数z 与z 1在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z 为( ).A.1-i2B.1+i 2C.-1-i 2D.-1+i 219.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知复数满足i ⋅z =4-3i ，其中i 为虚数单位，则z ⋅z=()A.1B.5C.7D.2520.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)复数z 满足i ⋅z =-1+i ，则|z |=()A.5B.2C.1D.221.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)下列命题为真命题的是()A.若z 1，z 2为共扼复数，则z 1⋅z 2为实数B.若i 为虚数单位，n 为正整数，则i 4n +3=iC.复数-2-i 在复平面内对应的点在第三象限D.复数5i -2的共轭复数为-2-i22.(2022春·江苏南京·高一统考期末)下列有关复数的说法正确的是()A.若复数z =z，则z ∈R B.若z +z=0，则z 是纯虚数C.若z 是复数，则一定有z 2=z 2D.若z 1,z 2∈C ，则z 1⋅z 2 =z 1 ⋅z 223.(2022春·江苏常州·高一统考期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式e iθ=cos θ+i sin θ(i 为虚数单位，e 为自然对数的底数)，这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是()A.e 3i 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B.e i π+1=0C.12+32i3=-1 D.cos θ=e iθ+e -iθ224.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)关于复数z =cos2π3+i sin 2π3(i 为虚数单位)，下列说法正确的是()A.z =1B.z在复平面上对应的点位于第二象限C.z 3=1D.z 2+z +1=025.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)已知复数z =a +bi (其中i 为虚数单位，a ∈R ,b ∈R )则下列说法正确的有()A.若z =z，z ∈R B.若zz∈R ，则z ∈RC.若z =1z，则z =1D.若z 2=z2，则z =026.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix =cos x +i sin x (e 是自然对数的底，i 是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数z 1=e ix 1，z 2=e ix 2，z 3=e ix 3在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，且e ix 的共轭复数为e ix=e -ix ，则下列说法正确的是()A.cos x =e ix +e -ix 2B.e 2i 表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限C.e ix 1+e ix 2+e ix 3=e ix 1+e ix 2+eix 3D.若Z 1，Z 2为两个不同的定点，Z 3为线段Z 1Z 2的垂直平分线上的动点，则z 1-z 3 =z 2-z 327.(2022春·江苏苏州·高一统考期末)设i是虚数单位，复数z1=a+bi a,b∈R，z2=1+2i，请写出一个满足z1z2是纯虚数的复数z1=.28.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知i为虚数单位，且复数z满足：z⋅i=1-2i，则复数z的模为．29.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)已知复数z满足z =2，z2的虚部为-2，z所对应的点A在第二象限，则z=．30.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知复数z=-1-2i，其中i为虚数单位，若z，z2在复平面上对应的点分别为M，N，O为坐标原点，则线段MN长度为.31.(2022春·江苏南通·高一统考期末)设i为虚数单位，复数z=cosθ+i sinθθ∈R的最大值为，则z-1．32.(2022春·江苏扬州·高一期末)如果复数z满足z+i=2，那么z+i+1的最小值是．+z-i33.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知复数z=m2+5m-6+(m-1)i,m∈R．(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值．34.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)已知复数z1=1+2i，z2=3-4i.(1)若复数z1+λz2在复平面内对应的点在第二象限，求实数λ的取值范围；(2)若复数z=z1⋅μ+z2(μ∈R)为纯虚数，求z的虚部.35.(2022春·江苏南京·高一统考期末)已知复数z1=1-3i，z2=a+i，a∈R，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知z1⋅z2为“理想复数”．(1)求实数a；(2)定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2=z1+z2z2,z1 ≥z2z1+z2z1,z1 <z2，求z1⊗z2．36.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)已知复数z 1=1+i ，z 2=x +yi ，其中x ，y 为非零实数．(1)若z 1⋅z 2是实数，求xy的值；(2)若z 2=z 1 ，复数z =z 1z 22022+m 2-m -1 -m +1 i 为纯虚数，求实数m 的值；(3)复平面内，定点M 与z 1对应，记满足z 2-z 1 =z 2 的z 2对应的点的轨迹为曲线L ，求点M 到L 的最小值．37.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知复数z 1=1+2i ，z 2=3-4i .(1)在复平面内，设复数z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2，求点Z 1，Z 2之间的距离；(2)若复数z 满足1z =1z 1+1z 2，求z .38.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)已知复数z1满足2z1=1+3i+z1(1)求z1 ；(2)若复数z2的虚部为2，且z2z1在复平面内对应的点位于第四象限，求复数z2实部a的取值范围．39.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)已知复数z同时满足下列两个条件：①z的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；②1<z+2z≤4．(1)求出复数z；(2)求z +2-i2+i.40.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知复数z满足z-1为纯虚数，(1-2i)⋅z为实数，其中i为虚数单位．(1)求复数z；(2)若x⋅z+y⋅z =z⋅z ，求实数x，y的值．。

高二数学复数的四则运算(学生版)

学科教师辅导讲义R - D {}0取什么值时，复平面内表示复数815)z m -+）位于第一、二象限？2007i +那么10050z z +例12、证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解．【课堂总结】1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.【课后练习】一、选择题1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为（） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 2．定义运算bc ad d c ba -=,,，则符合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或z为纯虚数，则实数2D．0的实部和虚部相等，则实数（3(0,]3）∪（0，。

复数的概念(学生版)

