函数项级数的一致收敛判别论文
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3.1.4定理 （狄利克雷判别法）
（1） 的部分和函数列
（n=1,2,…）
在 上一致有界；
（2）对于每一个 是单调的；
（3）在 上 ,
则级数(3)在 上一致收敛.
例4判断的一致收敛性
解当 时, ；
当 时,令
则 ,有 ，根据狄利克雷判别法可知该函数项级数一致收敛
（注意：利用狄利克雷判别函数级数一致收敛时,三个条件都应满足）
由于 所以
在 有界且对于任意给定的 ,存在 ,当 时,
,于是对所有自然数 ,有 ,而当 时,由 知,当 时, 在 上一致收敛于零,因此存在 ,当 时,对所有 , ,这样当 时,对所有 ,有 ,因此级数 在 一致收敛.
第3章函数项级数一致收敛的判定方法
本章我们将给出一些判别函数项级数一致收敛的基本方法：柯西一致收敛准
3.1.7定理7(对数判别法)
设 为定义在数集 上正的函数列,若存在
则(1)若对 , ,则函数项级数 在 上一致收敛；
(2)若对 , ,则函数项级数 在 上不一致收敛；
证明由定理条件知,对 , N,使得对 n>N,有
则当 对 成立时,有 而p级数 当 时收敛,由优级数判别法知函数项级数 在D上一致收敛；而当 <p<1时,有 ,且由p级数当p<1时发散,从而函数项级数 在 上不一致收敛.
目前,已有许多文献对函数项级数一致收敛进行了研究,如文献[1]中介绍了函数列、函数项级数一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数一致收敛的充要条件；文献[2]对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、判别方法等方面做了讨论；文献[3]给出了判别函数项级数一致收敛的新方法,这种方法与Dini定理的区别在于：Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献[4]介绍了函数项级数中的Dini定理.文献[5]则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法.
Keywords:functionseries, uniformconvergence,function,partial sums
第1章引言
函数项级数一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.同时,函数项级数一致收敛是数学分析教学中的难点之一,数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们需要讨论它的一致收敛性作为保证.
例1讨论函数项级 , 在所给区间D上是否
一致收敛
解因
所以, 取 ,当 时,对一切 ,和一切自然数p,都有
由函数项级数一致收敛的柯西准则知所给级数在 上一致收敛.柯西收
敛准则是我们在判断函数项级数一致收敛时的常用方法
判别函数项级数一致收敛性除了根据定义和柯西准则外,有些级数还可以根据级数各项的特征来判定。例如我们在数学分析的课本中,也介绍了用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法掌握解答级数的问题,以下介绍级数收敛性理论中阿贝尔判别法和狄利克雷判别法及魏尔斯特拉斯判别法:
例6 在 上不一致收敛
解
3.1.8定理8（端点判别法）
设 在 上单调 ，若 绝对收敛，则 在 绝对且一致收敛
证明 在 上单调， ，由 绝对收敛，知 收敛，由M判别法知 在 上绝对且一致收敛
第2章预备知识
2.1函数列及其一致收敛性
设
（1）
是一列定义在同一数集 上的函数,称为定义在 上的函数列.该函数也可简单地写作：
或 , .
定义 设函数列 与函数 定义在同一数集 上,若对任给的正数 ,总存在某一正整数 ,使得当 时,对一切 ,都有
,
则称函数列 在 上一致收敛于 ,记作
, .
2.2函数项级数及其一致收敛性的定义
虽然已有诸多文献对如何判断函数项级数一致收敛性进行了研究,但多数都有其局限性.本文试图从函数列、函数项级数一致收敛的判别方法进行探索,在文献[2]中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.本文准备从三个阶段对其展开阐述：首先是简单阐述函数列、函数项级数的定义以及一致收敛的概念.其次，分别列出常用的判别函数项级数一致收敛的方法及其应用.最后是本文的主要内容,是在常用的判别函数项级数一致收敛的方法上推出一些定理.先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯M判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini定理；利用L条件,给出函数项级数一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数项级数的一致收敛性；探讨在 可微条件下,当 在 上的一致收敛时,函数项级数 的一致收敛性；把函数项级数所在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.
