【高考调研】2019版大一轮复习新课标数学理理科题组训练 第一章集合与简易逻辑题组2含解析

题组层级快练(二)
1．(2016·江南十校联考)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案 B
解析 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题，故否命题也为假命题．故选B.
2．命题“若x 2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x<1，则x 2<1 C ．若x>1或x<－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 答案 D
解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x ≥1或x ≤－1”．
3．(2016·西城区一模)设函数f(x)的定义域是R ，则“∀x ∈R ，f(x ＋1)>f(x)”是“函数f(x)为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 函数f(x)是增函数显然可推出∀x ∈R ，f(x ＋1)>f(x)，但是∀x ∈R ，f(x ＋1)>f(x)并不能推出函数f(x)为增函数，例如：
f(x)＝⎩
⎨⎧x ，x ∈（－∞，0）∪（1
2
，＋∞），
0，x ∈[0，1
2
].
4．“a>1”是“1
a <1”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
5．已知p ：a ≠0，q ：ab ≠0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ab ＝0
a ＝0，但a ＝0⇒a
b ＝0，因此，p 是q 的必要不充分条件，故选B.
6．下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3
答案 A
解析 由a>b ＋1，得a>b ＋1>b ，即a>b ，而由a>b 不能得出a>b ＋1，因此，使a>b 成立的充分不必要条件是a>b ＋1，选A.
7．(2015·湖南理)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 若A ∩B ＝A ，任取x ∈A ，则x ∈A ∩B ， ∴x ∈B ，故A ⊆B ；若A ⊆B ，任取x ∈A ，都有x ∈B ， ∴x ∈A ∩B ，∴A ⊆(A ∩B)，又A ∩B ⊆A 显然成立，∴A ∩B ＝A. 综上，“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件，故选C.
8．(2016·《高考调研》原创题)“(m －1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩
⎪⎨⎪⎧0<m<1，0<a<1，所以
条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0，故选B. 9．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |成立的充分条件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
答案 C
解析 因为a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 共线同向，即使a |a |＝
b
|b |
成立的充分条件为C 项．
10．(2015·湖南文)设x ∈R ，则“x>1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 当x>1时，x 3>1；当x 3>1时，x>1.故选C.
11．(2015·安徽)设p ：1<x<2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 由2x >1，得x>0.∵{x|1<x<2}{x|x>0}，∴p 是q 成立的充分不必要条件． 12．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 由cos2α＝cos 2α－sin 2α知，当sin α＝cos α时，有cos2α＝0，反之，由cos 2α＝sin 2α不一定有sin α＝cos α，从而“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．故选A. 13．若x ，y ∈R ，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( ) A ．甲：xy ＝0 乙：x 2＋y 2＝0 B ．甲：xy ＝0 乙：|x|＋|y|＝|x ＋y| C ．甲：xy ＝0 乙：x ，y 至少有一个为零 D ．甲：x<y 乙：x y <1
答案 B
解析 选项A ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0， 乙：x 2＋y 2＝0即x 与y 都为0.甲
乙，乙⇒甲．
选项B ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0， 乙：|x|＋|y|＝|x ＋y|即x ，y 至少有一个为0或同号． 故甲⇒乙且乙
甲．
选项C ：甲⇔乙，选项D ，由甲x<y 知当y ＝0，x<0时，乙不成立，故甲
乙．
14．以下命题：
①“若f(x)是奇函数，则f(－x)也是奇函数”的逆命题； ②“若x ，y 是偶数，则x ＋y 也是偶数”的否命题； ③“正三角形的三个内角均为60°”的否命题； ④“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ①③④
解析 对于④，只需证明原命题为真，∵a ＋b ＋c ＝3，∴(a ＋b ＋c)2＝9.
∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝9，从而3(a 2＋b 2＋c 2)≥9，∴a 2＋b 2＋c 2≥3成立． 15．(1)“x>y>0”是“1x <1
y ”的________条件．
(2)“tan θ≠1”是“θ≠π
4”的________条件．
答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要
解析 (1)1x <1
y
⇒xy ·(y －x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y.
(2)题目即判断θ＝π
4
是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．
16．设条件p ：x<1，条件q ：|x|<1，条件r ：－1<x<1，则p 是q 的________条件，r 是p 的________条件，q 是r 的________条件． 答案 必要不充分 充分不必要 充要
解析 满足条件p 的集合A ＝{x|x<1}，满足条件q 的集合B ＝{x||x|<1}．满足条件r 的集合C ＝{x|－1<x<1}．由于A
B ，故p 是q 的必要不充分条件；由于C
A ，故r 是p 的充
分不必要条件；由于B ＝C ，故q 是r 的充要条件．
17．已知命题p ：|x －1|<c(c>0)；命题q ：|x －5|>2，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求c 的取值范围． 答案 (2，＋∞)
解析 由|x －1|<c ，得1－c<x<1＋c.