复数的概念一、单选题1．设复数()()13i,z x x x R =++-∈，则z 的最小值为（）A ．1B ．2C ．D ．4 2．复数z 满足1i z =-，则||z =（）A ．2B ．12 C D 3．已知1i()z m m m m ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭R ，下列关于复数z 的描述中，不正确的是（） A ．z 不可能是实数B ．z 不可能是纯虚数C ．Rez Imz 0⋅>D ．Imz 2≥4．已知i 为虚数单位,四边形OABC 是复平面内的平行四边形,其中(0,0)O ,(1,0)A ,(B -,若点C 对应的复数为z ,则z 等于A ．3-+B ．3-C ．3-D ．3+ 5．已知复数z 满足11z -=，则12z i --的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．若复数z 满足2i z +为纯虚数，且1z =，则z 的虚部为（）A ．BC ．D 7．已知复数21i z =+ ①在复平面内z 对应点的坐标为(1，－1)；②复数的虚部为i -；③复数的共轭复数为i 1-；④||z =⑤复数z 是方程2220x x +=-在复数范围内的一个根.以上5个结论中正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．已知i 为虚数单位，m ∈R ，若复数（2-i ）（m+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数1mi i -的虚部为（） A ．1 B ．i C ．1-D ．i -二、多选题9．已知复数12z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为2iB ．zC ．复数z 的共轭复数12i z =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限10．下列命题，其中不正确的是（）A ．已知复数z a bi =+，a ，b ∈R ，则仅当0a =时z 为纯虚数B ．已知复数()242a a i ++-()a R ∈为实数，则2a =-C ．已知复数2z i =-，则2z =D ．已知复数12i z =-+，则复数z 对应的点在第四象限11．已知复数z 满足1i 3z -+=，则（）A ．复数z 虚部的最大值为2B ．复数z 实部的取值范围是[]2,4-C ．1i z ++的最小值为1D ．复数z 在复平面内对应的点位于第一、三、四象限12．已知复数122i z =-（i 为虚数单位），复数2z 满足2i 1z -=，则下列结论正确的是（）．A ．1z 在复平面内所对的点在第四象限B ．21z z -在复平面内对应的点在第一象限C ．12z z -1D．12z z +1三、填空题13．若复数()()293z a a i =-+-为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值为______.14．若2i i a b +=-其中,i ∈a b R,是虚数单位，则22a b +=______ 15．已知复数z 的共轭复数z ，满足i 1z -=，则22i z +-的最大值为_______16．i 表示虚数单位，则220201...i i i ++++=______．四、解答题17．如图，已知复平面内平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为2+2i ，BC 对应的复数为4-4i .（1）求D 点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD 的面积.18．设R m ∈，复数22(34)(328)i z m m m m =--++-，其中i 为虚数单位. （1）当m 为何值时，复数z 是虚数？（2）当m 为何值时，复数z 是纯虚数？（3）当m 为何值时，复数z 所对应的点在复平面内位于第四象限？19．已知复数()226215i 3m m z m m m --=+--+当m 为何实数时， (1)z 是虚数？(2)z 是纯虚数？20．在复平面上，作出表示下列复数的向量：112z i =+，212i z =-，32i z =，44z =-．21．在①z 在复平面上对应的点在直线0x y -=上，②0z >，③z 为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知复数()()()22569i z m m m m =-++-∈R ．（1）若______，求m 的值．（2）若053z z m =+-，且0z =()()0sin icos z θθθ-+∈R 的最大值．22．已知复数()()2227656i 1m m z m m m m -+=+--∈-R ，试求实数m 的值或取值范围，使得z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.。