设 是定义在数集 上的一个函数列,表达式
称为定义在 上的函数项级数,简记为 .
称
为函数项级数的部分和函数列.
定义 若函数项级数 的部分和函数列 在数集 上一致收敛于 ,则称函数项级数 在 上一致收敛于 或称 在 上一致收敛.
我们可以看到,函数项级数 的一致收敛性归结到其部分和函数列 的一致收敛性的研究上,下面我们给出一个运用这个思想处理问题的例子.
设函数项级数 定义在数集 上, 为收敛的正项级数,若对
一切x ,有：
| | ,n=1,2
则函数项级数 在 上一致收敛.
下面讨论定义在区间 上形如
（3）
的函数项级数的一致收敛性判别法,它也是基于分步求和公式.
3.1.2定理2（阿贝尔判别法）设
(1) 在区间 上一致收敛;
(2)对于每一个 是单调的；
(3) 在 上一致有界,即对一切 和正整数n,存在正数M,使
,或称 在 上一致收敛.
由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定,所以由前段
有关函数列一致收敛的定理,都可推出相应的有关函数项级数的定理：
定理 （柯西一致收敛准则）函数项级数 在数集D上一致收敛
的充要条件：对任意的正数 ,总存在某正整数N,使得当n>N时,对一切x 和
一切正整数p都有| |< 或| |< .
证明易知
而等比级数当 时收敛,从而 收敛,由M判别法知, 在D上一致收敛.
（极限形式）设 为定义在数集D上正的函数列,若 ,由于
,且 在D上一致有界,则函数项级数 在D上一致收敛.
3.1.6定理6(根式判别法)
设 为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使 ,
对 n>N,x D成立,则函数项级数 在D上一致收敛.
摘要
函数项级数是数学分析中的一个重要的概念,在工程技术领域也有着重要应用.关于函数项级数的问题往往是数学分析的重点,又是难点,不易理解和掌握 而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性,但是一致收敛的判别往往比较困难,我们的教材中对于函数项级数 的收敛判别给出了一些基本方法,然而这些方法却只能解决一些常见的问题,对于很多其它类型的函数项级数,我们需要寻求其它更为方便的方法。例如,我们可以把正项级数的达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法和它们的极限形式顺利地推广到函数项级数的一致收敛的判别上,此外,还有很多种不常见的判别函数项级数一致收敛的方法,它们在处理某些类型函数项级数一致收敛判别问题上有着很重要的应用。本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究,为今后在处理函数项级数一致收敛性的判别提供理论基础。
同样的,结合数项级数比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时我们还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法、积分判别法.
3.1.5定理5（比式判别法）设 为定义在数集D上的函数列,且 ,n=1,2,……,记
若存在正整数N及实数q,M,使得 , 对任意的n>N, 成立,则函数项级数 在D上一致收敛.
则原级数在 上一致收敛.
例2 在任何有穷区间上的一致收敛性
解对任何有穷区间 , ,使得对一切 ,有 ，在 上对 一致收敛， 调, 即是一致有界的,由阿贝尔判别法知级数一致收敛
3.1.3定理3（余项判别法）函数项级数 在数集D上一致收敛于 的充要条件是:
例3 在 的收敛性பைடு நூலகம்
解由余项判别法知,
可知级数在 内不一致收敛,实际上,余项判别法本质上可看做是柯西一致收敛准则的推论
例1考察级数 的一致收敛性
分析由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。所以我们首先要求出它的和函数列,由等比级数求和公式知当 时,
对于任意 ,由于
因此级数的一致收敛性等价于函数列 对区间 的一致收敛于零
证明：由等比级数求和公式知当 时
故对任意 ,
下面证明此函数列是一致收敛于零的.
