创新设计高中数学苏教版第4讲不等式的综合应用公开课获奖课件

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解 (1)设 M(x，y)，由已知得 B(x，－3)，A(0，－1)． 所以M→A＝(－x，－1－y)，M→B＝(0，－3－y)，A→B＝(x，－2)． 再由题意可知(M→A＋M→B)·A→B＝0， 即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0. 所以曲线 C 的方程为 y＝14x2－2.
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答案 4
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规范解答12 导数在应用题中应用
用基本不等式解应用题是江苏高考考察应用题基本题 型，解此类问题建立函数模型是关键．可以是代数函数， 也可以是三角函数模型，必要时也可以用导数法求解．
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【示例】 (2009·山东卷)两县城 A 和 B 相距 20 km，现计划 ︵
在两县城外以 AB 为直径的半圆弧AB上选择一点 C 建造 垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距 离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与对城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y.统计调查 表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的 距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与 所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k，
(2)设 P(x0，y0)为曲线 C：y＝14x2－2 上一点， 因为 y′＝12x，所以 l 的斜率为12x0. 因此直线 l 的方程为 y－y0＝12x0(x－x0)， 即 x0x－2y＋2y0－x20＝0. 则 O 点到 l 的距离 d＝|2yx0－20＋x420|.
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又
y0＝14x20－2，所以
︵ 当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城 A 和城 B 的总影 响度为 0.065.
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(1)将 y 表示成 x 的函数； ︵
(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点， 使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？ 若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由． [审题路线图] 由题意列出函数关系式，然后由导数求最值．
5 2
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3．已知过定点P(1,2)直线在x轴与y轴正半轴截距分别为 a，b，则ab最小值为________．
解析 由题意可得1a＋2b＝1(a＞0，b＞0)则1a＋2b＝1≥2
2 ，解得 ab
ab≥8.当且仅当1a＝2b，即
a＝2，b＝4
时
取等号．
答案 8
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4．(2013·南通模拟)已知向量 a＝(x－1,1)，b＝1，1－x x， 则|a＋b|的最小值是________．
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【训练 2】 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某 公路段汽车的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速度 v(千 米/时)之间的函数关系为 y＝v2＋39v2＋0v1 600(v＞0)． (1)在该时段内，当汽车平均速度v为多少时，车流量最 大？最大车流量为多少(精确到0.1千辆/时)? (2)若规定在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车平均 速度应在什么范围内？
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∴AE＝2xa2，在△ADE 中，由余弦定理得 y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos 60°＝x2＋4xa24－2a2，
∴y＝
x2＋4xa24－2a2(a≤x≤2a)．
(2)令 x2＝t(a2≤t≤4a2)，则 y＝
t＋4at 4－2a2.
∵t＋4at 4－2a2≥2
t·4at 4－2a2＝2a2，∴y≥ 2a2＝ 2a.
标原点的一条直线与函数 f(x)＝2x的图象交于 P，Q 两
点，则线段 PQ 长的最小值是________．
解析 由题意，P，Q 关于原点 O 对称，不妨设 P(m，
n)为第一象限内的点则 m＞0，n＞0，n＝m2 ，所以 PQ2
＝4·OP2＝4(m2＋n2)＝4m2＋m42
≥16，当且仅当
m2＝
m42，即 m＝ 2时等号成立，故 PQ 长的最小值为 4.
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Байду номын сангаас
[解答示范] (1)根据题意∠ACB＝90°，AC＝x km，BC＝ 400－x2
km，
且建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 的影响度为x42，对城 B 的影响度
为400k－x2，因此，总影响度 y＝x42＋400k－x2(0<x<20)．
(4 分)
︵ 又因为垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度
为 0.065，
所以
102＋4 1022＋400－
1k02＋1022＝0.065，
解得 k＝9，所以 y＝x42＋4009－x2(0<x<20)．
(6 分)
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(2)因为
y′＝－x83＋
18x 400－x22
＝18x4x－384×00－40x02－2 x22＝x2＋8x03040100－x2x－221
2y)·2x＋1y＝4＋4xy＋xy≥4＋2 4xy·xy＝8，当且仅当4xy＝xy即 x＝4，y＝2 时取到最小值．所以转化为 m2＋2m<8 恒成立
问题，得－4<m<2.
答案 －4<m<2
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考向二 不等式在实际问题中应用
【例2】(·南京三模)如图，DE把边长为2a等边 △ABC提成面积相等两部分，D在AB上，E 在AC上． (1)设AD＝x(x≥a)，DE＝y，试用x表达y； (2)求DE最小值． 解 (1)∵△ABC 的边长为 2a，D 在 AB 上，且 x≥a， 所以 a≤x≤2a.∵S△ADE＝12S△ABC， ∴12·AD·AE·sin 60°＝12·12(2a)2sin 60°.
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考点自测
1．已知 a＞0，b＞0，a，b 的等差中项是12，且 m＝a＋1a，
n＝b＋1b，则 m＋n 的最小值是________．
解析 由题意得 a＋b＝1，m＋n＝a＋1a＋b＋1b＝1＋1a＋
1b＝1＋1a＋1b(a＋b)＝3＋ba＋ab≥3＋2
ba·ab＝3＋2＝5.
当且仅当 a＝b＝12时取等号．
d＝
12x20＋4 x20＋4
＝12 x20＋4＋ x204＋4≥2，
当 x0＝0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.