一轮复习学生讲义复数的运算

2.复数复数的概念和基本运算【知识精讲】 1 复数的定义1）概念：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除运算，便产生形如bi a +(,a b R ∈)的数叫做复数，全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(,a b R ∈)，其中a 称作实部记作()Re z ，b 称为虚部记作()Im z ，bi a z +=(,a b R ∈)称为代数形式，它是由实部、虚部和虚数单位三部分组成. 2）虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② 12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=3）复数的定义要注意以下几点：○1bi a z +=(,a b R ∈)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘○2数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 4）复数相等复数a bi +与c di +(),,,a b c d R ∈相等，当且仅当a cb d=⎧⎨=⎩，记作a bi c di +=+.2 复数的分类对于复数a bi +(,a b R ∈)，当且仅当0b =时，它是实数；当且仅当0a b ==时，它是实数0；当0b ≠时，它叫做虚数，当0a =且0b ≠时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R ,是复数集C 的真子集，即C R ≠⊂.3 复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量(,)OZ a b =),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数 4 复数的模向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-5.复数的其他形式(1)复数的三角形式：设z 对应复平面内的点Z ，连接OZ ，设xOZ θ∠=，OZ r =，则cos ,sin a r b r θθ==，所以()cos sin z r i θθ=+，这种形式称为三角形式.则θ称为的辐角.若02θπ≤<，则θ称为z 的辐角主值，记作()arg z θ=，r 称为z 的模，也记作z ，由勾股定理可知z =(2)复数的指数形式：,0,i z e r R θθ=≥∈(3)复数的向量形式：()(),,z a b a b R =∈，复数的向量形式可以很好体现复数的几何意义. 6.共轭复数：若bi a z +=(,a b R ∈)，则z a bi =-称为z 的共轭复数. 性质：(1)1212z z z z ±=± (2) 1212z z z z ⋅=⋅ (3)22z z z z ⋅==(4)1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(5)1212z z z z ⋅=⋅(6)1122z z z z = (7)121212z z z z z z -≤±≤+ (8)222212121222z z z z z z ++-=+(9)若1,z =则1z z=.7.复数的运算(1)加法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di a c b d i +++=+++两个复数相加，实部和实部相加的结果为实部，虚部和虚部相加的结果为虚部. (2)乘法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++两个复数相加乘，可以参照多项式乘法相乘，最后合并同类项.(3)减法运算：给定两个复数12,z z ，满足条件12z z z +=的复数z 叫做复数2z 减去1z 的差，记作21z z z =-.(4)除法运算：给定两个复数12,z z ，且10z ≠，满足条件12z z z =的复数z 叫做复数2z 除以去1z 的商，记作21z z z =. 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad iz a bi z z c di c di c di c d+-++-+====++-+ (5)开方运算：给定复数1z ，满足条件1nz z =的复数z 叫做复数1z 的n 次方根. 注解：一个不为0的复数z ，有n 个不同的n 次方根.任意一元n 次方程有n 个复数根.(6)按向量形式，加减法满足平行四边形和三角形法则.(7)按照三角形式，若()()11112222cos sin ,cos sin z r z r θθθθ=+=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ⋅=+++⎡⎤⎣⎦如20z ≠，则()()11121222cos sin z r i z r θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ 8. 隶莫弗定理：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦9.开方：若()cos sin nz r i θθ=+，则22cos sin k k z i n n θπθπ++⎫=+⎪⎭，其中()0,1,2,,1k n =⋅⋅⋅-.10.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z a bi =+是方程的一个根，则z a bi =-也是一个根.11.几个常用结论在复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数分别为1234,,,z z z z ，则 (1)()()1233212cos sin Z Z Z z z z z r i θθθ∠=⇔-=-⋅± (2)()43123421//z z Z Z Z Z k k R z z -⇔=∈-(3)()43123421z z Z Z Z Z ki k R z z -⊥⇔=∈-(4) 123,,Z Z Z 三点共线3121z z R z z -⇔∈- (5)123Z Z Z 的重心对应的复数为1233z z z ++ 12.复数表示的轨迹方程在复平面上的点12,Z Z 对应的复数分别为12,z z ，则 (1)1221Z Z z z =-表示复平面上12,Z Z 两点之间的距离； (2) 1z z r -=表示以1Z 为圆心，r 为半径的圆的方程； (3) ()1212+22z z z z a z z a --=-<表示椭圆； (4) ()1212+22z z z z a z z a --=-=表示线段； (5) ()121222z z z z a z z a ---=->表示双曲线； (6) ()121222z z z z a z z a ---=-=表示两条射线； (4) 12=z z z z --表示垂直平分线方程；13. 在复平面上的点123,,Z Z Z 对应的复数分别为123,,z z z ，则123Z Z Z 的面积为()1231223311Im 2Z Z Z Sz z z z z z =++ 【典型例题】例1．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z =（） A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i + D ．1i -例2．已知复数z 满足()()2i 2i 1i z +=+-，则复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例3．欧拉恒等式：π10i e +=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：()cos sin i e i R θθθθ=+∈中，令πθ=得到的．根据欧拉公式，4i e 复平面内对应的点在（）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式3-1】（不定项选择题）欧拉公式i cos isin x e x x =+其中i 为虚数单位，)x R ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．i4e π=B ．i2e π为纯虚数C ．复数i x e 的模长等于1D ．i3e π的共轭复数为122-i 【变式3-2】欧拉公式i cos isin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1iz+表示成三角形式为________．【变式3-3】已知i cos isin x x x e =+，则2022i e 对应的点位于复平面的第________象限．例4.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z -对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例5.已知z 是关于x 的方程20x x a ++=的根，且z =则实数a =（）A ．B ．5-C ．5D 【变式5-1】若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =______. 例6.若复数z 满足1i 3z -+=，则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于（） A ．3B ．9C ．6πD ．9π【变式6-1】已知复数z 1，z 2满足|z 1|=1，|z 2|=5，则|z 1-z 2|的最小值是________．【变式6-2】复数012i z =-，3z =，则0z z -的最大值是_____.【变式6-3】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如||||z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足||1z =，i 为虚数单位，则|34i |z --的最小值为________．【变式6-4】若z C ∈且11z -=，则z 最大值是_______________. 【变式6-5】若复数z 满足11z i +-≤，则z 的最大值是___________．例7.已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z =__________. 例8.已知复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，则实数m =______. 例9．已知i 为虚数单位，复数z 满足()20212i i z -=，则复数z 的虚部为______.例10. 若复数1z 2cosisin33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z 的辐角的主值为______．例11.如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是___________. 例12. 设1z 、2z C ∈，若121z z ==，则2212z z -的最大值为______. 例13.已知复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z +=，则12z z -=______.例14.i 是虚数单位，则202111i 1i kk =-⎛⎫=⎪+⎝⎭∑______．例15.已知复数()()2281543i,z m m m m m R =-++-+∈. （1）若z 是实数，求实数m 的值；（2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值. 例16．已知复数32i23iz +=-. （1）求12i z --；（2）计算：234z z z z ++++……2021z +． 43．已知复数22cossincos isin 9999z i ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求z 的共轭复数；（2）若复数0z =，求0z 在复平面内对应的点的坐标．。