证明由定理条件,| (x)|≤ ,对 n>N成立,而几何级数 收敛,由优级数判别法知,函数项级数 在 上一致收敛.（注:当定理6条件成立时,级数 在 上收敛且绝对收敛）
（极限形式） 为定义在数集 上的函数列, ,对 成立,则函数项级数在 上一致收敛
例5 在 上一致收敛（ ）
解 ，由根式判别法知级数一致收敛
关键词：函数项级数、一致收敛、函数列、部分和数列
Abstract
The function series is an importantconcept in mathematical analysis ,also has itsimportingapplication in engineeringfield. Thefunction of series problems are often thefocusof mathematical analysis, it isdifficult, difficultto understand and masterand one of the basic problems in function series is to study the convergenceproblems, butconsistent convergence is often difficult, our textbooks for the convergence of functional seriesdiscriminategives some basic methods in commonuse, howeverthese methods can only solve some commonproblems, forseries of function of many othertypes, weneed to find other more convenientmethod. Forexample, wecan put thepositiveterm series by Darren Bellmethod, Cauchymethod, Abediscriminatemethod and their limiting forms smoothly todiscriminant of uniform convergence of functional seriesof. Inaddition, thereare many not often the discriminant function series convergencemethod, inwhich they some type of uniform convergence the function series problems of discriminant has a very importantapplication. Thispaper aims to make a comprehensive summary and research method to distinguish the function seriesconvergence, forthe future in the processing function of distinguishing uniform convergence of series and provide a theoretical basis.
则,魏尔斯特拉斯判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法以及不常用的方法,例如：
两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致 条件判别法、导数判别法、点
列判别法这几方面来介绍函数项级数一致收敛的判别方法.
3.1常用判别方法
3.1.1定义 设 是函数项级数 的部分和函数列.若 在数集 上一致收敛于函数 ,则称函数项级数 在 上一致收敛于函数
（1） 的部分和函数列
（n=1,2,…）
在 上一致有界；
（2）对于每一个 是单调的；
（3）在 上 ,
则级数(3)在 上一致收敛.
例4判断的一致收敛性
解当 时, ；
当 时,令
则 ,有 ，根据狄利克雷判别法可知该函数项级数一致收敛
（注意：利用狄利克雷判别函数级数一致收敛时,三个条件都应满足）
由于 所以
在 有界且对于任意给定的 ,存在 ,当 时,
,于是对所有自然数 ,有 ,而当 时,由 知,当 时, 在 上一致收敛于零,因此存在 ,当 时,对所有 , ,这样当 时,对所有 ,有 ,因此级数 在 一致收敛.
第3章函数项级数一致收敛的判定方法
本章我们将给出一些判别函数项级数一致收敛的基本方法：柯西一致收敛准
3.1.7定理7(对数判别法)
设 为定义在数集 上正的函数列,若存在
则(1)若对 , ,则函数项级数 在 上一致收敛；
(2)若对 , ,则函数项级数 在 上不一致收敛；
证明由定理条件知,对 , N,使得对 n>N,有
则当 对 成立时,有 而p级数 当 时收敛,由优级数判别法知函数项级数 在D上一致收敛；而当 <p<1时,有 ,且由p级数当p<1时发散,从而函数项级数 在 上不一致收敛.
目前,已有许多文献对函数项级数一致收敛进行了研究,如文献[1]中介绍了函数列、函数项级数一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数一致收敛的充要条件；文献[2]对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、判别方法等方面做了讨论；文献[3]给出了判别函数项级数一致收敛的新方法,这种方法与Dini定理的区别在于：Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献[4]介绍了函数项级数中的Dini定理.文献[5]则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法.
Keywords:functionseries, uniformconvergence,function,partial sums
第1章引言
函数项级数一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.同时,函数项级数一致收敛是数学分析教学中的难点之一,数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们需要讨论它的一致收敛性作为保证.