∴命题p 对应的集合A ＝{x|1－c<x<1＋c ，c>0}． 同理，命题q 对应的集合B ＝{x|x>7或x<3}． 若p 是q 的充分条件，则1＋c ≤3或1－c ≥7. ∴c ≤2或c ≤－6.又c>0，∴0<c ≤2.
又p不可能是q的必要条件，所以p不可能是q的充要条件．
所以如果p是q的既不充分也不必要条件，应有c>2.
18．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件；
(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件．
答案(1){a|－3≤a≤5}(2)在{a|－3≤a≤5}中可任取一个值a＝0(3){a|a<－3}
解析由题意知，a≤8.
(1)M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件－3≤a≤5.
(2)M∩P＝{x|5<x≤8}的充分但不必要条件，显然，a在[－3，5]中任取一个值都可．
(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5，8]是M∩P＝{x|5<x≤8}的必要但不充分条件．结合①②知a<－3时为必要不充分条件．
1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
答案 D
解析命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.
2．若α∈R，则“α＝0”是“sinα<cosα”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析若α＝0，则sinα＝0，cosα＝1，所以sinα<cosα；若sinα<cosα，α有无数多个．故选A.
3．(2016·海淀区一模)“sinα>0”是“α是第一象限角”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由sin α>0，可得α是第一或第二象限角及y 轴正半轴；若α是第一象限角，则sin α>0.所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．故选B. 4．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，
满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件，故选A.
5．设命题p ：x<－2 015，或x>2 015；命题q ：x<－2 016，或x>2 016，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 ∵p ：x<－2 015，或x>2 015；q ：x<－2 016，或x>2 016， ∴綈p ：－2 015≤x ≤2 015，綈q ：－2 016≤x ≤2 016.
∵对任意的x ∈[－2 015，2 015]，都有x ∈[－2 016，2 016]，∴选A.
6．(2014·湖北理)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 “存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”⇔“A ∩B ＝∅”．故选C. 7．0＜x ＜2是不等式|x ＋1|＜3成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 由|x ＋1|<3，得－4<x<2.
8．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )，知2α＝π
3＋4k π(k ∈Z )，
则cos2α＝cos π3＝1
2
成立，
当cos2α＝1
2时，2α＝2k π±π3，即α＝k π±π6(k ∈Z )，
故选A.
9．(2014·天津理)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a|a|＞b|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R 上为奇函数．
因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，
－x 2
，x ＜0，
所以函数f(x)在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.
选C.
10．命题“若x 2－2x －3＝0，则x ＝3”的否命题及其真假性为( ) A ．“若x 2－2x －3＝0则x ≠3”为真命题 B ．“若x 2－2x －3＝0则x ≠3”为假命题 C ．“若x 2－2x －3≠0则x ≠3”为真命题 D ．“若x 2－2x －3≠0则x ≠3”为假命题 答案 C
11．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
答案 A
解析 可以考虑原命题的逆否命题，即a ，b 都小于1，则a ＋b<2，显然为真．其逆命题，即a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，为假，如a ＝1.2，b ＝0.2，则a ＋b<2. 12．下列命题中为真命题的是( )
A ．命题“若x ≤y ，则x ≤|y|”的逆否命题
B ．命题“x>1，则x 2>1”的否命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题 答案 A
解析 对于A ，其逆否命题是：若x>|y|，则x>y ，是真命题，这是因为x>|y|≥y ，必有x>y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x ≠0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题．
13．(2016·西安一模)设命题p ：x 2 ＋x －6＜0，命题q ：|x|＜1，那么p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 p ：－3＜x ＜2；q ：－1＜x ＜1，易知选B. 14．“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 a ＋c ＞b ＋d 不能推出a ＞b 且c ＞d ，反之a ＞b 且c ＞d 可以推出a ＋c ＞b ＋d ，故选A.
15．(2015·福建)“对任意x ∈(0，π2)，ksinxcosx<x ”是“k<1”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 设f(x)＝k·sinx ·cosx ＝k
2·sin2x ，g(x)＝x ，对任意x ∈(0，π2)，ksinxcosx<x 等价于f(x)<g(x)，
即f(x)的图像恒在g(x)图像的下方．结合切线意义可知f ′(0)≤1，即k ≤1. 故选B.
16．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y|<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．
答案必要不充分
解析可举例子，比如x＝－0.5，y＝－1.4，可得〈x〉＝0，〈y〉＝－1；比如x＝1.1，y＝1.5，〈x〉＝〈y〉＝2，|x－y|<1成立．因此“|x－y|<1”是〈x〉＝〈y〉的必要不充分条件．17．已知f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－
a)＋f(－b)．”
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
答案略
解(1)逆命题：
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. (用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛看，故假设不成立．
从而a＋b≥0成立．逆命题为真．
(2)逆否命题：
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.原命题为真，证明如下：
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．
∴原命题为真命题．
∴其逆否命题也为真命题．。