2018年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形教案

第二讲 三角恒等变换与解三角形
[考情分析]
三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.
年份
卷别 考查角度及命题位置 2017
Ⅰ卷
三角变换求值·T 15 正弦定理解三角形·T 11 Ⅲ卷 三角函数求值·T 4 正弦定理解三角形·T 15 2016
Ⅰ卷
利用余弦定理解三角形·T 4 Ⅱ卷 利用正弦定理解三角形·T 15 Ⅲ卷
三角恒等变换求值问题·T 6
解三角形·T 9
[真题自检]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4
D.π3
解析：因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，
所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π
4
，由
正弦定理得sin C ＝c ·sin A
a ＝2×22
2＝12，又0<C <π4，所以C ＝π
6
.故选B. 答案：B
2．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan θ＝－1
3
，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－15
C.15
D.45
解析：先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换，
转化为关于tan θ的关系式进行求解． ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2
θ1＋tan 2
θ，又∵tan θ＝－1
3，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45
. 答案：D
3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈(0，π2)，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos(α－π
4)＝cos αcos
π4＋sin αsin π4＝22×(255＋55)＝310
10. 答案：31010
三角恒等变换
[方法结论]
三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2
θ＋cos 2
θ＝tan 45° 等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2
α＋2cos 2
α＝(sin 2
α＋cos 2
α)＋cos 2
α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
[题组突破]
1．若tan α＝－
22，且α是第四象限角，则cos 2
(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22
cos 2
(α＋π)＝( ) A ．－
2
3
B.23
C ．－13
D.13
解析：通解：因为α是第四象限角，tan α＝－
22，故sin αcos α＝－22
，由sin 2 α＋cos 2 α＝1
可得cos 2 α＝23，cos α＝63，sin α＝－33.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2
(α＋π)＝sin 2
α＋sin αcos α＋22cos 2
α＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×63＋23＝13
，故选D. 优解：因为α是第四象限角，tan α＝－
22，故cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22
cos 2(α＋π)＝sin 2
α＋sin αcos α＋22
cos 2
α＝sin 2
α＋sin αcos α＋
22
cos 2
αsin 2
α＋cos 2
α
＝
tan 2
α＋tan α＋
22
tan 2
α＋1＝1232
＝1
3，故选D. 答案：D
2．(2017·蚌埠模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2
α＋sin 2α＝________.
解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝4 cos 2
α，即cos α＝0或tan α＝2.当cos α＝0时，sin 2
α＋sin 2α＝1；当tan α＝2时，sin 2α＋sin 2α＝sin 2
α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2
α＋2tan αtan 2
α＋1＝85. 综上，sin 2
α＋sin 2α＝1或85.
答案：1或8
5
3．(2017·合肥检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1
tan α
的值．
解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α· sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，
因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.
(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2 α－cos 2
αsin αcos α＝－2cos 2α
sin 2α
＝
－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
321
2
＝2 3. [误区警示]
三角函数求值问题易出错的是忽视角的范围，导致结果增解．
解三角形
[方法结论]
正、余弦定理、三角形面积公式
(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C
＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
；
a ∶
b ∶
c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .
(2)a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C .
推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
变形：b 2
＋c 2
－a 2
＝2bc cos A ，a 2
＋c 2
－b 2
＝2ac cos B ，a 2
＋b 2
－c 2
＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2
bc sin A .
[典例](2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD .
(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．
解析：(1)在△ABC 中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .
在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝5
2x
.
在△ACD 中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，
则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝
x 2＋52－53
2
2×x ×5
.
因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，
所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即
x 2＋52－53
2
2×x ×5
＝－52x
.
解得x ＝5.所以AD 的长为5.
(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2
－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝
32，从而sin ∠CBD ＝12
. 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin∠CBA ＝12×15×53×12＝753
4.
[类题通法]
等价转化思想在解三角形中的应用
利用正、余弦定理解三角形关键利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin
A ，b ＝2R sin
B ，c ＝2R sin
C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b
2R ，sin C
＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
等． [演练冲关]
1．(2017·合肥模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A
＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9π
D ．36π
解析：c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c
sin C ＝6，
所以△ABC 的外接圆面积为πR 2
＝9π，故选C. 答案：C
2．(2017·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )
A ．14 h
B ．15 h
C ．16 h
D ．17 h
解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA
＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2
－2×20t ×600×
22
≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以Δt ＝302＋152－302－15
2＝15(h)，
故选B. 答案：B
3．(2017·海口模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos
B －cos A )．
(1)求sin B
sin A
的值；
(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．
解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C ·(3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin B
sin A ＝3.
(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝1
2
，
∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
3.
解三角形与其他知识的交汇问题
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．
[典例](1)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →
|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21
B.321
4
C.212
D ．321
解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →
|＝3，∴bc cos A ＝a ＝3.
又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A
2
，
∴cos A ≥25，∴0＜sin A ≤21
5
，
∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为321
4.
答案：B
(2)(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos
2
B －C
2
－sin B ·sin
C ＝
2－2
4
. ①求角A ；
②若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． 解析：①由cos
2
B －C
2－sin B ·sin C ＝2－24，得cos B －C 2－sin B ·sin C ＝－2
4， ∴cos(B ＋C )＝－22
， ∴cos A ＝
22(0＜A ＜π)，∴A ＝π4
. ②由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，得16＝b 2
＋c 2
－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，
即bc ≤8(2＋2)．
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2
4bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)．
[类题通法]
化归与转化能力思想是求解三角与其他知识交汇问题的核心，分析交汇知识点，利用其间的联系可找出突破口，从而解决问题．
[演练冲关]
1．(2017·沈阳模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2
－(b －c )2
，b ＋c ＝8，求S 的最大值． 解析：由题意得：4×12
bc sin A ＝a 2－b 2－c 2
＋2bc ，
又a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin(A ＋π4)＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝1
2bc ，
又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.
2．(2017·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若b 2
＋c 2
－a 2
＝bc . (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值． 解析：(1)由b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，
得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1
2
，
又0＜A ＜π，∴A ＝π
3.
(2)∵AM 是BC 边上的中线，
∴在△ABM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos∠AMB ＝c 2
，①
在△ACM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos∠AMC ＝b 2
，②
又∠AMB ＝π－∠AMC ，
∴cos ∠AMB ＝－cos ∠AMC ，即cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0， ①＋②得AM 2
＝
b 2＋
c 22
－3
4
.
又a ＝3，∴b 2
＋c 2
－3＝bc ≤b 2＋c 2
2
，
∴b 2
＋c 2
≤6， ∴AM 2＝
b 2＋
c 22
－34≤9
4，即AM ≤3
2
， ∴BC 边上的中线AM 的最大值为3
2
.。