高中数学-学生-复数的运算

复数z=a+bi和 =a－bi(a、b∈R)互为共轭复数
7．乘法运算：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数
（2）结合律：
特别地，实数是特殊的复数（虚部为零），当时，就表示实数的加法，保持了复数集与实数集在运算上的和协性。
2.复数z1与z2的差的定义：
由于复数在几何上可以用向量表示，所以复数的加减法在几何上可以表示为对应向量的加减法，因此向量加减法的平行四边形法则或三角形法则同样适用于复数。
3 复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量
乘法满足的运算律：设 ,则
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
注意：对于实数集中成立的各种命题，在副书记中是否成立需要通过验证，不能简单的把实数集中的性质直接变换为复数集中的性质。
互为共轭的两个复数的乘积:设则，
8.复数的乘方：几个相同复数相乘。对任何复数及正整数有
思考：
9 除法运算：和实数的除法运算类似，复数的除法也是乘法运算的逆运算，即利用复数相等可得
6.计算（1）（2）（3）
7.已知 ,求复数
8.复数满足，求
9.已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值。
2 设x、y∈R，且－ = ，则x+y=___________

复数.学生版

题型一：复数的概念【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1-【例2】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（）A ．()15，B ．()13，C ．()15，D ．()13，【例4】若复数(2)i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = ．【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部为．【例6】复数321i +=（） A ．12i +B ．12i -C ．1-D ．3【例7】计算：0!1!2!100!i +i +i ++i=L （i 表示虚数单位）典例分析复数【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =．⑥1z =的充要条件是1z z=．A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：复数的几何意义【例10】复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例12】在复平面内，复数200921i (1i)+-对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例13】在复平面内，复数sin2cos2z i =+对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例14】在复平面内，复数21i+对应的点与原点的距离是（） A ． 1 B ．C ．2D ．【例15】若复数z 满足(1)1i z ai -=+，且复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或【例16】已知复数z ＝3＋4i 所对应的向量为OZ uuu r ，把OZ uuu r 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ u u u r．若1OZ u u u r对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（）A ．3iB ．4iC ．5iD ．－5i【例17】复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例18】若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例19】设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例20】如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（）A ．1BC ．2 D【例21】满足1z =及1322z z +=-的复数z 的集合是（）A ．1122⎧⎫⎪⎪--⎨⎬⎪⎪⎩⎭， B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭，C ．⎫⎪-⎬⎪⎪⎩⎭D ．1122⎧⎫⎪⎪+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，【例22】已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，yx的最大值为_______．【例23】复数z 满足条件：21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【例24】复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．【例25】已知复数1z ，2z满足11z =，21z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值．【例26】已知复数12z z ，满足121z z ==，且12z z -=，求证：12z z +=．【例27】已知12z z ，∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -．【例28】已知复数z 满足(23i)(23i)4z z -++-=，求d z =的最大值与最小值．题型三：复数的四则运算【例29】复数31i i ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．8B ．8-C ．8iD ．8i -【例30】设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（）A ．1±B ．1C ．0D ．1-【例31】已知复数1z i =-，则221z zz -=-（）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【例32】设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则zz 等于（） A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±【例33】已知集合(3)(3)2i i z i+-=-，则||z =（）AB．CD．【例34】已知复数12232i 23i ,(2i)z z +=-=+，则12z z =（）A ． 49B ．7C ． 25D ． 5【例35】若将复数11ii+-表示为a bi +（a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a b += ．【例36】若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（） A ．2- B ．4 C ．6- D ．6【例37】i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（） A ．15- B ．3- C ．3 D ．15【例38】设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =【例39】若a 为实数，i iai 2212-=++，则a 等于（）A ． 2B ．－ 2C ．2 2D ．－2 2【例40】若复数z=i a 3)2(+- （R a ∈）是纯虚数，则aiia ++1=【例41】定义运算(,)(,)a b c d ac cd ⊗=-，则符合条件(,12)(1,1)0z i i i +⊗+-=的复数z 的所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例42】定义运算a b ad bc c d=-，则符合条件120121z i ii+=--的复数z 对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例43】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(i)(i)m n n m +-为实数的概率为（） A ．13 B ．14 C ．16 D ．112【例44】已知复数z 满足01,120082009=++=z z z ，则复数z ＝_____________【例45】已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（）A ．2-B ．C ．D ．4【例46】4）A ．1B ．1-+C ．1-D ．1-【例47】12．【例48】已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ⋅的最大值为（）A ．32B C ．D ．3【例49】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数）【例50】设x 、y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y +=________．【例51】对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，．⑴设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；⑵若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．【例52】解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=．【例53】已知21z x =+22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【例54】关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．【例55】设方程220x x k -+=的根分别为α，β，且αβ-=k 的值．【例56】用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，．并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．【例57】若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=L （12n a a a ∈R L ，，，）的解，求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．【例58】已知1zz -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹．【例59】设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中A =，求12z A z A +⋅+的值．【例60】设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．【例61】若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -．【例62】已知虚数ω为1的一个立方根，即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2ωω=，并求23111ωωω++与211ωω++的值．【例63】若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=L （012212n n a a a a ω+∈∈=-N R L ，，，，，，），求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L【例64】设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<． ⑴求z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； ⑶求2w u -的最小值．【例65】对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，．⑴ 设σ是方程1x x+=M σ； ⑵设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【例66】已知复数01i(0)z m m =->，i z x y =+和i w x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0w z z =⋅，2w z =．⑴ 试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；⑵将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．当点P在直线1=+上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；y x⑶是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．。

复数的形式及其应用提高(学生版)