例1讨论函数项级 , 在所给区间D上是否
一致收敛
解因
所以, 取 ,当 时,对一切 ,和一切自然数p,都有
由函数项级数一致收敛的柯西准则知所给级数在 上一致收敛.柯西收
敛准则是我们在判断函数项级数一致收敛时的常用方法
判别函数项级数一致收敛性除了根据定义和柯西准则外,有些级数还可以根据级数各项的特征来判定。例如我们在数学分析的课本中,也介绍了用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法掌握解答级数的问题,以下介绍级数收敛性理论中阿贝尔判别法和狄利克雷判别法及魏尔斯特拉斯判别法:
例6 在 上不一致收敛
解
3.1.8定理8（端点判别法）
设 在 上单调 ，若 绝对收敛，则 在 绝对且一致收敛
证明 在 上单调， ，由 绝对收敛，知 收敛，由M判别法知 在 上绝对且一致收敛
第2章预备知识
2.1函数列及其一致收敛性
设
（1）
是一列定义在同一数集 上的函数,称为定义在 上的函数列.该函数也可简单地写作：
或 , .
定义 设函数列 与函数 定义在同一数集 上,若对任给的正数 ,总存在某一正整数 ,使得当 时,对一切 ,都有
,
则称函数列 在 上一致收敛于 ,记作
, .
2.2函数项级数及其一致收敛性的定义
虽然已有诸多文献对如何判断函数项级数一致收敛性进行了研究,但多数都有其局限性.本文试图从函数列、函数项级数一致收敛的判别方法进行探索,在文献[2]中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.本文准备从三个阶段对其展开阐述：首先是简单阐述函数列、函数项级数的定义以及一致收敛的概念.其次，分别列出常用的判别函数项级数一致收敛的方法及其应用.最后是本文的主要内容,是在常用的判别函数项级数一致收敛的方法上推出一些定理.先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯M判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini定理；利用L条件,给出函数项级数一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数项级数的一致收敛性；探讨在 可微条件下,当 在 上的一致收敛时,函数项级数 的一致收敛性；把函数项级数所在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.
设 是定义在数集 上的一个函数列,表达式
称为定义在 上的函数项级数,简记为 .
称
为函数项级数的部分和函数列.
定义 若函数项级数 的部分和函数列 在数集 上一致收敛于 ,则称函数项级数 在 上一致收敛于 或称 在 上一致收敛.
我们可以看到,函数项级数 的一致收敛性归结到其部分和函数列 的一致收敛性的研究上,下面我们给出一个运用这个思想处理问题的例子.
设函数项级数 定义在数集 上, 为收敛的正项级数,若对
一切x ,有：
| | ,n=1,2
则函数项级数 在 上一致收敛.
下面讨论定义在区间 上形如
（3）
的函数项级数的一致收敛性判别法,它也是基于分步求和公式.
3.1.2定理2（阿贝尔判别法）设
(1) 在区间 上一致收敛;
(2)对于每一个 是单调的；
(3) 在 上一致有界,即对一切 和正整数n,存在正数M,使
,或称 在 上一致收敛.
由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定,所以由前段
有关函数列一致收敛的定理,都可推出相应的有关函数项级数的定理：
定理 （柯西一致收敛准则）函数项级数 在数集D上一致收敛
的充要条件：对任意的正数 ,总存在某正整数N,使得当n>N时,对一切x 和
一切正整数p都有| |< 或| |< .
证明易知
而等比级数当 时收敛,从而 收敛,由M判别法知, 在D上一致收敛.
（极限形式）设 为定义在数集D上正的函数列,若 ,由于
,且 在D上一致有界,则函数项级数 在D上一致收敛.
3.1.6定理6(根式判别法)
设 为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使 ,
对 n>N,x D成立,则函数项级数 在D上一致收敛.
