2018-2019学年河南省洛阳市偃师第一高级中学高二数学文联考试题含解析

2018-2019学年河南省洛阳市偃师第一高级中学高二数
学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=的零点的个数是（）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
参考答案：
B
略
2. 若动点A（x1,y1），B（x2,y2）分别在直线l1：x+y－7=0和l2：x+y－5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（）
A．3 B．2
C．3 D．4
参考答案：
A
3. 图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
【考点】函数的图象．
【分析】由已知可得：捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案．
【解答】解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．
可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，
故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，
故选：B
4. 若将一个真命题中的“平面”换成“直线”，“直线”换成“平面”后仍是真命题，则称该命
题为“可换命题”．下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．
其中是“可换命题”的是
A.①②
B.③④
C.①③
D. ①④
参考答案：
C
5. 设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=4，点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程是（）
A．=1 B．x2+y2=4 C．x2﹣y2=4 D． +=1
参考答案：
B
【考点】轨迹方程．
【专题】直线与圆．
【分析】可以取AB的中点M，根据三角形ABO是直角三角形，可知OM=2是定值，故M的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆．问题获解．
【解答】解：设M（x，y），因为△ABC是直角三角形，所以||OM|=定值．
故M的轨迹为：以O为圆心，2为半径的圆．
故x2+y2=4即为所求．
故选B
【点评】本题考查了圆的轨迹定义，一般的要先找到动点满足的几何条件，然后结合曲线的轨迹定义去判断即可．然后确定方程的参数，写出方程．
6. “”是“方程表示圆”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
7. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
8. 曲线y=x2-lnx上任意一点P到直线y=x-2的距离的最小值
是（）
A．１ B. C. ２ D.
参考答案：
A
9. 在中，已知，则的面积
是（）
A．B．C．或
D．
参考答案：
C
10. 曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）
参考答案：
C
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．
【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，
所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．
因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，
由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．
当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．
所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．
故选C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 顶点在原点，以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为
_________
参考答案：
略
12. 已知函数f（x）=x2﹣4x+c只有一个零点，且函数g（x）=x（f（x）+mx﹣5）在（2，3）上不是单调函数，则实数m的取值范围是．
参考答案：
﹣
【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．
【分析】根据题意可得c=4，进而得出g（x）=x（f（x）+mx﹣5）=x2+（m﹣4）x2﹣x，函数在（2，3）上不是单调函数，等价于g'（x）=0在（2，3）上只有一根，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4x+c只有一个零点，
∴c=4，
∴g（x）=x（f（x）+mx﹣5）=x2+（m﹣4）x2﹣x，
∵在（2，3）上不是单调函数，
∴g'（x）=0在（2，3）上只有一根，
∵g'（x）=3x2+2（m﹣4）x﹣1，g'（0）=﹣1，
∴g'（2）＜0，g'（3）＞0，
∴﹣．
13. 若,则,.
参考答案：
14. 已知为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，若
则= .
参考答案：
17
15. 函数的值域为．
参考答案：
16. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（，），则此双曲线的方程是 .
参考答案：
略
17. 已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a
的取值范围是________________；
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，x∈R，将函数f（x）向左平移
个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（Ⅰ）若，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且，，求的取值范围．
参考答案：
【考点】HX：解三角形；9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）为，由f（C）=0求得
，，由余弦定理知：，因sinB=3sinA，可得b=3a，由此求得a、b的值．
（Ⅱ）由题意可得，由g（B）=0求得
，故，化简等于sin（），根据
的范围求得的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）
=．…（1分）
，所以．
因为，
所以
所以．…（3分）
由余弦定理知：，因sinB=3sinA，
所以由正弦定理知：b=3a．…
解得：a=1，b=3…（6分）
（Ⅱ）由题意可得，所以，所以
．
因为，所以，即
又，，
于是…（8分）
∵，得…（10分）
∴，即．…（12分）
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，解三角形，属于中档题．
19. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；
（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．
【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．
∴EF∥BC，
又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又∵PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
由（1）中EF∥BC，
∴EF⊥平面PAB，
又∵EF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAB．
20. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
参考答案：
（1）见详解；（2）18
【分析】
（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.
【详解】（1）因为在长方体中，平面；
平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面；
（2）设长方体侧棱长为，则，
由（1）可得；所以，即，
又，所以，即，解得；
取中点，连结，因为，则；
所以平面，
所以四棱锥的体积为
.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
21. 已知函数f（x）=，g（x）=ax+1．（e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当x∈（1，e2]时，求函数f（x）图象上点M处切线斜率的最大值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）+g（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x﹣y﹣2=0垂直，求切线l方程．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）函数f（x）图象上点M处切线斜率为，利用x∈（1，e2]，即可求函数f（x）图象上点M处切线斜率的最大值；
（Ⅱ）h（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x﹣y﹣2=0垂直，h′（e）=a=﹣1，h（e）=1，即可求切线l方程．
【解答】解：（Ⅰ）设切点M（x，f（x）），则x∈（1，e2]．
函数f（x）图象上点M处切线斜率为…
∵，…
∴，
∴…
（Ⅱ）∵，，…
又h（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x﹣y﹣2=0垂直．
∴h′（e）=a=﹣1，h（e）=1，…
切线l的方程为x+y﹣1﹣e=0…
22. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，且，D是BC上的点，AD平分，求的面积.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）先利用二倍角公式将题目等式化成关于的方程，求出即可求出角（2）根据角平分线定义先求出，再依锐角三角函数的定义求出，最后依据三角形面积公式求出。

【详解】（1）解：因为，所以，
即.
因为，所以，解得.
所以或（舍去）,
因此,.
（2）因为，，所以，因为，所以，又因为为的角平分线，所以，
在中，所以，所以，
所以.
【点睛】本题主要考查了二倍角公式的应用，以及三角形面积的求法。