数学讲义复数的形式及其应用提高学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位复数在自招跟竞赛中更多地是作为一种处理问题的工具出现。

复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式，所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系，由此，该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容。

本节课将主要介绍单位根的性质以及复数相关的综合应用。

知识梳理1. 代数基本定理：任何n 元一次多项式在复数域上必有一个零点。

注：由代数基本定理立知：任何n 元一次多项式在复数域上必有n 个零点。

（允许有重零点）2. 复数的开方:若有(*)n i z re θω== ，我们考虑复数z 的开方，即求ω. 根据棣莫弗公式，容易知道：2()ink nk rek θπω+∈=Z 满足方程(*)。

又根据代数基本定理，方程(*)将有且只有n 个根。

因此，方程(*)的所有根为：20,1,2,,1ink nk rek n θπω+==-，此即复数z 的所有n 次方根。

3. 单位根的定义与性质:特别地，我们称1的n 次方根为n 次单位根.根据前述的复数开方公式易知，n 次单位根共有n 个，分别为：2(0,1,2),1,k ink en k πε=-= .容易知道：1kk εε= ，因此n 个n 次单位根可以表示为：21111,,1,,.n εεε-关于n 次单位根，我们有以下性质（请同学给出具体证明）：（1） 1.()k k ε=∈Z （2）.(,)k j k j k j εεε+=∈Z （3）2110(2,1)n k k k k n εεεε-=≥++++≠（4）设m ∈Z ，那么：121,;10,.m m mn n m n m n εεε-⎧++++=⎨⎩当是的倍数当不是的倍数例题精讲复数单位根的性质与应用例1：【试题来源】【题目】已知{}181A z z==和{}481B w w ==均为1的复数根的集合，{},C zw z A w B =∈∈也为1的复数根的集合，问：集合C 中有多少个不同的元素？【难度系数】3例2：【试题来源】【题目】设22=cos sini n nεππ+ ，求证：（1）()()()21111n n εεε----= ；（2）1(1)sin2sinsin2n n nn nnπππ--= . 【难度系数】3例3：【试题来源】设101n A A A - 是正n 边形，它的外接圆O 半径为1 ，求证：自圆O 上任意一点P 到各顶点的距离的平方和为定值。

专题02 复数(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)

专题02复数考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1求复数的实部与虚部（10年4考）2020·全国卷、2020·江苏卷、2018·江苏卷、2016·天津卷、2016·江苏卷、2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·北京卷1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。

考点2复数相等（10年7考）2023·全国甲卷、2022·浙江卷、2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·浙江卷、2016·天津卷、2015·全国卷、2015·全国卷、2015·上海卷考点3复数的分类（10年2考）2017·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2015·天津卷考点4共轭复数（10年10考）2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2021·新Ⅰ卷全国考点5复数的模（10年9考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷、2019·浙江卷考点6复数的几何意义（10年8考）2023·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2018·北京卷、2017·全国卷、2017·北京卷、2016·全国卷考点01求复数的实部与虚部1．（2020·全国·高考真题）复数113i-的虚部是（）A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020·江苏·高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是.3．（2018·江苏·高考真题）若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．4．（2016·天津·高考真题）i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为.5．（2016·江苏·高考真题）复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是.6．（2016·全国·高考真题）设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．37．（2015·重庆·高考真题）复数()12i i +的实部为.8．（2015·北京·高考真题）复数()1i i +的实部为．考点02复数相等1．（2023·全国甲卷·高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．22．（2022·浙江·高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022·全国乙卷·高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021·全国乙卷·高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-6．（2017·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b +=，ab =．7．（2016·天津·高考真题）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a ，则ab的值为.8．（2015·全国·高考真题）若a 为实数,且2i3i 1ia +=++,则=a A ．4-B ．3-C ．3D ．49．（2015·全国·高考真题）若a 为实数且()()2i 2i 4i a a +-=-，则=a A ．1-B ．0C ．1D ．210．（2015·上海·高考真题）若复数满足，其中是虚数单位，则.考点03复数的分类1．（2017·全国·高考真题）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)2．（2017·全国·高考真题）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则R z ∈；2p ：若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈；3p ：若复数12,z z 满足12R z z ∈，则12z z =；4p ：若复数z R ∈，则R z ∈.其中的真命题为A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 3．（2017·天津·高考真题）已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii-+为实数，则a 的值为．4．（2015·天津·高考真题）i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为.考点04共轭复数1．（2024·全国甲卷·高考真题）设z，则z z ⋅=（）A ．2-B C ．D ．22．（2024·全国甲卷·高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023·全国乙卷·高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．2i-D ．2i +5．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．0D ．16．（2022·全国甲卷·高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．7．（2022·全国甲卷·高考真题）若1z =-，则1zzz =-（）A ．1-B ．1-C ．1i33-+D ．1i33--8．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021·全国乙卷·高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（）A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i -10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i+考点05复数的模1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．22．（2023·全国乙卷·高考真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2CD ．53．（2022·全国甲卷·高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·北京·高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020·全国·高考真题）若312i i z =++，则||=z （）A ．0B ．1CD ．26．（2020·全国·高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1C D ．27．（2020·全国·高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +，则12||z z -=.8．（2019·全国·高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2BC D ．19．（2019·天津·高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为.10．（2019·浙江·高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =.考点06复数的几何意义1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A ．12i+B ．2i-+C ．12i-D ．2i--5．（2019·全国·高考真题）设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2019·全国·高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=7．（2018·北京·高考真题）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（2017·全国·高考真题）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2017·北京·高考真题）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．（–∞，1）B ．（–∞，–1）C ．（1，+∞）D ．（–1，+∞）10．（2016·全国·高考真题）已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-，B ．(13)-，C ．(1,)+∞D ．(3)-∞-，。