摘要
函数项级数是数学分析中的一个重要的概念,在工程技术领域也有着重要应用.关于函数项级数的问题往往是数学分析的重点,又是难点,不易理解和掌握 而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性,但是一致收敛的判别往往比较困难,我们的教材中对于函数项级数 的收敛判别给出了一些基本方法,然而这些方法却只能解决一些常见的问题,对于很多其它类型的函数项级数,我们需要寻求其它更为方便的方法。例如,我们可以把正项级数的达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法和它们的极限形式顺利地推广到函数项级数的一致收敛的判别上,此外,还有很多种不常见的判别函数项级数一致收敛的方法,它们在处理某些类型函数项级数一致收敛判别问题上有着很重要的应用。本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究,为今后在处理函数项级数一致收敛性的判别提供理论基础。
同样的,结合数项级数比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时我们还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法、积分判别法.
3.1.5定理5（比式判别法）设 为定义在数集D上的函数列,且 ,n=1,2,……,记
若存在正整数N及实数q,M,使得 , 对任意的n>N, 成立,则函数项级数 在D上一致收敛.
则原级数在 上一致收敛.
例2 在任何有穷区间上的一致收敛性
解对任何有穷区间 , ,使得对一切 ,有 ，在 上对 一致收敛， 调, 即是一致有界的,由阿贝尔判别法知级数一致收敛
3.1.3定理3（余项判别法）函数项级数 在数集D上一致收敛于 的充要条件是:
例3 在 的收敛性பைடு நூலகம்
解由余项判别法知,
可知级数在 内不一致收敛,实际上,余项判别法本质上可看做是柯西一致收敛准则的推论
例1考察级数 的一致收敛性
分析由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。所以我们首先要求出它的和函数列,由等比级数求和公式知当 时,
对于任意 ,由于
因此级数的一致收敛性等价于函数列 对区间 的一致收敛于零
证明：由等比级数求和公式知当 时
故对任意 ,
下面证明此函数列是一致收敛于零的.
证明由定理条件,| (x)|≤ ,对 n>N成立,而几何级数 收敛,由优级数判别法知,函数项级数 在 上一致收敛.（注:当定理6条件成立时,级数 在 上收敛且绝对收敛）
（极限形式） 为定义在数集 上的函数列, ,对 成立,则函数项级数在 上一致收敛
例5 在 上一致收敛（ ）
解 ，由根式判别法知级数一致收敛
关键词：函数项级数、一致收敛、函数列、部分和数列
Abstract
The function series is an importantconcept in mathematical analysis ,also has itsimportingapplication in engineeringfield. Thefunction of series problems are often thefocusof mathematical analysis, it isdifficult, difficultto understand and masterand one of the basic problems in function series is to study the convergenceproblems, butconsistent convergence is often difficult, our textbooks for the convergence of functional seriesdiscriminategives some basic methods in commonuse, howeverthese methods can only solve some commonproblems, forseries of function of many othertypes, weneed to find other more convenientmethod. Forexample, wecan put thepositiveterm series by Darren Bellmethod, Cauchymethod, Abediscriminatemethod and their limiting forms smoothly todiscriminant of uniform convergence of functional seriesof. Inaddition, thereare many not often the discriminant function series convergencemethod, inwhich they some type of uniform convergence the function series problems of discriminant has a very importantapplication. Thispaper aims to make a comprehensive summary and research method to distinguish the function seriesconvergence, forthe future in the processing function of distinguishing uniform convergence of series and provide a theoretical basis.
则,魏尔斯特拉斯判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法以及不常用的方法,例如：
两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致 条件判别法、导数判别法、点
列判别法这几方面来介绍函数项级数一致收敛的判别方法.
3.1常用判别方法
3.1.1定义 设 是函数项级数 的部分和函数列.若 在数集 上一致收敛于函数 ,则称函数项级数 在 上一致收敛于函数