[措施总结] 在用不等式处理几何问题时，首先要几何问题 代数化，再用不等式有关知识来处理．
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【训练 3】 (2011·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，过坐
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考向三 不等式在解析几何中应用
【例 3】(2011·课标卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0， －1)，B 点在直线 y＝－3 上，M 点满足M→B∥O→A，M→A·A→B ＝M→B·B→A，M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 l 距离的最小值．
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[措施总结] 不等式在方程、函数中应用，重要是运用不等 式或者均值不等式求函数或参数最值．
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【训练 1】 已知 x>0，y>0，且2x＋1y＝1，若 x＋2y>m2＋2m
恒成立，则实数 m 的取值范围是________．
解析
由
x>0，
y>0，
且2x
＋
1 y
＝
1
，
所
以
x ＋ 2y ＝ (x ＋
故在 AB 上存在 C 点，使得建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B
答案 x＋y－2＝0
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考向一 不等式在方程及函数中应用
【例 1】 已知函数 f(x)＝－1a＋2x(x＞0)． (1)判断f(x)在(0，＋∞)上增减性，并证明你结论； (2)解有关x不等式f(x)＞0； (3)若f(x)＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，求a取值范围．
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解 (1)任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1＜x2. 则 f(x1)－f(x2)＝－1a＋x21＋1a－x22＝2xx21－x2x1. 因为 x1＜x2，x1，x2∈(0，＋∞)， 所以 x2－x1＞0，从而x2x－1xx2 1＞0. 所以得到 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 故 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
第4讲 不等式综合应用
考点梳理
1．不等式证明 常用措施： (1)作差(作商)比较法． (2)放缩法，注意放缩尺度要把握好． (3)综合法与分析法，即所谓“由因导果”“执果索因”． (4)反证法，常见否认性结论，“至多”“至少”等问题． (5)运用函数单调性．
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2．不等式问题解法、证法基本应用 (1)求函数定义域、值域和最大值、最小值问题； (2)判断函数单调性及其对应单调区间； (3)运用不等式讨论方程实根个数、分布范围和解含参数方 程； (4)将不等式同数学其他分支结合起来，处理某些有实际应用 价值综合题．
解析 a＋b＝x，1x，∴|a＋b|＝
x2＋x12≥ 2.
答案 2
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5．(2013·南京二模)已知 m、n、s、t∈R＋，m＋n＝2，ms ＋ nt ＝9，其中 m、n 是常数，且 s＋t 的最小值是49，满足 条件的点(m，n)是圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 中一弦的中点， 则此弦所在的直线方程为________． 解析 因(s＋t)ms ＋nt ＝m＋n＋tms ＋stn≥m＋n＋2 mn，所 以 m＋n＋2 mn＝4，从而 mn＝1，得 m＝n＝1，即点(1,1)， 而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1， 从而此弦的方程为 x＋y－2＝0.故填 x＋y－2＝0.
当且仅当 t＝4at 4，即 t＝2a2 时，取“＝”号，故 ymin＝ 2a，此
时，x＝ 2a.∴分别在 AB、AC 上截取 AD＝AE＝ 2a 时，
线段 DE 最短． 第15页
[措施总结] 在应用基本不等式处理实际问题时，要注意如 下四点：①先审题，设变量，设变量时一般把规定最值变 量定为函数；②建立对应函数关系式，把实际问题抽象为 函数最值问题；③在定义域内，求出函数最值；④按实际 意义写出答案．
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(2)由－1a＋2x＞0(x＞0)，即2aa－x x＞0. 当 a＞0 时，解得 0＜x＜2a.当 a＜0 时，解得 x＞0. ∴当 a＞0 时，不等式的解集为{x|0＜x＜2a}， 当 a＜0 时，不等式的解集为{x|x＞0}． (3)∵f(x)＋2x≥0(x＞0)，即 2x＋2x≥1a.要满足此不等式恒成立只需2x＋2xmin 大于或等于 1a即可，而2x＋2x≥2 2x×2x＝4， 当且仅当 x＝1 时取等号．所以 4≥1a，解得 a＜0 或 a≥14.
600 .
由 y′＝0 解得，x＝4 10或 x＝－4 10(舍去)，
易知 4 10∈(0,20)．
y，y′随x变化状况如下表：
x (0,4 10) 4 10 (4 10，20)
y′ －
0
＋
y
极小值
(9 分)
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由表可知，函数在(0,4 10)内单调递减，在(4 10，20)内单调递
增，y 最小值＝y|x＝4 10＝116，此时 x＝4 10，
答案 5
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2．已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值 时，x，y值分别为________．
解析 由 x＋4y＋5＝xy≥4 xy＋5，
得 xy－4 xy－5≥0，即( xy－5)( xy＋1)≥0.
解得 xy≥5，当且仅当 x＝4y 时取等号．
此时 x＝10，y＝52.
答案
10
3．解不等式应用问题几种重要环节 (1)审题，必要时画出示意图； (2)建模，建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量不等 关系；注意文字语言、符号语言、图形语言转换； (3)求解，运用不等式有关知识解题．
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【助学·微博】 一种考情分析 对不等式性质考察仍会与其他知识相结合来进行．对基本 不等式考察，不外乎大小判断，求最值，求取值范围 等．不等式与函数、数列、三角综合，以解答题展现也许 性较大．
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解
(1)依题意，y＝3＋v9＋201
6v00≤3＋29210
600＝98230，
当且仅当 v＝1 6v00，即 v＝40 时，上式等号成立，
所以 ymax＝98230≈11.1(千辆/时)．
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(2)由条件得v2＋39v2＋0v1 600＞10， 整顿得v2－89v＋1 600＜0， 即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64. 因此，当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为 11.1千辆/时．假如规定在该时段内车流量超过10千辆/ 时，则汽车平均速度应不小于25千米/时且不不小于64千 米/时．