复数六年级下册知识点

复数六年级下册知识点一、复数的定义和用法复数是表示两个或两个以上的人、事物或概念的形式。

在英语中，复数通常在名词的词尾加上-s或-es来表示。

例如：1. cat（猫）→ cats（猫们）2. book（书）→ books（书们）3. box（盒子）→ boxes（盒子们）二、一般规则复数形式的变化1. 大多数名词加上-s- dog（狗）→ dogs（狗们）- chair（椅子）→ chairs（椅子们）2. 以-s、-ss、-ch、-sh、-x或-z 结尾的名词加上-es- bus（公交车）→ buses（公交车们）- class（班级）→ classes（班级们）- watch（手表）→ watches（手表们）3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加上-es - baby（婴儿）→ babies（婴儿们）- city（城市）→ cities（城市们）三、特殊规则复数形式的变化1. 以-o 结尾的名词，大多数加上-es- tomato（西红柿）→ tomatoes（西红柿们）- hero（英雄）→ heroes（英雄们）2. 以-f 或-fe 结尾的名词，将-f 或-fe 变为-ves- leaf（叶子）→ leaves（叶子们）- knife（刀）→ knives（刀们）3. 不规则变化- tooth（牙齿）→ teeth（牙齿们）- mouse（老鼠）→ mice（老鼠们）- child（孩子）→ children（孩子们）四、复数形式的用法1. 表示多个人或物- I have three dogs.（我有三只狗。

）- There are many birds in the sky.（天空中有很多鸟。

）2. 表示某种类型或种类的事物- She collects different types of stamps.（她收集不同类型的邮票。

）- The supermarket sells various kinds of fruits.（超市出售各种各样的水果。

复数学生

复数1.复数的引入：2.数的演变过程：3.虚数单位:4.复数与复数的实部与虚部：5.复数的分类：6.复数的相等：7.复数之间的关系：8.复数的几何意义：9.复平面、实轴、虚轴10.复数的模：11.共轭复数例题：例1.1(1)m m m i ++-实数取什么值时复数z=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式1：若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = .变式2：使复数为实数的充分而不必要条件是 ( )A ．z z -=B ．z z = C ．2z 为实数 D ．z z -+为实数变式3：若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2m m X ∈=( ).A ．R +B ．R -C ．R R +-D ．{}0R +例2. 实数m 取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、二象限？（3）位于直线上变式1：复数ｚ＝（ａ2－2ａ）＋（ａ2－ａ－2）ｉ对应的点在虚轴上，则（C ）A.ａ≠2或ａ≠1B.ａ≠2且ａ≠1C.ａ＝2或ａ＝0D.ａ＝0变式2：已知复数12z i =+，21z i =-，则在12z z z =⋅复平面上对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限变式3：如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在第三象限.例3.求下列复数的模及其共轭复数()1134z i =+ ()1222- 变式1：设z C ∈，满足下列条件的点z 的集合是什么图形？ ()12z= ()223z ≤≤ ()3z 的实部和虚部相等变式2：已知()2,x yi x y R +=∈，求()1x y +的取值范围；()()()22222x y -+-的取值范围变式3：已知z 1=x 2+12+x i ，z 2=(x 2+a )i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围例4.求适合下列方程的x 和(),y x y R ∈的值（1）()()26x y i x x y i +-=+-（2）()()+120x y x y i +--+=变式1：解方程210400x x -+=变式2：(4)(3)2x y i ++-≥(),x y R ∈，求,x y 的值复数的运算1.复数的加法2.复数的相反数4.复数加法与减法的几何意义5.12z z -与12z z +的模的几何意义例题例1．计算：（1）(14)(72)i i +-+；（2）(72)(14)i i -++；（3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[；（5）(14)(72)i i +--；（6）(52)(14)(23)i i i --+--+；（7）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[变式1：若(310)(2)19i y i x i -++=-，求实数,x y 的取值变式2：求证：1212z z z z +=+；1212z z z z -=-例2. 三个复数123,,Z Z Z ，其中1Z i ，2Z 是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定23,Z Z 的值。

第4讲利用复数几何意义求与模有关的最值问题(学生版)

复数专题第4讲利用复数几何意义求与模有关的最值问题一、复数的几何意义每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.复数集C 中的数与复平面内的点建立了一一对应的关系，复数z =a +bi 在复平面内的对应点Z(a,b)二、复数模的几何意义1、向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z =a +bi 的模或绝对值，记作|z |或|a +bi |，即|z |=|a +bi |=√a 2+b 2，其中a 、b ∈R ，|z |表示复平面内的点Z (a,b )到原点的距离；2、|z 1−z 2|的几何意义：复平面中点Z 1与点Z 2间的距离，如右图所示。

示例：|z +(1+2i)|表示：点Z 到点(−1,−2)的距离小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z =x +yi ，则|z −(a +bi)|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，则|z −(a +bi)|=r 表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点.三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题如图所示，点P 在圆O 上运动，在圆上找一点P 使得PA 最小（大）如图，当P 为OA 连线与圆O 交点时，PA 最小，最小为OA −r ；当P 在AO 延长线与圆O 交点P′时，PA 最大，最大为OA +r题型一与复数有关的轨迹例z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. 设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？例2.已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( )A ．一个圆B ．线段C ．两点D ．两个圆1.若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．2.（多选）|(3+2i )−(1+i)|表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模3.满足条件|z －2i|＋|z ＋1|＝5的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆4.在复平面内，已知定点M 与复数m =1+2i ，那个点Z 与复数z =x +yi ，问：满足不等式|z −m |≤2的点Z 的集合是什么图形？题型二模长最值问题例1.已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为（）A．1 B．2 C． 5 D．3例2.已知|z|＝2，求|z＋1＋3i|的最大值和最小值．例3.若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．1.已知复数z的模为1，则2z+的最大值为__________.2.已知复数z，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．3.若z C∈，且4z=，则1z i+-的取值范围是________.4.已知复数z满足等式1i1z--=，则3z-的最大值为______5.若z C∈且342z i++≤，则z的取值范围为__________．6.若cos sinz iθθ=+(R iθ∈，是虚数单位)，则22z i--的最小值是（）A. C.1 D.。

小学复数的归纳总结

小学复数的归纳总结英语中的名词复数形式是学习英语的基础部分之一。

在小学阶段，学生们需要掌握名词复数的规则和变化方式。

本文将对小学学生常见的名词复数形式进行归纳和总结，帮助学生更好地掌握这一知识点。

一、一般规则：1. 大部分名词加-s变成复数：例如：book - books, cat - cats, dog - dogs2. 以s, sh, ch, x结尾的名词加-es变成复数：例如：bus - buses, brush - brushes, watch - watches, box - boxes3. 以辅音字母+y结尾的名词，变y为i再加-es：例如：baby - babies, city - cities, country - countries4. 以-o结尾的名词，大多数加-es变复数：例如：tomato - tomatoes, potato - potatoes二、特殊规则：1. 不规则复数形式：a. 单复同形：例如：sheep - sheep, fish - fish, deer - deerb. 变元音：例如：man - men, woman - women, tooth - teeth, foot - feetc. 变f为v再加-es：例如：leaf - leaves, loaf - loaves, thief - thieves2. 拼写改变：a. 单词末尾是辅音字母+y的名词，去y加-ies：例如：lady - ladies, berry - berriesb. 单词末尾是辅音字母+o的名词，去o加-es：例如：hero - heroes, tomato - tomatoesc. 单词末尾是辅音字母+s的名词，直接加-es：例如：pass - passes, class - classes三、少数名词形式固定不变：1. 无复数形式或只用于复数形式：例如：news, physics, economics2. 以复数形式表示单数意义：例如：clothes, scissors, pants四、掌握方法：1. 复习常见的名词复数规则，通过多次的阅读和书写来加深记忆。

第2讲复数的概念与运算(学生版)

第二讲复数的概念与运算真题展示2022新高考一卷第一题若i(1)1z -=，则z z +=（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2知识要点整理1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i ，规定：①=-1，即i 是方程+1=0的根；②实数可以和数i 进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.在此规定下，实数a 与i 相加，结果记作a +i ；实数b 与i 相乘，结果记作b i ；实数a 与b i 相加，结果记作________.注意到所有实数以及i 都可以写成________的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念我们把形如________的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a +b i|a ,b ∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C 中就有解x =i 了.(3)复数的表示复数通常用字母z 表示，即z =a +b i(a ,b ∈R).以后不作特殊说明时，复数z =a +b i 都有a ,b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的________与________.(4)复数的分类对于复数a +b i ，当且仅当b =0时，它是实数；当且仅当a =b =0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数；当a =0且b ≠0时，它叫做________.显然，实数集R 是复数集C 的________，即R C.复数z =a +b i 可以分类如下：复数，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.2．复数相等在复数集C={a+b i|a,b∈R}中任取两个数a+b i，c+d i(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+b i与c+d i 相等当且仅当________，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.3．复数的几何意义(1)复平面根据复数相等的定义，可得复数z=a+b i有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+b i可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.(2)复数的几何意义——与点对应由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+b复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.(3) 复数的几何意义——与向量对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+b i，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+b i平面向量，这是复数的另一种几何意义.4．复数的模向量的模r叫做复数z=a+b i的模或绝对值，记作|z|或|a+b i|.如果b=0，那么z=a+b i 是一个实数a，它的模等于________（就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+b i|=r=(r0,r∈R).5．共轭复数(1)定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用________表示，即若z=a+b i，则________.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.(2)几何意义互为________的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)性质=z.②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.6．复数的模的几何意义(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R)的模|z|就是复数z =a +b i 在复平面内对应的点Z (a ,b )到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.(2)复数z 在复平面内对应的点为Z ，r 表示一个大于0的常数，则满足条件|z |=r 的点Z 组成的集合是以________为圆心，________为半径的圆，|z |<r 表示圆的内部，|z |>r 表示圆的外部.三年真题一、单选题1．已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（） A ．1B ．5C ．7D ．253．设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．若1z =-+，则1zzz =-（）A．1-B ．1-C ．13-D ．13-5．(22i)(12i)+-=（） A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -6．若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．7．已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-8．复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +10．设i 43i z =+，则z =（） A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +11．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （） A ．1-B ．1C ．3-D ．312．设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -13．已知2(1)32i z i -=+，则z =（） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --14．已知2i z =-，则()i z z +=（） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +二、填空题15．已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为_______．16．i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________．三年模拟一、单选题1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知复数z 满足2z z +=，且4i z z -=-，则z =（）AB C ．2D2．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知i 是虚数单位，复数2i 12iz =+，则复数z 的虚部为（） A ．2i 5B ．25C ．1i 5-D ．15-3．（2023·广西·南宁二中一模（文））若341i 2i i 1iz -++=+，则z 的虚部为（）A ．52B ．52- C ．52i D ．5i 2-4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知复数z 的共轭复数为z ，若()2i 23i z -=-，则z =（） A ．47i 55+B ．47i 55-C ．74i 55+D ．74i 55-5．（2022·四川南充·一模（理））若复数z 满足i 1z ⋅=+，则z =（） A ．1B ．5C ．7D ．256．（2022·全国·模拟预测）复数()21i 2i+-在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2022·四川成都·一模（理））如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12z z +=（）A ．1B 5C ．3D ．58．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））设复数3i1iz +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（） A ．-3B ．-1C ．3D ．59．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则||z =（）A ．2BC ．D ．10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则|1|z -=（）A ．2BC ．D ．11．（2021·河南三门峡·一模（理））复数z 满足(2i)4z z +=-，则z =（） A ．3i + B ．3i -+ C ．1i -+ D ．1i --二、填空题12．（2022·上海宝山·一模）设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.13．（2022·上海普陀·一模）若()i 1i z =⋅-（其中i 表示虚数单位），则Im z =______．14．（2022·上海长宁·一模）复数z 满足11iz =+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点Z 到原点O 的距离为___________15．（2022·上海虹口·一模）设m ，n ∈R ，i 为虚数单位，若1是关于x 的二次方程20x mx n ++=的一个虚根，则m n +=______．16．（2022·上海杨浦·一模）设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．。

小学英语复数形式归纳总结(K12教育文档)

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小学英语名词复数形式归纳规则变化规律：一、一般情况下,直接在该词末尾加-s。

读音变化:-s在清辅音［p］[t][k］［f］后读[s］，在浊辅音和元音后读[z]，在辅音［s][z][d？]后读[iz]，口诀：清清浊浊元浊,结尾是清辅音读[s］，结尾是浊辅音或元音读［z]。

例：friend—friends; cat-cats； sport-sports；cups—cups, cake—cakes, flag-flags, face-facesbook-books, bag—bags， cat—cats， bed—beds二、凡以s、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加-es构成复数。

读音变化：统一加读［iz]。

例：bus→buses； fox→foxes； match→matches; flash→flashes ；class-classes, box-boxes, watch-watches, dish—dishes；brush-brushes。

三、以y结尾（1）以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加—es。

读音变化:加读［z］.例:candy→candies; lady→ladies; story→stories; party—parties； family—families; story-stories; city-cities；strawberry-strawberries；country-countries， study-studies， fairy→fairies; daisy→daisies.（2）以“元音字母（a，e,i,o，u）+y"结尾，直接加-s，读［z].如：boy—boys; toy—toys; ray-rays； day—days;key-keys.四、以“f或fe”结尾，变f或fe为v，再加—es，如:knife-knives，读音变化：尾音[f]改读[vz]例：knife→knives； life→lives； leaf→leaves;half—--halves ； wolf——-wolves；loaf-loaves， wife---wives; thief———thieves; staff→staves; scarf→scarves。

2024秋季人教A版高中数学必修第二册第七章复数《复数的四则运算》

教学设计：2024秋季人教A版高中数学必修第二册第七章复数《复数的四则运算》一、教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解复数四则运算的定义，抽象出复数运算与实数运算的区别与联系。

2.逻辑推理：通过复数四则运算的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力，理解复数运算的代数和几何意义。

3.数学运算：熟练掌握复数四则运算（加、减、乘、除）的法则，提高数学运算能力。

4.数学建模：初步了解复数在解决实际问题中的应用，培养学生的数学建模意识。

二、教学重点•复数四则运算的法则及其推导过程。

•复数乘法和除法的运算技巧及注意事项。

三、教学难点•理解复数乘法中“模相乘、辐角相加”的原理及其在运算中的应用。

•掌握复数除法运算中共轭复数的使用及结果的化简。

四、教学资源•多媒体课件（包含复数四则运算的示例、动画演示、练习题等）•黑板与粉笔（用于板书关键步骤和结论）•教材及配套习题册•复数计算器（可选，用于学生实践运算）五、教学方法•讲授法：系统介绍复数四则运算的定义、法则及运算技巧。

•演示法：利用多媒体课件演示复数四则运算的过程，帮助学生直观理解。

•练习法：通过例题和习题，加强学生对复数四则运算的掌握。

•讨论法：组织学生讨论复数四则运算在实际问题中的应用，加深对复数运算的理解。

六、教学过程1. 导入新课•复习旧知：回顾复数的概念、代数表示及三角表示，为复数四则运算做铺垫。

•情境引入：通过物理、工程或经济等领域中涉及复数运算的实例，激发学生兴趣，引入复数四则运算的学习。

2. 新课教学•复数加法与减法：•简述复数加法与减法的定义，强调实部与实部相加（减）、虚部与虚部相加（减）的规则。

•通过例题演示复数加法与减法的运算过程，引导学生总结运算规律。

•复数乘法：•详细介绍复数乘法的运算法则，特别是“模相乘、辐角相加”的原理及其在代数表示下的应用。

•通过例题演示复数乘法的运算过程，注意运算结果的化简和辐角的处理。

•强调复数乘法与实数乘法的区别，以及复数乘法在几何变换中的意义。